Блюмин А.Г., Федотов А.А., Храпов П.В. - Численные методы (1078410), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Будем предполагать, что функция u(x)имеет все необходимые по ходу рассуждения непрерывные производные. Выразим значения ui+1 и ui−1 по формуле Тейлора, беря точку xi в качестветочки разложения:h2 00 h3 000ui + ui + O(h4 ),2!3!h3h24= ui − hu0i + u00i − u000i + O(h ).2!3!ui+1 = ui + hu0i +ui−1(4.2.2)Отсюда, учитывая свойства величины O(hk ) (см. гл. 1), можно получитьследующие выражения для точного значения первой производной функцииu(x) в точке xi :ui+1 − ui+ O(h),hui − ui−1(4.2.3)+ O(h),u0i =hui+1 − ui−1u0i =+ O(h2 ),2hа также выражение для точного значения второй производной функции u(x)u0i =в той же точке xi :u00i =ui−1 − 2ui + ui+1+ O(h2 ).2hОтношенияui+1 − ui ui − ui−1 ui+1 − ui−1,,hh2h67(4.2.4)Глава 4.
Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравненияв (4.2.3) называются правой разностной производной, левой разностной производной и центральной разностной производной, соответственно. Отношениеui−1 − 2ui + ui+1h2в (4.2.4) называется второй разностной производной.Из (4.2.3) следует, что левая и правая разностные производные аппроксимируют производную u0 (x) с первым порядком точности относительно шагаh, а центральная разностная производная — со вторым порядком точностиотносительно h.
Из (4.2.4) следует, что вторая разностная производная аппроксимируют производную u00 (x) со вторым порядком точности относительно h.4.2.2. Решение задачи методом прогонкиПусть, как и ранее, yi — приближенное значение, соответствующее точному значению ui функции u(x) в точке xi . Заменим u00i и u0i в (4.2.1) второйразностной производной и первой центральной разностной производной, соответственно, подставляя в них вместо ui величины yi . В результате вместодифференциальной задачи (4.1.1), (4.1.2) получим следующую разностнуюзадачу:yi−1 − 2yi + yi+1yi+1 − yi−1+p+ qi yi = fi , i = 1, 2, ..., (n − 1),ih22h(4.2.5)y0 = A, yn = B.(4.2.6)Подставляя краевые условия (4.2.6) в (4.2.5), получим относительно значений yi , i = 1, 2, ..., (n − 1) систему линейных алгебраических уравнений(n − 1)-ого порядка с трехдиагональной матрицей68Глава 4.
Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравненияhh2(h q1 − 2)y1 + 1 + p1 y2 = h f1 − A · 1 − p1 ,22hh1 − pi yi−1 + (h2 qi − 2)yi + 1 + pi yi+1 = h2 fi ,222h1 − pn−1 yn−2 + (h2 qn−1 − 2)yn−12i = 2, ..., (n − 2);h= h2 fn−1 − B · 1 + pn−1 .2(4.2.7)Система (4.2.7) решается методом прогонки [1].4.2.3. Решение задачи методом стрельбыИдея метода. Как известно из курса дифференциальных уравнений общеерешение (4.1.1) записывается в видеu(x) = u0 (x) + c1 u1 (x) + c2 u2 (x),(4.2.8)где u0 (x) — частное решение (4.1.1), а u1 (x) и u2 (x) — линейно независимыечастные решения, соответствующего (4.1.1) однородного уравненияu00 + p(x)u0 + q(x)u = 0.(4.2.9)Краевые условия (4.1.2), используя (4.2.8), можно представить в видеu0 (a) + c1 u1 (a) + c2 u2 (a) = A,(4.2.10)u0 (b) + c1 u1 (b) + c2 u2 (b) = B.Пусть u0 (x) — такое частное решение (4.1.1), что u0 (a) = A, а частные решения u1 (x) и u2 (x) уравнения (4.2.9) пусть удовлетворяют условиямu1 (a) = 0 и u2 (a) 6= 0, соответственно.
Тогда из первого уравнения (4.2.10)следует равенствоA + c1 · 0 + c2 · u2 (a) = A,69Глава 4. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравненият.е. c2 = 0, а выражение (4.2.8) приобретает видu(x) = u0 (x) + c1 u1 (x).(4.2.11)Константу c1 находим из второго краевого условия (4.2.10): u(b) = u0 (b)++c1 u1 (b) = B.
Следовательно c1 = (B − u0 (b))/u1 (b). Будем считать, чтоu1 (b) 6= 0. Описанный способ решения задачи называют методом стрельбыили методом пристрелки [3].Реализация метода. Итак, в соответствии (4.2.11), для приближенного решения y(x) в узлах равномерной сетки ωh можем записатьyi = y0,i + c1 y1,i , i = 0, 1, ..., n.(4.2.12)Будем искать такие численные решения y0,i и y1,i , для которых в 0-ом и1-ом узлах сетки ωh выполняются следующие условия:y0,0 = A, y0,1 = D0 ,(4.2.13)y1,0 = 0, y1,1 = D1 6= 0,(4.2.14)где D0 и D1 — константы. Формально алгоритм применим при произвольныхзначениях D0 и D1 (D1 6= 0), однако с целью уменьшения влияния вычислительной погрешности рекомендуется брать D0 = A + O(h) и D1 = O(h).Записываем для y0,i и y1,i разностные уравнения, соответствующие неоднородному (4.1.1) и однородному (4.2.9) уравнениямy0,i+1 − y0,i−1y0,i−1 − 2y0,i + y0,i+1+ pi+ qi · y0,i = fi ,2h2hy1,i−1 − 2y1,i + y1,i+1y1,i+1 − y1,i−1+p+ qi · y1,i = 0,ih22hi = 1, ..., (n − 1).70Глава 4.
Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравненияОтсюда находим выражения для y0,i+1 и y1,i+1 :hh2 fi − 1 − pi · y0,i−1 − (h2 qi − 2) · y0,i2y0,i+1 =,h1 + pi2h− 1 − pi · y1,i−1 − (h2 qi − 2) · y1,i2y1,i+1 =,h1 + pi2i = 1, ..., (n − 1).(4.2.15)Заданные значения (4.2.13) и (4.2.14) позволяют по формулам (4.2.15) найти последовательно решения y0 (x) и y1 (x) во всех оставшихся узлах xi , i == 2, ..., n. Постоянную c1 находим по формуле (см. выше): c1 = (B −y0,n )/y1,n .Однако, может оказаться так, что y1,n = 0.
Поскольку выбор констант D0 иD1 в (4.2.13) и (4.2.14) находится в распоряжении вычислителя, то меняязначение D1 в (4.2.14) можно найти решение y1 (x), для которого y1,n 6= 0.Решение всей задачи (4.1.1), (4.1.2) находится по формулам (4.2.12).4.3. ЗаданиеДля предложенного варианта лабораторной работы решить краевую задачу либо методом прогонки, либо методом стрельбы. Для задания краевогоусловия в точке b предварительно необходимо решить аналитически соответствующую задачу Коши:u00 + p(x)u0 + q(x)u = f (x) ,u(x0 ) = A, u0 (x0 ) = C ;x ∈ [a, b], x0 = a.Значение B находится подстановкой точки b в точное решение u(x) задачиКоши: B = u(b). Варианты задачи Коши приведены в табл. 4.1.
Значения aи b во всех вариантах равны 0 и 1, соответственно [a, b] = [0, 1].71Глава 4. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравненияТаблица 4.1. Варианты задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка№Функциивар. p(x) q(x)f (x)Нач. условияAC1234561−22e x · sin x23/22−712512322x · e −x004−22x20.505−816e 4x0160−12e x − x2217048348−10ch(2x)009−20e x (x2 + x − 3)2210014e x4−3110−12 − x2111204e −2x0013−406x2 + 103.5625140−416x · e 2x03151−2−2x + 11−172Глава 4. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравненияОкончание таблицы 4.1.12345616−68101217−222x011804sin(2x) + 10.25019−322 sin x0−0.2200−12 sh x01211−2cos x − 3 sin x1222−103622304sin x112404ex1325−1−621026−87141527096 cos(3x)1328445e −2x1229043 sin(2x)20.7530014x · e x−2073Литература1.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука,1989. 432 с.2. Самарский А.А. Введение в численные методы. СПб.: Издательство«Лань», 2005. 288 с.3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.:Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 632 с.4. Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам. М.: Университетская книга, Логос, 2006. 184 с.5. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987. 248 с.6. Калиткин Н.Н. Численные методы.
М.: Наука, 1978. 512 с.7. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методыдля инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.74Блюмин Алексей ГригорьевичФедотов Анатолий АлександровичХрапов Павел ВасильевичЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙМетодические указанияк выполнению лабораторных работпо курсу «Численные методы».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
