Блюмин А.Г., Федотов А.А., Храпов П.В. - Численные методы (1078410), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для оценки погрешности воспользуйтесь правилом Рунге.Оформите отчет. Он должен содержать: постановку задачи и описаниеметодов ее решения, текст программы, результаты расчетов.Указание. Результаты расчетов вывести на печать с пятью значащимицифрами после запятой. На основе сравнения приближенных значений интеграла, вычисленных методом ячеек и последовательным интегрированием, сточным убедиться в том, что приближенные значения вычислены с заданнойточностью. На печать вывести значения числа итераций l, шагов h1 и h2 , атакже чисел разбиений m и n, позволившие достигнуть заданной точностивычисления: а) методом ячеек, б) последовательным интегрированием.Варианты лабораторной работы и ответы представлены в табл.
2.1 и 2.238Глава 2. Приближенное вычисление двойного интегралаТаблица 2.1. Варианты лабораторной работы№Область DФункциявар.abϕ1 (x)ϕ2 (x)f (x)123456101x21+xx · y221201 + ln xey30π/30cos xsin x/(1 + y)41ex−2ln x5120xy/x√x2 · 1 + x · y601x21+xx2 · y712ln x1 + ln xey8π/6π/20sin xcos x/(1 + y)912x2xx · ln(x · y)101eln xxy/x111203−xx + y21212ln x1 + ln xe x+y130π/301/ cos xy · tg x1412015120x√x4x2 · ln(1 + x · y)p22x · y · 1 + x · y 239Глава 2.
Приближенное вычисление двойного интегралаОкончание таблицы 2.1.123456160101+x−x + y 21701ln(1 + x) 1 + 2 ln(1 + x)e x+y /(1 + x)18 π/6 π/201/ sin xy · ctg x1913x2x201201/xln(y/x)√x· 1+x·y2101022 1/4101+x√x23010ex2411−xx2512√30x22612x/2xx/(x2 + y 2 )2712x2x22e y/x28 π/3 π/20cos(x + y)29120x√x30130x40x + y2√x · x · e x·yπ 2 xxy(x + x )e cos3eln(x + y)/x1/[(1 + x2 )(1 + y) ·√8x2 y ln(1 + x · y 2 )√1/ 1 + e 2y/xy]Глава 2. Приближенное вычисление двойного интегралаТаблица 2.2. Ответы лабораторной работы№ вар.Ответ№ вар.Ответ193/120165/1223e/2 − 117e2 − e + 132 ln 2 − 1.5 ln(1.5) − 0.5180.754(−3e2 + 24e − 43)/12√√10 5 8 2−−1315194 · (2 ln 2 − 1)20√[2 · (2 2 − 1)]/36187/4202171.5 · (e − 1)22[2 · (e − e 1/8 − 7/8)]/382 ln 2 − 1.5 ln(1.5) − 0.523(9 · e 2 )/(2 · π 2 )52112910 ln 2 − 389247 ln 2 − 410(3e2 − 5)/1225(7π 2 )/14451226π/4 − arctg(1/2)12e2 (e − 1)27e · (3e3 − e − 6)/2130.7528−0.251425 ln 5 − 4 ln 2 − 25.5√√10 5 8 2−−13152925 ln 5 − 4 ln 2 − 25.5!√(1 + 2)e√4 · ln1 + 1 + e2111533041Глава 3Задача Коши для обыкновенныхдифференциальных уравненийЦель работы — изучение численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений, а также практическоеприменение методов Рунге—Кутта для решения задачи Коши в случае одногоуравнения и системы двух уравнений.Продолжительность работы — 4 часа.3.1.
Постановка задачиТребуется найти решение u(x) задачи Кошиu0 = f (x, u), u(x0 ) = u0 ,(3.1.1)где u0 = du/dx, x0 и u0 — заданные числа.Из курса дифференциальных уравнений известно, что если функцияf (x, u) непрерывна в замкнутой прямоугольной области G = {|x − x0 | 6 A,|u−u0 | 6 B} и удовлетворяет в этой области условию Липшица по аргументуu, то можно указать отрезок |x − x0 | 6 δ , на котором задача Коши (3.1.1)имеет единственное решение. Если вдобавок функция f (x, u) имеет непрерывные производные по обоим аргументам до k-ого порядка включительно, торешение u(x) имеет непрерывные производные до (k + 1)-ого порядка включительно. В ряде случаев задача Коши может быть решена аналитически,однако для большинства задач, представляющих практический интерес, такое решение найти невозможно.
Поэтому, когда подобная задача встречается42Глава 3. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийна практике, получают приближенное решение с помощью численных методов, в частности конечно-разностных методов.3.2. Численные методы решения задачи КошиПри изучении численных методов для задачи Коши будем считать, чтоона имеет единственное решение в замкнутой прямоугольной области D ={a 6 x 6 b, c 6 u 6 d}. Пусть требуется найти решение задачи (3.1.1) наотрезке [a, b]. Введем на отрезке [a, b] сетку ωhi следующим образом:ωhi = {a = x0 < x1 < ...
< xn−1 < xn = b},где точкиxi , i = 0, 1, ..., nназываются узловыми точками или узламисетки, hi = xi −xi−1 , i = 1, ..., n — шагами сетки; n —натуральное число. Еслиhi = h = const, то такую сетку будем обозначать ωh и называть равномерной.Сетку ωh можно задать так:ωh = {xi = x0 + i · h, x0 = a, h = (b − a)/n, i = 0, 1, ...n}.(3.2.1)В этой главе в дальнейшем будем пользоваться равномерной сеткой ωh с шагом h.Пусть ui = u(xi ) — значение точного решения (3.1.1) в точке xi , а yi —соответствующее приближенное значение, полученное с помощью рассматриваемого численного метода.3.2.1.
Явный метод ЭйлераПредположим, что функция f (x, u) в рассматриваемой области D имеет непрерывные частные производные ∂f /∂x и ∂f /∂u. В таком случае, как43Глава 3. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийотмечалось выше, решение задачи Коши (3.1.1) имеет непрерывную вторуюпроизводнуюu00 (x) =∂f∂f(x, u) +(x, u)f (x, u).∂x∂u(3.2.2)Явный метод Эйлера определяется формуламиyi+1 = yi + h · f (xi , yi ), i = 0, 1, ..., n − 1,(3.2.3)где y0 = u0 .Соотношения (3.2.3) метода Эйлера получаются следующим образом.Функцию u(x) разлагаем по формуле Тейлора в окрестности точки xi :h2 00u(xi+1 ) = u(xi ) + h · u (xi ) + u (ξi ) =20(3.2.4)2= u(xi ) + h · f (xi , u(xi )) +h 00u (ξi ),2где точка ξi ∈ [xi , xi+1 ], i = 0, 1, ..., n−1. Затем отбрасываем остаточный члени заменяем значения u(xi ) на yi .На рис. 3.1 дана геометрическая интерпретация метода Эй-ya0 a1 a2лера.
Изображены первые дваA2шага метода, т.е. проиллюстрировано вычисление значений y1A1и y2 при x = x1 и x = x2 . Инте-A0гральные кривые a0 , a1 и a2 опи-y0y2y1сывают точные решения уравнения u0 = f (x, u) с начальны-0x0x1x2xРис. 3.1.ми условиями u(x0 ) = u0 = y0 ,u(x1 ) = y1 и u(x2 ) = y2 , соответственно.
При этом кривая a0 соответствуетточному решению задачи Коши (3.1.1), так как она проходит через начальную44Глава 3. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийточку A0 (x0 , u0 ). Точки A1 и A2 получены в результате численного решениязадачи Коши методом Эйлера. Их отклонение от кривой a0 характеризует погрешность метода. Уже при выполнении первого шага мы фактически сразупопадаем на другую интегральную кривую.
Отрезок A0 A1 — отрезок касательной к кривой a0 в точке A0 . Тангенс угла наклона касательной A0 A1равен значению производной u00 = f (x0 , u0 ). Касательная A1 A2 проводитсяуже к другой интегральной кривой a1 . Таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на очередном шаге решение переходит надругую интегральную кривую.Пример. Явным методом Эйлера решить задачуu0 = u − x, u(0) = −1.Решение. Используя формулу (3.2.3), получаемy0 = −1,y1 = y0 + h · (y0 − x0 ) = −1 − h,y2 = y1 + h · (y1 − x1 ) = −1 − h + h · (−1 − h − h) = −1 − 2h − 2h2 ,y3 = y2 + h · (y2 − x2 ) = −1 − 3h − 6h2 − 2h3и т.д. С другой стороны, точным решением является функция u(x) = 1 + x−−2e x . Сравним точное решение с полученным приближенным:h2 ξ1hu1 = u(h) = 1 + h − 2e = 1 + h − 2 · 1 + h + e=2= −1 − h − h2 · e ξ1 ,u2 = u(2h) = 1 + 2h − 2e= −1 − 2h − 4h2 · e ξ2 ,0 < ξ1 < h;2h4h2 ξ2= 1 + 2h − 2 · 1 + 2h +e20 < ξ2 < 2h.Аналогичноu3 = u(3h) = −1 − 3h − 9h2 · e ξ3 ,450 < ξ3 < 3h.=Глава 3.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийВидно, что численное решение отличается от точного на величину, содержащую члены второго порядка h2 и выше, с коэффициентами, растущими сномером i. Ниже покажем, что ошибка в методе Эйлера всегда не превышаетзначения C · h, где C — постоянная, не зависящая от h.Вообще главный вопрос для любого численного метода состоит в оценкеточности приближенных значений yi .Определение 1. Локальной ошибкой вычислений при x = xi называетсявеличинаεi = |u(xi ) − yi |.Эта ошибка зависит от приближенного метода, использованного при подсчетеyi , от функции f (x, u) и точности вычислений. Поэтому говорят, что локаль(m)ная ошибка зависит от методической ошибки εi(т.е.
от ошибки вычислений,связанной с методом нахождения приближенного решения) и ошибки округления (на практике все значения, полученные в результате вычислений, берутся с конечным числом знаков). Ошибку округления можно уменьшить,повышая точность арифметических вычислений, а методическая ошибка независит от точности вычислений, и поэтому за счет повышения точности вычислений ее устранить нельзя. Иными словами, методическая ошибка совпадает с локальной ошибкой для абсолютно точно найденных значений yi .Определение 2. Глобальной методической ошибкой на отрезке [a, b] называется величина(m)ε(m) = max εi .16i6nДля использования на практике пригодны лишь те методы численногорешения, для которыхε(m) → 0 при h → 0.46Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
