Лекции по теории вероятности в электронном виде (1077502), страница 5
Текст из файла (страница 5)
defcov(ξ, η)DξDηÎïðåäåëåíèå: ξ, η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; òîãäà ρ(ξ, η) = √êîýôôèöèåíòâåëè÷èí ξ è η .Òåîðåìà 5 (ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè): ξ, η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; òîãäà1) |ρ(ξ, η)| ≤ 1;2) Åñëè ξ è η íåçàâèñèìû, òî ρ(ξ, η) = 0;3) ∀ c1 , c2 ∈ R, η = c1 ξ + c2 |ρ(ξ, η)| = 1.4 1) ∀ λ ∈ R D(λξ + η) = λ2 Dξ + 2λ cov(ξ, η) + Dη ≥ 0 ⇒ (ðàññìàòðèâàåì√ êàê êâàä2ðàòíûé òð¼õ÷ëåí îòíîñèòåëüíî λ) ⇒ (cov(ξ, η)) − Dξ · Dη ≤ 0 ⇒ | cov(ξ, η)| ≤ Dξ · Dη ⇒|ρ(ξ, η)| ≤ 1.2) Ñëåäóåò èç ñâîéñòâà 4 òåîðåìû 3.3) Ïóñòü Mξ = a, Dξ = σ 2 ⇒ Mη = c1 a + c2 , Dη= c21 σ 2 , cov(ξ, η) = M(ξ − a)(c1 ξ + c1 σ 2 = 1.
c2 − c1 a − c2 ) = c1 M(ξ − a)2 = c1 σ 2 ⇒ |ρ(ξ, η)| = c1 σ 2 Îïðåäåëåíèå: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íàçûâàþòñÿ íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëèρ(ξ, η) = 0, è êîððåëèðîâàííûìè â îáðàòíîì ñëó÷àå.Çàìå÷àíèå: äâóìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ, η íåâûðîæäåíî â ñëó÷àå |ρ(ξ, η)| < 1 è âûðîæäåíî ïðè |ρ(ξ, η)| = 1; ïðè ρ = 0 ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûξ1 è ξ2 äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íåçàâèñèìû.êîððåëÿöèèïîðÿäêà k íàçûâàåòñÿ Mξ k , àáñîëþòíûì ìîkkìåíòîì ïîðÿäêà k : M|ξ| .
Öåíòðàëüíûé ìîìåíò ïîðÿäêà k : M(ξ − Mξ) , àáñîëþòíûéköåíòðàëüíûé ìîìåíò ïîðÿäêà k : M|ξ − Mξ| .Çàìå÷àíèå: åñëè ñóùåñòâóåò ìîìåíò k -ãî ïîðÿäêà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , òî ñóùåñòâóþò è âñå ìîìåíòû áîëåå íèçêèõ ïîðÿäêîâ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Îïðåäåëåíèå:ñìåøàííûì ìîìåíòîì193.5.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Òåîðåìà 1 (íåðàâåíñòâî Ìàðêîâà): ξ ≥ 0 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ìàòåìàòè-Mξ÷åñêîå îæèäàíèå; a ≥ 0 ⇒ P {ξ ≥ a} ≤.a4 Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî è äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèé ξ .0, x < 0+∞Rϕ(x)dx = 1 ⇒1) Àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ξ : pξ (x) =0ϕ(x), x ≥ 0,+∞+∞+∞RRRMξ∀ a > 0 Mξ =xϕ(x)dx ≥xϕ(x)dx ≥ a ·ϕ(x)dx = a · P {ξ ≥ a} ⇒ P {ξ ≥ a} ≤.a0aa2) Äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå ξ : ïóñòü ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ x1 < x2 < .
. . < xk < . . . ;+∞+∞+∞PPP∀ a > 0 ∃ k ∈ N: xk < a, xk+1 ≥ a. Mξ =xi pi ≥xi pi ≥ a ·pi = a · P {ξ ≥ a} ⇒i=1i=k+1i=k+1MξP {ξ ≥ a} ≤.aÑëåäñòâèå (íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà): ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ äèñïåðñèþ;Dξòîãäà ∀ ε > 0 P {|ξ − Mξ| ≥ ε} ≤ 2 .εDξ4 P {|ξ − Mξ| ≥ ε} = P {|ξ − Mξ|2 ≥ ε2 } ≤ 2 . εÎïðåäåëåíèå: η1 , . . .
ηn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ηk }k∈N ñõîPäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå η (ηn −→ η, n → ∞), åñëè ∀ ε > 0P {|ηn − η| ≥ ε} → 0, n → ∞ (òî åñòü P {|ηn − η| < ε} → 1, n → ∞).Îïðåäåëåíèå: ξ1 , . . . ξn , .
. . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ìàòåìàòè÷åñêîå îæènPξk ; ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ξk }k∈N ïðèìåíèì çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, åñëèäàíèå; Sn =k=1 P→ 0, n → ∞).∀ ε > 0 P Snn − M Snn ≥ ε → 0, n → ∞ (òî åñòü Snn − M Snn −Òåîðåìà 2 (Ìàðêîâà): ξ1 , . . . ξn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ìàò. îæèäàíèå èDSnäèñïåðñèþ. Òîãäà {ξk }k∈N óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë, åñëè 2 → 0, n → ∞ (ânn1 Pñëó÷àå ïîïàðíîé íåêîððåëèðîâàííîñòè ξ äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ïðèìåò âèä 2 · Dξk → 0,n k=1n → ∞ ñì. òåîðåìó 4 (3.4)). DSn 4 ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N: ∀ n ≥ N 2 < ε3 , íî, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó ×åáûøåâà,nSn SnD nSn DSnSnSn P∀ n≥N P −M ≥ε ≤< 2 2 <ε⇒−M−→ 0, n → ∞. nnε2nεnnÒåîðåìà 3 (×åáûøåâà): ξ1 , .
. . ξn , . . . ïîïàðíî íåêîððåëèðîâàííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ìàò. îæèäàíèå è äèñïåðñèþ; ∃ C ≥ 0: ∀ k ∈ N Dξk ≤ C . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξk }k∈N óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë.n1 PnCC4 2·Dξk ≤ 2 =→ 0, n → ∞, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξk }k∈N óäîâëåòâîn k=1nnðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë ïî òåîðåìå Ìàðêîâà. Òåîðåìà 4 (Áåðíóëëè): ñëó÷àéíûåâåëè÷èíûµn ðàñïðåäåëåíû áèíîìèàëüíî ñ ïàðàn µo nìåòðàìè (n, p); òîãäà ∀ ε > 0 P − p < ε → 1, n → ∞.n0, pnP4 µn =ξi , ξi =⇒ (ïî òåîðåìå ×åáûøåâà) {ξk }k∈N óäîâëåòâîðÿåòi=11, q = 1 − p20n µoµnµnµnP nçàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë ⇒−M=−p −→ 0, n → ∞ ⇒ P − p < ε → 1,nnnnn → ∞. Ïðèìåðû:1) Îöåíêà âåðîÿòíîñòè óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëè: P {|µn − np| ≥ ε} =npqDµn= 22εε(Mµn = np, Dµn = npq ñì.
3.4).2) Îöåíêà äîëè áðàêà ïî êîíòðîëüíîé âûáîðêå: ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì (áåëûå øàðû áðàêîâàííûå èçäåëèÿ); ïóñòü n ÷èñëî èçäåëèéâ êîíòðîëüíîé âûáîðêå, N îáú¼ì ïàðòèè èçäåëèé, M ÷èñëî áðàêîâàííûõ èçäåëèé âîâñåé ïàðòèè, ξ ÷èñëî áðàêîâàííûõ èçäåëèé â âûáîðêå. Òîãäà, ñîãëàñíî 3.4, Mξ1 MM N −nξ=, D= ·1−⇒ (íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà)MnNnn NN N −1ξM M N −n1 M⇒P − ≥δ ≤ 21−.nNnδ NN N −1(1)(m)Òåîðåìà 5 (Ñëóöêîãî áåç äîêàçàòåëüñòâà): g(λ1 , . . . λm ) ∈ C 1 (Rm ); ξn , . .
. ξn ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ∀ i = 1, mCi , n → ∞. Òîãäàg(C1 , . . . Cm ), n → ∞.Îïðåäåëåíèå: ξ1 , . . . ξn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; {ξk }k∈N ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì ïîðÿäêà r ∈ N ïðè n → ∞, åñëè M((ξn − n)r ) → 0, n → ∞ (â ÷àñòíîñòè, ïðè r = 2 ðåàëèçóåòñÿñõîäèìîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì ).(i) Pξn −→(1)(m) Pg(ξn , . . . ξn ) −→Îïðåäåëåíèå: F1 (x), .
. . Fn (x), . . . ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíd→ ξ, n → ∞), åñëèξ1 , . . . ξm , . . . ; {ξk }k∈N ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ (ñëàáî ñõîäèòñÿ : ξn −∀ x ∈ R: F ∈ C(x) ∃ lim Fn (x) = F (x) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ξ .n→∞ξn − A d→ η,−Îïðåäåëåíèå: ξ1 , . . . ξn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; åñëè ∃ B > 0, A : ηn =B2u1 Rxãäå η èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (Fηn (x) → √ · e− 2 du = Φ(x), n →2π −∞∞), òî {ξk }k∈N àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñ ïàðàìåòðàìè (A, B).Òåîðåìà 6 (öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà áåç äîêàçàòåëüñòâà): ξ1 , .
. . , ξn , . . . nPîäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; Mξn = a, Dξn = σ 2 ; Sn =ξk . Òîk=1RSn − na√ãäà P<x⇒ Φ(x) (òî åñòü Sn àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñ ïàðàìåòðàìèn→∞√ σ n(na, σ n)).Ñëåäñòâèå: µn ðàñïðåäåëåíà áèíîìèàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (n, p); òîãäà µn = ξ1 +. . .+ξn ,ãäå ξi áåðíóëëèåâñêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (èíäèêàòîðû). Òîãäà {µn }n∈N àñèìïòîòè÷åñêè√íîðìàëüíà ñ ïàðàìåòðàìè (np, npq), òî åñòü èíòåãðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà ÌóàâðàËàïëàñà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû.Òåîðåìà 7 (Ëÿïóíîâà áåç äîêàçàòåëüñòâà): ξ1 , .
. . ξn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìånnnPPPþùèå òðåòèé öåíòðàëüíûé ìîìåíò; Sn =ξk , An =Mξk , Bn2 =Dξk , Cn3 =k=1k=1k=1nPSn − MSn3 Cn√M|ξk − Mξk | ;→ 0, n → ∞; òîãäà P< x → Φ(x), n → ∞.BnDSnk=1Òåîðåìà 8 (ñõîäèìîñòè áåç äîêàçàòåëüñòâà): ξ1 , . . . ξn , . . . ; η1 , . . . ηn , . . .
ñëó÷àéíûåξnP(1)(2)(3).âåëè÷èíû; Fξn → F, n → ∞; ηn −→ C, n → ∞. Jn = ξn + ηn , Jn = ξn ηn , Jn =ηnxÒîãäà FJ (1) → F (x − C), n → ∞; FJ (2) → F (xC), n → ∞; FJ (3) → F, n → ∞ (äâànnnCïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèÿ âåðíû òîëüêî ïðè C > 0).214.4.1.Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.Âûáîðêè è èõ ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.Îïðåäåëåíèå: x1 , . . .
xn îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè-÷èíû; íàáîð ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèé (x1 , . . . xn ) íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé îáú¼ìà n è îáû÷íî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåçóëüòàòû n îäèíàêîâûõ, íåçàâèñèìûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ýëåìåíòûâûáîðêè ìîãóò áûòü ïåðåñòàâëåíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èòñÿµn (x)(1)íàçûâàåòñÿ ýìâàðèàöèîííûé ðÿä (x, . . . x(n) ), x(1) ≤ x(2) ≤ . . .
≤ x(n) . Fbn (x) =nïèðè÷åñêîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, ãäå µn (x) ÷èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ìåíüøèõ x.bn (x) − F (x)| ≥ ε} = 0, ãäå F (x) ôóíêöèÿÒåîðåìà 1: ∀ x ∈ R, ∀ ε > 0 lim P {|Fn→∞Pcn (x) èðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí xi (òî åñòü Fbn −→ F, n → ∞) (â äàííîì ñëó÷àå FF (x) ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñëó÷àíûå âåëè÷èíû).4 Ïðè ôèêñèðîâàííîì x ∈ R µn èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåñ ïàðàìåòðàìèon µ n(n, p) (p = P {xk < x} = F (x)), ïîýòîìó, ïî òåîðåìå Áåðíóëëè, P − F (x) < ε → 1,nPcn −n→∞⇒F→ F, n → ∞.
Çàìå÷àíèå: âûáðàâ {zi }r+1i=0 ∈ R: − ∞ = z0 < z1 < . . . < zr < zr+1 = +∞ èbbpbk = Fn (zk+1 ) − Fn (zk ) (k = 0, r), ìîæíî ïîñòðîèòü ïðÿìîóãîëüíèêè ñ îñíîâàíèÿìè íàîòðåçêàõ [zk , zk+1 ] è âûñîòîé pbk ; ýòè ïðÿìîóãîëüíèêè ñîñòàâëÿþò ãèñòîãðàììó ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è íà ðèñóíêå çàêðàøåíû; ëèíèÿ, ñîåäèíÿþùàÿ ñåðåäèíû ñòîðîí ýòèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, îïèñûâàåò ïîëèãîí ÷àñòîò, è áëèçêà êãðàôèêó p(x) ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èçìåðÿåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Îïðåäåëåíèå: ÷èñëà aν =n1 P·xν íàçûâàþòñÿn k=1 k, à mν =âûáîðî÷íûìè ìîìåíòàìènn1 P1 P· (xk − x̄)ν öåíòðàëüíûìè âûáîðî÷íûìè ìîìåíòàìè (x̄ = a1 = · xk ).
Ìîìåíòûn k=1n k=1νðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îáîçíà÷àþòñÿ êàê αν = Mξ , µν = M(ξ − Mξ)ν .Î÷åâèäíî, ÷òî âûáîðî÷íûå ìîìåíòû òàêæå ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.n1 PÏðèìåð: ðàññ÷èòàåì íåêîòîðûå õàðàêòåðèñòèêè a1 è m2 . Mx̄ = ·Mxk = α1 , Dx̄ =n k=1nnn1 Pµ21 P1 P2·Dx=.Ïóñòüy=x−Mx;òîãäàm=·(y−ȳ)=·y 2 − ȳ 2kkkk2kn2 k=1nn k=1n k=1 k!nnX22 X2Mx̄ = Mxk ⇒ Mȳ = x̄ − Mx̄; ·yk ȳ = · (x̄ − Mx̄) yk = 2ȳ⇒n k=1nk=1n1 X12⇒ Mm2 = ·µ2 − M(x̄ − Mx̄) = µ2 − Dx̄ = µ2 1 −.n k=1n22Îïðåäåëåíèå: ξ0 , ξ1 , .
. . ξn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ñòàíäàðòíîåíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå; òîãäà ñëó÷àéíàÿ√âåëè÷èíà ξn2 = ξ12 +. . .+ξn2 èìååò ðàñïðåäåëåíèåξ0 nõè-êâàäðàò ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, à τn = ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìèχ2nñâîáîäû.Òåîðåìà 2 (Ôèøåðà áåç äîêàçàòåëüñòâà): x1 , . . . xn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (a, σ); òîãäà x̄ è m2 íåçàâèñèìû,σnm2ïðè÷¼ì x̄ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (a, √ ), à 2 ðàñïðåäåëåíèåσnõè-êâàäðàò ñ n − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.x̄ − a √Ñëåäñòâèå: ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà √n − 1 èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − 1m2ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.x̄ − aσ√√x̄ − a √x̄ − an4 √n−1= n−1· √, íî, ïî òåîðåìå Ôèøåðà, σ èìååò ñòàíäàðòíîå√nm2m2nσ√nm2 2íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, à ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñ n − 1 ñòåïåíÿìèσñâîáîäû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
