Лекции по теории вероятности в электронном виде (1077502), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. . ξni (i = 1, m) íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ϕi : Rni → R áîðåëåâñêèå ôóíêöèè; òîãäà ñëó÷àéíûå(i)(i)âåëè÷èíû ηi = ϕi (ξ1 , . . . ξni ) òàêæå íåçàâèñèìû.14Òåîðåìà 2 (ôîðìóëà êîìïîçèöèè (ñâ¼ðòêè)): ξ, η íåçàâèñèìûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,Rðàñïðåäåë¼ííûå àáñîëþòíî íåïðåðûâíî; τ = ξ + η ⇒ pτ (z) = pξ (u)pη (z − u)du.RZz−uZZ4 Fτ (z) = Fξ+η (z) =pξη (u, v)dudv ==−∞dv−∞u+v<zZzZ+∞pξη (u, v)du =u=uv =w−u=−∞ +∞ZZzZ+∞ pξη (u, w − u)du dw =pτ (w)dw ⇒ pτ (z) =pξη (u, z − u)du =−∞−∞−∞Z+∞= (ξ, η íåçàâèñèìû) =pξ (u)pη (z − u)du. −∞Ñëåäñòâèå: ξ, η ðàñïðåäåëåíû íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (a1 , σ1 ), (a2 , σ2 ) ñîîòâåòñòâåííî; pòîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà τ = ξ + η ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè(a1 + a2 , σ12 + σ22 ).Z11 (x − a1 )2 (z − x − a2 )24 Ïî ôîðìóëå êîìïîçèöèè pτ (z) =dx =+exp −2πσ1 σ22σ12σ22RZu = z − a1 − a211 v 2 (u − v)2==exp −+dv =v = x − a12πσ1 σ22 σ12σ22RZ221+σ1u2σ12u2σ12u21σ212exp −− 2uv · 2 + 2 · 2−·+=v ·dv =2πσ1 σ22σ12 σ22σ2 σ2 σ1 + σ22 σ22 σ12 + σ22 σ22R!2pZ2222σ1 + σ211uσuσ1 dv =p 1exp − −v·=+1−222πσ1 σ22σ1 σ2σ2σ1 + σ22σ2 σ12 + σ22R!ppu2−σ12 + σ22σ12 + σ22uσ112 +σ 2 )2(σ12 ·− p 2=·e= t=v·, |J| =σ1 σ2σ1 σ22πσ1 σ2σ2 σ1 + σ22Z √Z(z−a1 −a2 )222tt−1σ1 σ21122−−·√· e 2(σ1 +σ2 )2π · p 2e 2 dt = √e 2 dt = 1 = p2222π2π2π(σ1 + σ2 )σ1 + σ2RRp íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (a1 + a2 , σ12 + σ22 ).

Ïðèìåð: ξ, η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (0, σ), à η ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [− h2 , h2 ]. Íàéä¼ì Pτ (x), ãäå τ = ξ + η . 1 , x ∈ [− h , h ]2x1− 22 22σepξ (x) = √, pη (x) = h⇒2πσh h0, x 6∈ [− 2 , 2 ]x+Z⇒ pτ (x) =x−h21√h 2πσt2− 22σedt=1hΦ0x+σh2!− Φ0x−σh2!!.h2Çàìå÷àíèå: íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ìîãóò áûòü ñâÿçàíû ôóíêöèîíàëüíî;íàïðèìåð, â ñëó÷àå âûðîæäåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ξ â òî÷êå x = 1, η = ξ 2 èìååò òàêîå æåðàñïðåäåëåíèå, à êîíñòàíòû íåçàâèñèìû (ñì. 3.2, ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2).15→−→Îïðåäåëåíèå: ξ = (ξ1 , .

. . ξn ), −η = (η1 , . . . ηm ) ñëó÷àéíûå âåêòîðà; Dξ ⊂ Rn , P {ξ ∈Dξ } > 0; òîãäàF (y1 , . . . ym ) = P {η1 < y1 , . . . ηm < ym |ξ ∈ Dξ } =P {η1 < y1 , . . . ηm < ym , ξ ∈ Dξ }P {ξ ∈ Dξ }ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η .Åñëè ξ è η ðàñïðåäåëåíû äèñêðåòíî, òî ìîæíî îáîçíà÷èòü P {ξ = xk , η = ym } = pkm ;Ppkm âåðîÿòíîñòü äëÿ η ïðèòîãäà P {ξ = xk } =pkm = pk ⇒ P {η = ym |ξ = xk } =pkmôèêñèðîâàííîì ξ .Åñëè ξ è η ðàñïðåäåëåíû àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, òîóñëîâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿRy x+hRP {η < y|x ≤ ξ < x + h} =−∞ xx+hRxôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ3.4.η +∞RRypξη (u, v)dudv−−→h→0pξη (u, v)dv dupξη (x, v)dv−∞pξ (x)= P {η < y|ξ = x}−∞ïðè ôèêñèðîâàííîìξ.×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.x1 .

. . xn . . .Îïðåäåëåíèå: ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåë¼ííàÿ äèñêðåòíî, òîp1 . . . pn . . .Pxk pk ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ξ (ñóùåñòâóåò, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèéãäà Mξ =kðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî); åñëè ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåë¼ííàÿ àáñîëþòíî íåïðå+∞Rðûâíî, òî Mξ =xpξ (x)dx (ñóùåñòâóåò, åñëè ñîîòâåòñòóþùèé íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë−∞ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî).

Åñëè æå ðÿä (èíòåãðàë) ñõîäèòñÿ óñëîâíî èëè ðàñõîäèòñÿ, òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ξ íå ñóùåñòâóåò.→−Îïðåäåëåíèå: ξ = (ξ1 , . . . ξn ) ñëó÷àéíûé âåêòîð; g : Rn → R áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ;def Pη = g(ξ). Åñëè ξ ðàñïðåäåëåíà äèñêðåòíî ïî âåêòîðàì x1 , . . . xn , . . ., òî Mη =g(xk )pk ;kdef Råñëè ξ ðàñïðåäåëåíà àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, òî Mη =g(x1 , . . . xn )pξ1 ...ξn (x1 , . . .

xn ) ·Rn·dx1 . . . dxn (äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ξ ðÿä (èíòåãðàë) äîëæåí ñõîäèòüñÿ àáñîëþòíî).Òåîðåìà 1 (ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæäèàíèÿ): ξ, η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ìàòåìàòè÷åñêîå îæäèàíèå; òîãäà1) ∀ C ∈ R M(Cξ) = C · Mξ ;2) ∀ C ∈ R MC = C ;3) Mξ ≤ M|ξ|;4) M(ξ + η) = Mξ + Mη ;5) Åñëè ξ è η íåçàâèñèìû, òî M(ξη) = Mξ · Mη .4 Äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ 1-3 ñëåäóþò èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ðÿäîâ è íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ.ZZZ4) M(ξ + η) = (x + y)pξη (x, y)dxdy = xpξη (x, y)dxdy + ypξη (x, y)dxdy =R2R216R2ypη (y)dy = Mξ + Mη;xpξ (x)dx +RR5) M(ξη) =RRZZ=pξη (x, y)dx dy =ypξη (x, y)dy  dx +RRZZZx=ZZZZR2ypη (y)dy = Mξ · Mη.xpξ (x)dx ·xypξη (x, y)dxdy =RR(pξη (x, y) = pξ (x) · pη (y)) .Çàìå÷àíèå: åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå η = ξ1 +.

. . + ξn (ãäå ξi íåçàâèñèìû, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû è íàçûâàþòñÿ èíäèêàòîðàìè ), òînPMη = Mξi .i=1Ïðèìåðû:1) Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå : µn ðàñïðåäåëåíà áèíîìèàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (n, p);òîãäà µn = ξ1 + . . . + ξn , ãäå ξi èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì p; òîãäà èççàìå÷àíèÿ ñëåäóåò, ÷òî Mµn = np.2) Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå :kpk = pq ⇒ Mξ =∞Xkkpq = pqk=1∞Xkqk−1= pq∞Xk=1k=1!0qk= pqq1−q0q= .p3) Ðàñïðåäåëåíèå Ïàñêàëÿ : µn = ξ1 +. . .+ξn+k , ãäå èíäèêàòîðû ξi èìåþò ãåîìåòðè÷åñêîån+kPqðàñïðåäåëåíèå; òîãäà èç çàìå÷àíèÿ ñëåäóåò, ÷òî Mµn =Mξi = (n + k).pi=14) Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå : µn = ξ1 + .

. . + ξn , ãäå ξi ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1M; òîãäàïðè âûòàñêèâàíèè áåëîãî øàðà è çíà÷åíèå 0 ïðè âûòàñêèâàíèè ÷¼ðíîãî. Mξi =NnMMµn =.N+∞P λk−1λk e−λ5) Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà : pk =⇒ Mξ = λe−λ ·= λ · e−λ · eλ = λ.k!(k−1)!k=1Rb xdx(b2 − a2 )a+b6) Ðàâíîìåðíîå ðàñðåäåëåíèå : Mξ ===.2(b − a)2a b−a7) Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå :ZZ1(x − a)211(x − a)2Mξ = √x exp −dx = √·exp −d(x − a)2 +2σ 22σ 22πσ2πσ 2RRZ2a(x − a)+√· exp −dx = 0 + a · 1 = a.2σ 22πσR8)Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå: Mξ =+∞R0xαe−αx dx = −xe−αx |+∞+0+∞R0e−αx dx =1.α1 11 R |x|dx9) Ðàñïðåäåëåíèå Êîøè : pξ (x) =⇒ ðàñõîäèòñÿ, òî åñòü ìàòåìàòè2π1+xπ R 1 + x2÷åñêîå îæèäàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Êîøè íå ñóùåñòâóåò.17Îïðåäåëåíèå: ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåë¼ííàÿ äèñêðåòíî è èìåþùàÿ ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå; òîãäà Dξ = M ((ξ − Mξ)2 ) = Mξ 2 − (Mξ)2 íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé√ξ , à Dξ ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì ξ (îïðåäåëåíû òîëüêî â òîì ñëó÷àå,êîãäà ñóùåñòâóåò M(ξ − Mξ)2 .

Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ξ ðàñïðåäåëåíà äèñêðåòíî,òî Dξ =RP22(xk −Mξ) pk , à åñëè ξ ðàñïðåäåëåíà àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, òî Dξ = (x−Mξ) pξ (x)dx =RRk 2x pξ (x)dx − (Mξ)2 .RÒåîðåìà 2 (ñâîéñòâà äèñïåðñèè): ξ, η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå äèñïåðñèþ;òîãäà1) Dξ ≥ 0;2) ∀ C ∈ R DC = 0;3) ∀ C ∈ R D(Cξ) = C 2 · Dξ ;4) D(ξ1 + ξ2 ) = Dξ1 + Dξ2 + 2M(ξ1 − Mξ1 )(ξ2 − Mξ2 ); åñëè ξ1 è ξ2 íåçàâèñèìû, òîD(ξ1 + ξ2 ) = Dξ1 + Dξ2 .4 Äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ 1-3 ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ äèñïåðñèè, à òàêæå ñâîéñòâ÷èñëîâûõ ðÿäîâ è íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ.4) D(ξ1 + ξ2 ) = M(ξ1 + ξ2 − M(ξ1 + ξ2 ))2 = M ((ξ1 − Mξ1 ) + (ξ2 − Mξ2 ))2 = Dξ1 +Dξ2 + 2M(ξ1 − Mξ1 )(ξ2 − Mξ2 ). Åñëè ξ1 è ξ2 íåçàâèñèìû, òî M ((ξ1 − Mξ1 )(ξ2 − Mξ2 )) =(Mξ1 − Mξ1 )(Mξ2 − Mξ2 ) = 0 ⇒ D(ξ1 + ξ2 ) = Dξ1 + Dξ2 .

Ïðèìåðû:1) Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå : µn = ξ1 + . . . + ξn , ξi èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñïàðàìåòðîì p; òîãäà Dξi = Mξi2 −(Mξi )2 = p−p2 ⇒ (ξi íåçàâèñèìû) Dµn = n(p−p2 ) = npq .2)Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà: Mξ 2 − Mξ = M(ξ(ξ − 1)) =+∞Pm(m − 1) ·m=0λm −λe = λ2 ·m!λm−2· e−λ = λ2 ⇒ Mξ 2 = λ2 + λ ⇒ Dξ = λ (ïîä −2! ïîíèìàåòñÿ 2, ïîä −1! (−1)).m=2 (m − 2)!3) Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå : µn = ξ1 + . . . + ξn , ξi ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå 1 ïðè èçâëå÷åíèè áåëîãî øàðà è 0 ïðè èçâëå÷åíèè ÷¼ðíîãî, òîåñòü!2nn1, MXXXMMNξi =Mξk2 +Mξk ξl = n +ξk=; Mµn = n ; Mµ2n = MNNk=1k=1k6=l0, 1 − MN+∞P2M (M − 1)MM (M − 1)22M2+n(n − 1); Dµn = Mµn − (Mµn ) = n + n(n − 1)−n 2 =N (N − 1)NN (N − 1)N2M N (N − 1) + M N (M − 1)(n − 1) − nM (N − 1)MM N −n=n ·1−=n.NN (N − 1)NN N −14)Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåZbDξ =)2(x − a+b12dx =b−a3(b − a):a+bx−23|ba1=3(b − a)(b − a)3 (a − b)3−88=(b − a)2.12a(x−a)21 R−25) Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå : Dξ = √(x − a) e 2σ2 dx =2πσ R 2y2√R 2 − y2R − y2σ2σ−+∞y e 2 dy = − √ye 2 |−∞ − e 2 dy = √ · 2π = σ 2 .2π2πRR18x−ay=σσ2=√ ·2πÇàìå÷àíèå: ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ìàò.

îæèäàíèå è äèñïåðñèþ; η =ξ − Mξ√DξM(ξ − Mξ)Mξ − MξD(ξ − Mξ)Dξ√= √= 0, Dη === 1; òàêèì îáðàçîì ïîëóDξDξDξDξ÷èì η öåíòðèðîâàííóþ è íîðìèðîâàííóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó.⇒ Mη =defÎïðåäåëåíèå: ξ è η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; òîãäà cov(ξ, η) = M ((ξ − Mξ)(η − Mη)) =M(ξη) − Mξ · Mη êîâàðèàöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η .Òåîðåìà 3 (ñâîéñòâà êîâàðèàöèè): ξ, η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; òîãäà1) cov(ξ, ξ) = Dξ ;2) cov(ξ, η) = cov(η, ξ);3) ∀ C1 , C2 ∈ R cov(C1 ξ, C2 η) = C1 C2 cov(ξ, η);4) ξ è η íåçàâèñèìû; òîãäà cov(ξ, η) = 0 (îáðàòíîå íåâåðíî).4 Âñå ñâîéñòâà ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ êîâàðèàöèè, äèñïåðñèè, ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è ñâîéñòâ ìàò. îæèäàíèÿ.Òåîðåìà 4: ξ1 , .

. . ξn ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; òîãäà ∀ c1 , . . . cn ∈ R!nnXXDci ξi =ci cj cov(ξi , ξj ).i=1i,j=14 Ïîêàæåì, ÷òî ðàâåíñòâî âåðíî ïðè n = 2:D(c1 ξ1 + c2 ξ2 ) = M (c1 ξ1 − c1 Mξ1 )2 + (c2 ξ2 − c2 Mξ2 )2 + 2(c1 ξ1 − c1 Mξ1 )(c2 ξ2 − c2 Mξ2 ) == c21 Dξ1 + c22 Dξ2 + 2c1 c2 cov(ξ1 , ξ2 );àíàëîãè÷íî ìîæíî ïî èíäóêöèè ïåðåéòè ê îáùåìó óòâåðæäåíèþ.

Характеристики

Список файлов лекций