Блюмин А.Г., Федотов А.А., Храпов П.В. - Численные методы (1078410), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть, например, k = 4,[a, b] есть отрезок [0, 1], а ε = 0.0001. Понятно, что в этом случае в качествеn0 можно взять число 10, а не 11 (как это следует из формулы (3.2.17)), тогдаh0 = 0.1.3.3. Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядкаРассмотрим задачу Коши для нормальной системы m обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядкаu0 = f(x, u), u(x0 ) = u0 ,54(3.3.1)Глава 3.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийгде u0 = du/dx,u0 (x) 1u0 = ...u0m (x), u = f (x, u1 , ..., um )u1 (x) 1.... , f(x, u) = .. fm (x, u1 , ..., um )um (x),u0 = {u1,0 , ..., um,0 }; x0 , ui,0 , i = 1, ..., m — заданные числа.В случае задачи Коши (3.3.1) изложенные приближенные методы интегрирования Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса формально остаются теми же,только функции u, f , y и коэффициенты ki в формулах Рунге-Кутта (3.2.8)и (3.2.9) заменяются соответственно на вектор-функции u, f и векторы y иki .
Правило Рунге применяется для каждой координаты вектора u в отдельности.Пусть, например, требуется найти на отрезке [a, b] решение задачи Коши(3.3.1) для m = 2, записанной в виде u (x ) = u , u0 = f (x, u , u ),1 01,011 21, x0 = a., u2 (x0 ) = u2,0 u0 = f2 (x, u1 , u2 )2(3.3.2)или в векторной формеu0 = f(x, u), u(x0 ) = u0 , m = 2,(3.3.3)гдеu0 = u01 (x)u02 (x), u = u1 (x)u2 (x) , f(x, u) = f1 (x, u1 , u2 )f2 (x, u1 , u2 ) , u0 = u1,0u2,0.Приведем для системы (3.3.3) расчетные формулы методов Рунге-Кутта2-ого и 4-ого порядков точности (аналогичные формулам (3.2.8) и (3.2.9)) ввекторной и координатной формах.55Глава 3.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийРасчетные формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности длясистемы (3.3.3):k1 = h · f(xi , yi ),k2 = h · f(xi + h, yi + k1 ),1yi+1 = yi + · (k1 + k2 ), i = 0, 1, ..., n − 1.2(3.3.4)В координатной форме формулы (3.3.4) запишутся так:k1,1 = h · f1 (xi , y1,i , y2,i ),k1,2 = h · f2 (xi , y1,i , y2,i ),k2,1 = h · f1 (xi + h, y1,i + k1,1 , y2,i + k1,2 ),k2,2 = h · f2 (xi + h, y1,i + k1,1 , y2,i + k1,2 ),1y1,i+1 = y1,i + · (k1,1 + k2,1 ),21y2,i+1 = y2,i + · (k1,2 + k2,2 ), i = 0, 1, ..., n − 1.2(3.3.5)Расчетные формулы метода Рунге-Кутта четвертого порядка точностидля системы (3.3.3):k1 = h · f(xi , yi ),hk2 = h · f xi + , yi +2hk3 = h · f xi + , yi +2k1,2k2,2(3.3.6)k4 = h · f(xi + h, yi + k3 ),yi+1 = yi +1· (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ), i = 0, 1, ..., n − 1.656Глава 3.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийКоординатная форма формулы (3.3.6) имеет вид:k1,1 = h · f1 (xi , y1,i , y2,i ),k1,2 = h · f2 (xi , y1,i , y2,i ),hk2,1 = h · f1 xi + , y1,i +2hk2,2 = h · f2 xi + , y1,i +2hk3,1 = h · f1 xi + , y1,i +2hk3,2 = h · f2 xi + , y1,i +2k1,1, y2,i +2k1,1, y2,i +2k2,1, y2,i +2k2,1, y2,i +2k1,2,2k1,2,2k2,2,2k2,2,2(3.3.7)k4,1 = h · f1 (xi + h, y1,i + k3,1 , y2,i + k3,2 ),k4,2 = h · f2 (xi + h, y1,i + k3,1 , y2,i + k3,2 ),1· (k1,1 + 2k2,1 + 2k3,1 + k4,1 ) ,61= y2,i + · (k1,2 + 2k2,2 + 2k3,2 + k4,2 ) , i = 0, 1, ..., n − 1.6y1,i+1 = y1,i +y2,i+1Понятно, что вид формул в векторной форме (3.3.4) и (3.3.6) не зависятот числа уравнений m в системе (3.3.1)3.4. ЗаданиеДля дифференциального уравнения (или системы уравнений) из предложенного варианта необходимо:1) получить точное решение уравнения (системы уравнений) с заданныминачальными условиями;2) написать программу численного интегрирования дифференциальногоуравнения (системы уравнений) методом Рунге-Кутта второго или четвер57Глава 3.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийтого порядка точности. Для оценки точности вычислений воспользоватьсяправилом Рунге;3) найти численное решение дифференциального уравнения (системыуравнений) с точностью ε = 0.0001 и оценить погрешность как максимумразности в узлах между точным решением и решением, полученным численным методом.Оформите отчет по лабораторной работе.
Он должен содержать описаниеиспользованного численного метода, результаты расчетов и текст программы.Варианты задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и варианты задачи Коши для уравнений второго порядка и систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка,а также ответы к ним представлены в табл. 3.1–3.6.Задача Коши для уравнения второго порядкаu00 + p(x)u0 + q(x)u = g(x) ,u(x0 ) = A, u0 (x0 ) = B ;(3.4.1)x ∈ [a, b], x0 = aрешается сведением к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка.Пусть u1 (x) = u(x), а u2 (x) = u0 (x). Тогда для u1 (x) и u2 (x) из (3.4.1)получаем следующую задачу Коши u0 = u ,21, u0 = g(x) − q(x) · u1 − p(x) · u22 u (x ) = A,1 0 u2 (x0 ) = B.(3.4.2)Постановка задачи Коши и расчетные формулы для системы, состоящей из двух обыкновенных дифференциальных уравнений, приведены выше(см.(3.3.2)— (3.3.7)).58Глава 3.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийТаблица 3.1. Варианты задачи Коши для обыкновенного дифференциальногоуравнения первого порядка№Функциявар.f (x, u)abусловие u0123451−x/u01222u/xx−·u1+x13102100.50ee210211320π/311323456789Отрезок [a, b] Начальноеex+uu1+x · ln x x2−2x · u + x · e−x3u−xx1− tg x · u +cos x2x· u + 1 + x221+x102u + ex − x011/411−2u + e3x016/512−u/x + 2 ln x + 12u+ ex · (1 + x)21+x1310211359Глава 3. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийОкончание таблицы 3.1.1234513sin 112015u+ x · cos xxu + ex /x16(u + 1)/x13017e2x − ex · u02018(sin x − u) · cos x0π019−1 + u/x13020−(x + u)/x131/221−u + cos x0π1/2222u − x2031/423−u + 2x03−124u/x14125u/(2x)14126−2u + 4xuu− · lnxx02012e22u/xx−·u1+x132022−x/u011142728293060Глава 3. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийТаблица 3.2.
Ответы к вариантам задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка№ вар.№ вар.Решение u(x)1Решение u(x)√4 − x216x−12x217ex − 13(x + 1) · e −x18e − sin x + sin x − 14− ln(2 − ex )19x · ln(1/x)5(1 + ln(ln x)) · ln x201 x−x 26e −x · (1 + x2 /2)21(sin x + cos x)/27x2 + x322(2x2 + 2x + 1)/48sin x + cos x23e −x + 2x − 29x · (1 + x2 )24x210e 2x − e x +11e −2x +√x 1+2 425e 3x526e −2x + 2x − 1x12x · ln x + 1/x27x · e 1+x13(x + 1)2 · e x282x214x · sin x2915e x · ln x302 · (x + 1) · e −x√1 − x261Глава 3.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийТаблица 3.3. Варианты задачи Коши для обыкновенного дифференциальногоуравнения второго порядка№Функциивар. p(x) q(x)g(x)Отрезок [a, b] Нач. условияabAB1−540021120−1ex0133/23−210251−2401cos x01125044 · [sin(2x) + cos(2x)]π2π2π2π6−43e 5x01397−202e x13−108−871401109014e x0π4−310−102 · (1 − x)011111608012612−224e x · cos xπ2ππ · eπeπ13−5070113/514015 sin(2x)0112/315−213e x012362Глава 3.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийТаблица 3.4. Ответы к вариантам задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка№ вар.Решение u(x)№ вар.Решение u(x)1ex8712 − e x + e 7x66x x2+e + e −x29−5 sin x + 2 cos x + 2e x10x2 + e x118 42+ x − e −6x3 3312e x · [(2x − π − 1) · sin x−2345(7 − 3x)e x−2x2+sin x + sin x213π · cos(2x) + sin(2x)+2+x · [sin(2x) − cos(2x)]6715−π · cos x]1 x 11 3x 1 5xe + e + e8483 72− x + e 5x5 555e 2x−1 − 2e x + e − 1144 sin x + cos x − sin(2x)332 + x + · x2 · e x21363Глава 3.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийТаблица 3.5. Варианты задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка№ФункцииОтрезок [a, b] Нач. условиявар.f1 (x, u1 , u2 )f2 (x, u1 , u2 )abu1,0u2,01−1/u21/u102122(u2 − 1)/u21/(u1 − x)02−113x/(u1 · u2 )x/u2102114−u2 /xu1−2 ·x−u1 /x1320131e−1315u2 + (2 + x) ·u1x6u1 + 3u2−u1 + 5u20373u1 − 2u2 + x3u1 − 4u2028u2 − 5 cos x2u1 + u20π1492u1 + u2 + 2 · e xu1 + 2u2 − 3 · e 4x020−2103u1 + 2u2 + 3 · e 2xu1 + 2u2 + e 2x020−211u2 + cos x1 − u10π1−0.512−5u1 − u2 + e xu1 − 3u2 + e 2x0211990021190013−u2 + cos x−u1 + sin x0π1−1142u1 − u2−u1 + 2u2 −0π23−200e42131831112−5 · e x · sin x152u1 − 4u2 + 4e −2x2u1 − 2u264Глава 3.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийТаблица 3.6. Ответы к вариантам задачи Коши для системы обыкновенныхдифференциальных уравнений первого порядка№ вар.u1 (x)u2 (x)1e −x/22 · e x/22x − exe −x31/33 2·x +121/33 2·x +124x + 1/x−x + 1/x51/x2e x − 1/x263 · e 2xe 2x7252 · e 2x + e −3x − x −3188e 2x + 3 · e −3x −x1−2 12e −x + e 2x − 2 sin x − cos x −e −x + 2 · e 2x + sin x + 3 cos x9e 3x + x · e x − e 4xe 3x − (1 + x) · e x − 2 · e 4x10e x − e 2x−e x − e 2xx· cos x241· ex −· e 2x2536x1− · sin x − · cos x2217· ex +· e 2x253613sin x + e x−e x14e x · (2 cos x − sin x)e x · (3 cos x + sin x)150e −2x11121+65Глава 4Краевая задача для линейного обыкновенногодифференциального уравнения второгопорядкаЦель работы — изучение и применение численных методов для приближенного решения краевых задач для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.Продолжительность работы — 2 часа.4.1.
Постановка задачиТребуется найти функцию u(x), которая является решением следующейкраевой задачиu00 + p(x)u0 + q(x)u = f (x), a < x < b,(4.1.1)u(a) = A, u(b) = B.(4.1.2)Задачу (4.1.1), (4.1.2) называют краевой, поскольку дополнительные условия(4.1.2) задаются на концах отрезка [a, b].4.2. Численные методы решения краевой задачи4.2.1. Разностная аппроксимация производныхВведем на отрезке [a, b] равномерную сетку ωh (3.2.1). Записывая уравнение (4.1.1) во внутренних узлах сетки ωh , получим (n − 1)-но уравнение для66Глава 4.
Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравненияопределения 3(n − 1) неизвестных ui , u0i и u00i :u00i + pi u0i + qi ui = fi , i = 1, 2, ..., (n − 1),(4.2.1)где ui = u(xi ), u0i = u0 (xi ), u00i = u00 (xi ), pi = p(xi ), qi = q(xi ), fi = f (xi ). Длятого чтобы получить замкнутую систему уравнений относительно ui , необходимо первые и вторые производные функции u(x) в узловых точках выразитьчерез значения u(x) в этих точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
