Лекции по теории вероятности в электронном виде (1077502), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. . ⊃ (−∞, −n) ⊃ . . . ,(−∞, −n) = ∅ ⇒n∈NTξ −1(−∞, −n) = ∅ ⇒ (àêñèîìà íåïðåðûâíîñòè) lim F (x) = P (∅) = 0 (íà ñàìîìx→−∞n∈Näåëå, ïîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ÷àñòè÷íîãî ïðåäåëà ïðè x → −∞, îäíàêî, ïîñêîëüêó Fìîíîòîííà, òî, ïî òåîðåìå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà (ñì. 1.3.2), ñóùåñòâóåò è èñêîìûéïðåäåë).

lim F (x) = P {ξ < +∞} = P (Ω) = 1.x→+∞T(−∞, x0 − n1 ) = (−∞, x0 ),3) (−∞, x0 −1) ⊃ (−∞, x0 − 21 ) ⊃ . . . ⊃ (−∞, x0 − n1 ) ⊃ . . . ,n∈NT1−1= lim F (x)ïîýòîìó, àíàëîãè÷íî ï. 2, F (x0 ) = P {ξ < x0 } = P ξ(−∞, x0 − n )n∈Nx→x0 −0(çäåñü âíîâü ïîêàçàíî ëèøü ñóùåñòâîâàíèå ÷àñòè÷íîãî ïðåäåëà, êîòîðûé îïðåäåëÿåò èñóùåñòâîâàíèå èñêîìîãî îäíîñòîðîííåãî).4) F ìîíîòîííà, ïîýòîìó ∀ x ∈ R 0 ≤ F (x) ≤ 1, çíà÷èò, ôóíêöèÿ F ìîæåò èìåòüòîëüêî îäèí ñêà÷îê, âåëè÷èíà êîòîðîãî ïðåâûøàåò 21 , íå áîëåå äâóõ ñêà÷îê, âåëè÷èíà1êîòîðûõ áîëüøå 13 , íî íå ïðåâîñõîäèò 1 1 2 ; àíàëîãè÷íî F èìååò íå áîëåå n ñêà÷êîâ, âåëè÷èíàêîòîðûõ ëåæèò â ïðåäåëàõ n+1 , n .

Òàêèì îáðàçîì, âñåãî F èìååò êîíå÷íîå èëè ñ÷¼òíîåîáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ñêà÷êîâ, òî åñòü êîíå÷íîå èëè ñ÷¼òíîå ÷èñëî ñêà÷êîâ. Çàìå÷àíèå: íåêîòîðûå àâòîðû çàäàþò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ êàê Fξ (x) = P {ξ ≤ x};â ýòîì ñëó÷àå ñâîéñòâà 1, 2 è 4 ñîõðàíÿþòñÿ, à ñâîéñòâî 3 çàìåíÿåòñÿ íà íåïðåðûâíîñòüñïðàâà.Òåîðåìà 3 (áåç äîêàçàòåëüñòâà): ëþáàÿ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ F (x), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñâîéñòâàì 1, 2 è 3 òåîðåìû 2, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû (â ýòîì ñëó÷àå P {ξ ∈ [x1 , x2 )} = F (x2 ) − F (x1 )).10Çàìå÷àíèå: òàêèì îáðàçîì, êàæäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, àêàæäîé ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùåé ñâîéñòâàì1, 2 è 3 òåîðåìû 2, ñëó÷àé-1, p = 12, òî Fξ (x) = F−ξ (x) .íàÿ âåëè÷èíà âîçìîæíî, íå îäíà: íàïðèìåð, åñëè ξ =−1, p = 21 ,Çàìå÷àíèå: ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò ñëóæèòü âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé â âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (R, B(R), Fξ ), íàçûâàåìîì èíäóöèðîâàííûì âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì.Îïðåäåëåíèå: ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ, åñëè îíàïðèíèìàåò êîíå÷íîå èëè ñ÷¼òíîå ÷èñëî çíà÷åíèé {x1 , .

. . xn , . . .}; òîãäà P {ξ = xk } = pk > 0,Pp1 p2 . . . pn . . .pk = 1.  ýòîì ñëó÷àå ÷àñòî çàïèñûâàþò:. Î÷åâèäíî, ÷òî â ñëó÷àåx1 x2 . . . xn . . .k∈Näèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) èìååò ðàçðûâû â òî÷êàõ xk âåëè÷èíîé pk .ðàñïðåäåë¼ííîé äèñêðåòíîÏðèìåðû äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé:1): p{ξ = c} = 1.x1 . . . xn.2) Äèñêðåòíîå ðàâíîìåðíîå :1. . . n1n0, p3) Áåðíóëëèåâñêîå :1, q = 1 − p.4) Áèíîìèàëüíîå ñ ïàðàìåòðàìè (n, p): pk = Cnk pk q n−k (âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ k óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè, ñîñòîÿùåé èç n èñïûòàíèé).C m C n−m5) Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå : pm = M nN −M (âåðîÿòíîñòü èçâëå÷ü m áåëûõ øàðîâ â âûCNáîðêå áåç âîçâðàùåíèÿ n øàðîâ èç óðíû, ñîäåðæàùåé N øàðîâ, ñðåäè êîòîðûõ M áåëûõ).Âûðîæäåííîå6) Ãåîìåòðè÷åñêîå : pk = pq k (âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ïåðâîãî óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëèïîñëå k íåóäà÷).k7) Ðàñïðåäåëåíèå Ïàñêàëÿ : pk = Cn+k−1pn q k (âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ k íåóäà÷ â ñõåìåÁåðíóëëè äî n-ãî óñïåõà).λk e−λ, λ > 0 (ïðèáëèæåíèå ñõåìû Áåðíóëëè ïðè8) Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà : pk =k!n → ∞ â ñëó÷àå npn → λ, n → ∞ ñì.

òåîðåìó Ïóàññîíà).Îïðåäåëåíèå: ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà∃ pξ (x) : ∀ x ∈ R pξ (x) ≥ 0 :R∞pξ (x)dx = 1, ∀ x ∈ R Fξ (x) =−∞, åñëèàáñîëþòíî íåïðåðûâíîRxpξ (t)dt.  ýòîì ñëó÷àå pξ (x)−∞íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ; î÷åâèäíî, P {x1 ≤ ξ < x2 } =Rx2R= pξ (x)dx, ∀ B ∈ B(R) P {ξ ∈ B} = pξ (x)dx.

Äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî, îïðåäåëÿx1BRxdFξþùåå pξ (x), ïî x, ïîëó÷èì:= pξ (x); ñóùåñòâîâàíèåpξ (t)dt ∀ x ∈ R îçíà÷àåò, ÷òîdx−∞dFξpξ =èìååò íà R êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà, à Fξ êóñî÷íî ïðèíàäëåæèò êëàññódx1C (R).Ïðèìåðû àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé:111)Ðàâíîìåðíîåíà [a, b]: 1 , x ∈ [a, b]pξ (x) = b − a0, x 6∈ [a, b]0, x < a⇒ Fξ (x) = x − a , a ≤ x ≤ bb−a1, x > b(ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà [− h2 , h2 ] îïèñûâàåò îøèáêó îêðóãëåíèÿ ïðè èçìåðåíèè òîéèëè èíîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, åñëè h öåíà äåëåíèÿ ïðèáîðà).2) Ïîêàçàòåëüíîå ñ ïàðàìåòðîì λ:1 − e−λx , x ≥ 0λe−λx , x ≥ 0⇒ Fξ (x) =pξ (x) =0, x < 00, x < 0(îïèñûâàåò âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû ïðèáîðà ñì. çàìå÷àíèå).3)Rx−eÍîðìàëüíîå(u−a)22σ 2 du.ñ ïàðàìåòðàìè (a, σ): pξ (x, a, σ) =Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàåòñÿ√1σ 2πe−(x−a)22σ 2⇒ Fξ (x) =1√·σ 2π, åñëè îíî èìååò ïà-ñòàíäàðòíûì−∞ðàìåòðû (0,1); â ýòîì ñëó÷àå Fξ (x) =√12πRxu2e− 2 du = Φ(x).

Ðàñïðåäåëåíèå îïèñûâàåò−∞ðàçáðîñ ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ, âûçâàííûé âëèÿíèåì áîëüøîãî ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ.Çàìå÷àíèå: äëÿ ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðíî ñâîéñòâî îòñóòñòâèÿP {ξ ≥ x + y, ξ ≥ x}ïîñëåäåéñòâèÿ, òî åñòü ∀ x, y > 0P {ξ ≥ x + y/ξ ≥ x} ==P {ξ ≥ x}1 − P {ξ < x + y}e−λ(x+y)=== e−λy = P {ξ ≥ y}.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü ðà1 − P {ξ < x}e−λxáîòû ïðèáîðà â òå÷åíèå íåêîòîðîãî âðåìåíè ïîñëå òîãî, êàê îí óæå ïðîðàáîòàë âðåìÿ t0 ,íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû t0 .Îïðåäåëåíèå: ïóñòü åñòü n ≥ 2 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿF1 (x), . . . Fn (x).

F (x) íàçûâàåòñÿ ñìåñüþ ðàñïðåäåëåíèé, çàäàâàåìûõ F1 , . . . Fn , åñëè F (x) =nnPP=αk Fk (x) (αk ≥ 0 ∀ k = 1, n,αk = 1).k=1k=1Òåîðåìà 4 (Ëåáåãà, áåç äîêàçàòåëüñòâà): ëþáàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ïðåäñòà-âèìà â âèäå ñìåñè ðàñïðåäåëåíèé, çàäàâàåìûõ F1 (x), F2 (x), F3 (x), ãäå F1 ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, F2 ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ðàñïðåäåë¼ííîé àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, F3 ñèíãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ (òà, äëÿ êîòîðîé íåëüçÿ çàäàòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ).3.2.Ìíîãîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.Îïðåäåëåíèå: (Ω, F, P ) âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî; ξ1 , . . .

ξn : Ω → R ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû (n ≥ 2); òîãäà (ξ1 , . . . ξn ): Ωn → R íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì âåêòîðîì.Fξ1 ...ξn (x1 , . . . xn ) = P {ξ1 < x1 , . . . ξn < xn } ìíîãîìåðíàÿ ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ξ1 , . . . ξn (ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà).→−Òåîðåìà 1 (ñâîéñòâà ìíîãîìåðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ): ξ = (ξ1 , . . . ξn ) ñëó÷àéíûé âåêòîð; Fξ1 ,...ξn (x1 , . . . xn ) åãî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ; òîãäà1) ∀ x11 , x12 , x2 , .

. . , xn ∈ R : x11 < x12 F (x11 , x2 , . . . xn ) ≤ F (x12 , x2 , . . . xn ).122) ∀ k = 1, nlim F (x1 , . . . xn ) = 0,3) ∀ x1 , . . . xn ∈ R, ∀ k = 1, nnPlimxk →−∞F (x1 , . . . xn ) = 1.x1 ,...xn →+∞limxk →xk0 −0F (x1 , . . . xn ) = F (x1 , . . . xk−1 , xk0 , xk+1 , . . . xn ).4) ∀ ai , bi ∈ R : ai < bi (i = 1, n) P {a1 ≤ ξ1 < b1 , . .

. an ≤ ξn < bn } = F (b1 , . . . bn ) −Ppi + pij − . . . + (−1)n F (a1 , . . . an ) ≥ 0, ãäå pij çíà÷åíèå F â òî÷êå, äëÿ êîòîðîé i, j, . . .-i=1i<jûå êîîðäèíàòû áåðóòñÿ êàê ai , aj , . . ., à îñòàëüíûå êàê bl (l 6= i, j, . . .).  ÷àñòíîñòè, ïðèn = 2 P {a1 ≤ b1 , a2 ≤ ξ2 < b2 } = F (b1 , b2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ) + F (a1 , a2 ).4 Ñâîéñòâà 13 ñëåäóþò èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ äëÿ îäíîìåðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì. 3.1, òåîðåìà 2), à ñâîéñòâî 4 îñòàâèì áåç äîêàçàòåëüñòâà.

→−Îïðåäåëåíèå: ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ ðàñïðåäåë¼í äèñêðåòíî, åñëè ôóíêöèÿ ξ : Ω → Rnïðèíèìàåò êîíå÷íîå èëè ñ÷¼òíîå ÷èñëî çíà÷åíèé xs = (xs1 , . . . xsn ); òîãäà P {ξ = xs } =P→−ps ≥ 0 ∀ s,ps = 1. ξ ðàñïðåäåë¼í àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, åñëè ∃ pξ1 ...ξn (x1 , . . . xn ): Rn →sRR: ∀ (x1 , . . . xn ) ∈ Rn p(x1 , .

. . xn ) ≥ 0, p(x1 , . . . xn )dx1 . . . dxn = 1RnZx1Zxn···Fξ1 ...ξn =−∞p(u1 , . . . un )du1 . . . dun ;−∞∂ nF.òàêèì îáðàçîì, p(x1 , . . . xn ) =∂x1 . . . ∂xn→−Îïðåäåëåíèå: åñëè ξ = (ξ1 , ξ2 ) ñëó÷àéíûé âåêòîð, òî Fξ1 (x), Fξ2 (y) íàçûâàþòñÿìàðãèíàëüíûìè (îäíîìåðíûì) ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ; àíàëîãè÷íî, pξ1 , pξ2 ìàðãèíàëüíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òîZx Z+∞Z pξ1 ξ2 (u, v)dv  du ⇒ pξ1 (x1 ) = pξ1 ξ2 (x, v)dv.Fξ1 (x) =−∞−∞RÀíàëîãè÷íî â n-ìåðíîì ñëó÷àå ìàðãèíàëüíûå ïëîòíîñòè ïîëó÷àþòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïîn − 1 ïåðåìåííûì.Ïðèìåðû ìíîãîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé:1)Ðàâíîìåðíîå äâóìåðíîå2)Äâóìåðíîå íîðìàëüíîå0, (x, y) 6∈ Díà îáëàñòè D: pξ1 ξ2 (x, y) = 1 , (x, y) ∈ D.S(D)ñ ïàðàìåòðàìè (a1 , a2 , σ1 , σ2 , ρ):1(x − a1 )22ρ(x − a1 )(y − a2 )(y − a2 )2ppξ1 ξ2 (x, y) =exp − 2+− 2.2σ1 (1 − ρ2 )σ1 σ2 (1 − ρ2 )2σ2 (1 − ρ2 )2πσ1 σ2 1 − ρ2Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ρ èìååò ñìûñë êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ξ1 è ξ2 (ñì.

3.4), à(x − a1 )21(y − a2 )21pξ1 (x) = √exp −, pξ2 (y) = √exp −.2σ122σ222πσ12πσ2Îïðåäåëåíèå: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . ξn, åñëè1) Fξ1 ...ξn (x1 , . . . xn ) = Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ) âî âñåõ òî÷êàõ (x1 , . . . xn ), â êîòîðûõ ýòèôóíêöèè îïðåäåëåíû.13íåçàâèñèìû2) ∀ B1 , . . . Bn ∈ B(R) P {ξ1 ∈ B1 , . . . ξn ∈ Bn } = P {ξ1 ∈ B1 } · . . . · P {ξn ∈ Bn }.Çàìå÷àíèå: ïî òåîðåìå 1 (3.1) äàííûå îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòû; îòìåòèì òàêæå, ÷òîíà íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â ñîâîêóïíîñòè íàêëàäûâàåòñÿ ìåíüøåå ÷èñëî óñëîâèé, ÷åì íà íåçàâèñèìîñòü â ñîâîêóïíîñòè ñîáûòèé.

Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñîâìåñòíàÿôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïîçâîëÿåò çàäàòü ñîâìåñòíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìåíüøåãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à òàêæå ìàðãèíàëüíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.Òåîðåìà 2 (áåç äîêàçàòåëüñòâà): ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ1 , . . . ξn ) ðàñïðåäåë¼í äèñêðåòíî; òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû ξ1 , . . . ξn áûëè íåçàâèñèìû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî P {ξ1 =x1 , . . . ξn = xn } = P {ξ1 = x1 } · .

. . · P {ξn = xn } ∀ (x1 , . . . xn ) ∈ Rn .Ñëåäñòâèå: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îäíà èç êîòîðûõ èìååò âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå,íåçàâèñèìû (ðàâåíñòâî, çàäàííîå â óñëîâèè òåîðåìû, âûïîëíÿåòñÿ âî âñåõ òî÷êàõ R2 ).Òåîðåìà 3 (áåç äîêàçàòåëüñòâà): ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ1 , . . . ξn ) ðàñïðåäåë¼í àáñîëþòíîíåïðåðûâíî; òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû ξ1 , . . . ξn áûëè íåçàâèñèìû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íîpξ1 ...ξn (x1 , .

. . xn ) = pξ1 (x1 ) · . . . · pξn (xn ) âî âñåõ òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè ýòèõ ïëîòíîñòåé.3.3.Ôóíêöèè îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Îïðåäåëåíèå: g : Rn → Rm áîðåëåâñêàÿ, åñëè ∀ B ∈ B(Rm ) g −1 (B) ∈ B(Rn ).Òàêèì îáðàçîì, åñëè ξ ñëó÷àéíûé âåêòîð, òî η = g(ξ) òàêæå ñëó÷àéíûé âåêòîð.→−Ðàñïðåäåëåíèå ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: ïóñòü ξ ñëó÷àéíûé âåêòîð,→−→g : Rn → Rn áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ, −η = g( ξ ); òîãäà ∀ B ∈ B(Rn )Z−1P {η ∈ B} = P {ξ ∈ g (B)} =ôóíêöèÿpξ (x)dx = (çàìåíà ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå) =g −1 (B)Z=pξ (g (y))|J(g (y))| dy, ãäå J = det−1−1−1B∂gi∂xjn.i,j=1Ïðèìåð (ðàñïðåäåëåíèå χ2 ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû): ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðå-äåëåíà íîðìàëüíî ñ ïàðìåòðàìè (0,1); òîãäà η = ξ 2 èìååò ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñîäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Íàéä¼ì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ η .√√2P {ξ < y}, y > 0P {− y < ξ < y}, y > 0Fη (y) = P {η < y} ===0, y ≤ 00, y ≤ 0√rR y − x22√ √1e 2 dx, y > 0Φ0 ( y), y > 0√2ππ==− y0, y ≤ 0,0, y ≤ 0yZy √ 1 e− 2 , y > 0x22πyãäå Φ0 (y) = e− 2 dx ⇒ pη (y) =0, y ≤ 0.0(i)(i)Òåîðåìà 1 (áåç äîêàçàòåëüñòâà): ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , .

Характеристики

Список файлов лекций