Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пас~расине разпостной схемы (262). 9 3. Исш)сдонание аппроксимации и сходнмости 1. Аппроксиыапия дифференциального уравнения ( 65). 2 Аппроксимация граничного условия (267]. 3, урепненне ллн ~гагрешиости 12681. 4. Разнастные тождества в неравенства (269). 5. Доказательство скодимостн 1270). $ 4. Разностные схемы для уравнения теплопронодностн 1. Исходная задаче (272).
2. явная схема (272). 3 Неявные схемы (270). 4. Уранненвя с переменными коэффициентами и нелинейные уравнения (279). $ 5 Трехслойные разноствые схемы 1. Рвзяостные схемы для уравнения колебаний (233). 2. Трехслозные схемы для уравнения теплапроводности (285). $6. Оснонные понятия теории разностных схем; аппроксимация, сходи- мост)ь Устойчивость ! Ввеление (286). 2. Погрешность вппраксимвциз н погрешность скемы (287).
3 Корректност~ разностной схемы. Сколимость. Связь между устойчивостью н схолнмостью (290). 259 259 262 265 272 283 Глава 5. Решение нелинейных уравнений н систем уравнений... 190 $1, Примеры итерационных методов решения нелинейных уравнений . 190 1 Введение П90). 2 метов простой итерации 091). 3. метал ньютона (!ш!. 4 Метод секущих (194).
5. Интерпаляциониые методы (194). б Использование абраги 6 нн ер олнцни (196) 9 2. Сходнмость метода простой итерации . . . . . . . . . 195 1. теорема о сходнмостп (195). 2, метод эйткена ускорения схадимостн (шз). $3 Сходимость метода Пьютона ..,........
199 1. Прас~ой веществечн ~й корень (199) 2 Крлтные корни (202). 3 Односторонние врнблнженвя (203) 4. Комплексный корень (205И 9 4. Итерационные методы для систем нелинейных уравнений... 207 1. Общие понятия (207) 2 Схолныость стационарного метода (208). 3 Примеры итерационных методов (203). Г л а в а 2. Принцип мансимума для разностных схем 9 1 Разностная аппроксимация задачи Дирнхле для уравнения Пуассона 1. Постзиовкз рвзностиой задачи (291). 2.
1(вноьический вид ревностного урзв. пения (29 ) й 2. Приацип максимума для разностных схем. Основные теоремы 1. Исхолные предположения (294) 2. Принцип мзкснмунз и его следствия (295). 3. Теорем.г сравнения. Угтойчивоср* по грзннчным условиям (298). 4. Примеры (299). $ 3. Доказат[льство устойчивости и сходимости разностной задачи Дирнх. ле для уравнения Пуассона 1. Устайчйвость ао грези шым условияч [300). 2.
Устойчивость по припой часта и сходимпсть (302). й 4. Примеры применения принципа максимуыа $5. Монотонные раэностные схемы лля >равнений второго порядка, содержащих первые производные 09! 291 294 300 308 310 3!! 337 Г л а в а 4. Теория устойчивости ризностиых схем Г) 1. Рззностные схемы как операторные урзвнения 1.
Прелстпвление рвзностных схеч в ниле онерзтарных урзвненнй (ЗЗШ. 2 Кор. ректность оиерзтарных уравнений (342). 3. Опсрвторы первой ревностной произ- волной (317). $2. Канонический вид и условия устойчивости двуслойных разностных схем 1. Кзмонический вид двуслайных рзвностных схем (349). 2. Устойчивость ревностных схе» (351). 3 Теоремы об устайчивостн па начальным ленным [551) 4.
Несвмосопрнжеиные ревностные схемы (339). $3. Квноничсскнй вид и условия устойчивости трехслойных разностных схем 1. канонический внд [362). 2. Эквивалентность трехслойная схечы двтслойнай (363). 3 Угтойчивость па нзчзльиым лепны (36Ц 4. Примеры (366). $4. Об зконоыичных методах решения многомерных нестационарных задач математической физики Недастптки обычных рззнастныт четодов (369). 2. Пример металз пер еиных нзпрввленнй [372) 3. Абсолютная устойчивость продольно-поперечной схемы (373).
1 Понятие суммарной випрокснмвции Ш76), 339 339 362 369 Гл а на 5. Прямые и итерационные методы решения сеточных уравнений й 1. Молельная задача 1. Введение (378) 2 Молельная задача (379). 3. Применение методов Якоби в Зейделя (38!). 4. Метод верхней релзксвции (384). 9 2. Применение явного нтерзциояного метода с оптимальным набором параметров Явный итерационный метод с чебышевскимн пврвчетрвмн 1369). 2 Применение к модельной задаче (390).
3. Прнмеяение чебыгпевского металз к разно. етним впиракснмацияч урзвненвй эллиптического типа (39П, 378 378 389 Г л а в а 3. Метод разделения переменных $1. Разностная зада и на собственныс значения !. Оператор второй рнзностнон произвалчой (ЭП). 2. Задача нз собствениыг знзчения (312). 3.
Свойства собственных звзчсний и собственных функций (313). 4. Операторные неравенства (315). й 2. Задача ин собствспныс значении для пятиточечного разиостного оператора Лапласа , . . . . . . . . . . . . . 3!7 1. Свлшсопряженность (317). 2. Оценка собстаенньж чисел. Положительность оператора (3!8). й 3. Исследование устойчивости н сходимостн схемы с весами для уравнения теплопроволности . . .
. . . . . . . . 320 1. Исходная вздзчз и ревностная схеме (320). 2. Устойчивость схе ~а па вз«зльным лзниым (322). 3. Устойчивость по правой «вст» и скодичасть (32!). 4 Схемв с весзми лля двумерного уравнения теплапрозолвасти (326), 5 Аснч нтожшс. скзя устойчивость [328). $4. Решение разностного уравнения второго порядка методом Фурье . 332 8 5. Быстрое дискретное преобразование Фурье . . . . . . , 334 $ 6. Решение разностного уравнения Пуассона с использованием быстрого преобразования Фурье $ 3. Попеременно-треугольный итерационный метод 1. Алгебраическая теория (394).
2. Применение к молельной аадач» (393). 3. Попеременно-треугольный метод с чебышевскими итерадионными параметрами (40П. 4. Моднфнпираванный попеременно треуголы1ый итеранионный метод (402). В 4. Итерационный метод переменных направлений Формулировка метода и исследование скодииости П04), 2 Пример (400). 3.
Ел)чай прямоугольной области (409). 4 5. Метод матричной прогонки 1. Введение (4 П ), 2. Запись рааностного уравнении Пуассона н епде системы векторных уравнениЯ (412) 3. Алгоритм матричной нрогонки (414). 4, Устойчн. вость матричной п( стоики (413). 6 6 Метод редукции 1. Вывод основных формул (413). 2. Обращение матриц (421). 3 Вычисленье правых частей (423).
4 Формулировка и обсуждение алгоритма 1424). 394 41! 418 Список литературы Предметный указатель 426 428 ПРЕДИСЛОВИЕ В книге излагаются основы численных методов решения задач алгебры, анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Книга предназначена для студентов вузов, специализирующихся в области прикладной математики. Она может оказаться полезной также студентам других специальностей, желающим получить представление о методахрешения математических задач с помощью ЭВМ.
Книга основана на курсе лекций, который читался в течение ряда лет студентам факультета вычислительной математики и кибернетики Московского университета. В курсах численных методов изучаются вопросы построения, применения и теоретического обоснования алгоритмов приближенного решения различных классов математических задач. В настоящее время большинство вычислительных алгоритмов ориентировано на использование быстродействующях ЭВМ, что существенно влияет на отбор учебного материала и на характер его изложения. Следует отметить некоторые особенности предмета численных методов. Во-первых, для численных методов характерна множественность, т.
е. возможность решить одну и ту же задачу различными методами, Во-вторых, вновь возникающие естественно-научные задачи и быстрое развитие вычислительной техники вынузкдают переоценивать значение существующих алгоритмов и приводят к созданию новых. Перечисленные особенности предмета, его обширность и неоднородность делают иллюзорной попытку изложить предмет «во всей полноте и строгости».
По. гому авторы настоящей книги поставили перед собой задачу собрать минимальный материал, достаточный для дальнейшей работы выпускников вузов в области применения и создания вычислительных методов. Вычислительный алгоритм естественно рассматривать как необходимую составную часть вычислительного эксперимента— эффективного метода решения крупных естественно-научных и народнохозяйственных задач. С этих позиций и ведется изложение численных методов в данной книге, Рассматриваются только те методы, которые выдержали испытание практикой и применяются для решения реальных задач.
Наибольшее внимание уделяется фундаментальным разделам численных методов — численному решению систем линейных алгебраических уравнений и разностным методам решения задач математической физики. В то же время авторы сознают, что многие интересные и важные методы изложены недостаточно полно или совсем не вошли в книгу. За рамками книги остались такие этапы вычислительного эксперимента, как построение математической модели, программирование и организация вычислений. В тех случаях, когда подробное излогкенпе численного метода оказывалось слишком громоздким, содержало много выкладок или опиралось на труднодоступный студентам мате. магический аппарат, авторы предпочитали ограничиться харак. терными примерами.
Книга состоит из трех частей Часть 1 является вводной, в ней дается представление о месте численных методов в общем процессе математического моделирования и вычислительного эксперимента, а также рассматриваются на уровне примеров некоторые вычислительные алгоритмы В части !1 излагаются традиционные разделы численных методов, такие как прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, интерполирование, численное интегрирование, решение нелинейных уравнений, методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
