Тескин О.И. и др. - МУ к выполнению ДЗ по теории вероятности и математической статистике (1077487), страница 6
Текст из файла (страница 6)
~~ Скаля ныл с чайны - вели пны. Пусть з ВЩ) - функшш СЛунайиОГО арГуывита Х Вй а(-О,~ ) С ПЛОТНОСТЫО уаолрвдапаогда, по опредолешпо, математическим ожиданием, нли средним еначением ту называетсв число кото обоз чи р кОтОрое кача Втсн И К и определяется равенством Я т~ =. ~ 1~(к) ~ Я Мй.
Ь $ М ате маткче . этическое ожидание характери ет центр рассеяния возможных значений слччайной величины РС Йиспе кей Ъ случайной велкчины У называется среднее значекие квадрата раэностк Д-ХУ , т.е, чьз = м РФ'-':йуз")". (14) Исходи из обшей Формулы (1,3) Формулу для расчета Ъ3 для непрерывной случайной вели ганы можно записать Ф' Э писать в рме ЪУ = Г.~~-ИЧ)'Рй~У,, (1б) а Формулу (14) -' в таком эквивалентном виде; ычнслить (йчтх, в соответствии'с (13), можно по формуиз*= ~ ч ~ф~~ Вдр ти акое Отклонение $ Опредщшетчзн ранено и Среднее кван атич б" = у'тйу ', (16) (21) „де 1 О,О +0,80, При этом дляка инторвала»»»-6«)«д характер»»еуег точность определе»д»к 8 , а вероятность (' — достоверность определения.
«О»«»«»ч»»о рассь»атр«»ваот симметричные (относительно оден- ки д ) доверктельяые»»»»тервалы ('»,В«)а(9-Я„«)+~)» причем Б вь»б>»рыст так, чтобы вь»»»сунд>юсь условие (Я ), Его теперь можно записать в ы»де Р»',(9-д|к6)ж$. Палее будем «»сдользсдать» а>»»в обоз»»а»еш»с> 3 ('а') = Я-й,вой,')=Я,()'1 Обд>ее правило пастрое»ыя доверительного иктарвала для любого»»еиэвест»»ого перль»етра В 1которое яв>»яется пр»»блюде»»- иым) ос»шиадо ка пектральиой»»реда>лкой теореме Л»»ду»»ове, согласно которой опе>»ка Ф прк бо>шш>»х з»»аче>в»ях «««' »» в бр» имеет нормаль>ддй задок распределения о> бродили» Мб = 8 и дксперсией ЙФ ° Обозначим чепез ~»-дф квант>»»д» но)»ыльис»с распреде- ления уровня (- Ь «где о( —...1-4 «т,е, такое:>иаюкке ««ргу— мента «(у»»кпк»» >»«>пл»«сл Ф(к) .
прк котор>м <-'КХ»,щ»1«а (- "Ъ. т,е. доверительный ш»терзал 0(16) для да1»вметро 1)»«»феде>ж»»гся по 4юрь»у>»е ~~. (()) = ~-~1 бйУЪ~'. 44 иом законе распределения) и т.д Приближенное значение параметра 9 , наклонное по выборок>»ь»» значениям «««»»>> "» «'л случайной Вели*»>»»»ь» (нли ге паранькой совокупности) К, называется его точечной спевкой, илн дроста оленкой. Обозначается оно буквой Ф . Недостаток точечных опеиок состоит в том, что при малом числе иаблюде>шй >> (при пк 1»> ) логреш«»ость точечных океиок 1 0- Э( может быть весьма сушественной, но она совсем ие определяетсч величиной й .
Чтобы охарактеризовать то »исеть « оленки Р, можно использовать ее дисперсюо»«> . Одкако бо- лее удрб»»о дпя этой пели использовать доверитель»ш»й»нтервал ( Ф«» 8> ), градины которого (шокияя д«и верх»»яя а ) опредсляютсл по выборочным зиа»еы»ям Х«»ух»-., '» ь . Псверя- тельнъ»й кнтервал (д««с«) "накрывает" величину 8 с заделкой вероятностью (иазь»ваемой доверительной) (," Р~В,=О .В,')ж~, Таким образом, чтобы применить 4 ° ( б рмулу 2, нужно лкшь знеть оленку О и ее дксперс до»я ° апркмер, если Р ) ' тс о=а " Ио 5>«>1» а если 0 бв»>2УУ л н Вб> — , где М и >> 1 »» - выборочные оденки, котрые определяются по формулам л «-~«2«, (24) То иъ» о е ные.
и валы ля па ам ~ «« о ма -"К-- -. -'-"--.-:"-.-"."- , е» усть наблюдаемая Слу >ай ~„П а б' и ар метр»>: известен, тогда опенка Х «»«(/>1, б ) н, следовательно, .Р()Ф )и(< Х 1-АД =$.» т.е. доверительный интервал . ° ~~('( ')-)(+- Х1-٠— ' И (:й) нв»,1-~=-й 11 2. Пареметрй' яенэвестен, Тогда сгда случайнви велики нв 'Мж Я >да>ет распределение Стьюдекта'с П-4 ста пенью овободь», По таблккам етого о е П4' 4 Ф~ я - и - В можно найти кваитнль ф(,~Д.
уровня ~- Ф~й-; прн котором Р~Ф=(-"-Я1<11 ~~ от да еле куд следует«что довернтельи»дй ф,ф '""~ > инте)к>ал У,Ю- Х. Ь(.х%' При Д~'ЙО Ф1 «» аЩ1 ~ » а « одинаковый ответ. ~ййй, о. Парвметрь( и б' канев н>аеет )(а р ч — распределение ( «» ->квадрат" р ление) о й-4 сва сноба 42 и»«»рй кванткли ет»>го рас>4>еделанин 45, . уровней Ы»я н (-'»»»В, лри которых Р(у'Ь~ч б-я с ч»=яй откуда несложными алгебраическими греобраэованнямв получаем следуюшош в( Таням образом, доверительные 3»нтервалы,(((о'3 и я(Ф» апреле»шются так: Типовые овчар» н нх реш я» П,»„» „„„(,, у а- раэдов стальаях.
стержпсй получены таю»е энэчеяяя разрывных уса»п»я (в Н)(.' й( ЗОО, 7.„3»О, ), ЗЗО и Кл-ч 340, Найти доверите ьнь(Е Ннтеряапы уровня» = О(О для сред- ней прочности н ее среднее квадратичное отклоне»ше, считая, что закон распределчшш ,( - норл»а»ъ(»ый, зеву~. и 3 ° ч (»4( 3-»(х»с(=33», 3-3»3» (у»»(-((» ° (3,33. По таблнпам распределшпш Отьюдента для,»'=.
»-)' И (» "»= Э находим, г»о 43 япя -"2,Зб, а по таблнпал(,3-' -распределения При В-»=З, 'Йь(»В( н (- 3»Х=»)чэ" находим, что 'Х";,а-())= = о,ъе и А» Й)=1,2. Подставим найденные эна(»еюш в»юр3»улы.(20) з (26», тогда Х)((3((н»= ъйо»с 2»(»» . м За»3(с) ы( '»1 3 ( 63 '» ) ° (»Оп»л»й»3 2. На лаборатор(»ых весах, систематическая овшбка которь»Х Равна (»ушо, а случайные ошибки распрсделенл( НОРляа»ш- ло со средним кпадратичвыл( отк»ло3(еннел» 10 лш, оппепсляется до»»усти(.»ая вели'3333(а 3(»(3(лыс»«Око»(33(-» (»адо яэмершшй, чтобл( погрев(ность вэвешивв(п(я не прэвышша б ля, с версятносчыО 0382 Реше»ше, Г»усть (; - месой п(рнл(есш. Тогда реву»штат» --гс вэвешввйния Х(" = (2'л 3(('( (» "й» "3»3)» хдв хи» усж»вню случай»»а»3 40 »н"нбка ~' »~(О(б ) ., а следовательно, х» ф~с с ) д »' » Я»„.»»3, пРичем значение (7 известно ( б»0) ЕСЛИ ПРОВЕДЕНО Г» НвзаВНСНМЫХ ИЭМЕРЕНнй )»(,(»л(...,)»Л то их среднее врнфметнческое 7= .»- Ч )».
в соответствии с Формулой (25) удовлетворяет условя»о (у()к-а.) к х3 яу,— „.„) =(-ы ')д По условию задачи погрешность р = Х » сух — не должна и превышать $,= 5 мг с вероятностью (-Л = чо() 5' ° т.е„ х» -у,7- 4 а От уда и: Х' ФЕ.
Ответ. П н р ( С»З '3.» я»хи»»»3э и П" — — ',3 = »3', й 2, све ка втн тичес х гипотез Под стетистической гипотезой понимается любое и е жение о свойствах авиона Майтон ЛЮ ОЕ ПРОДПОЛООнв рвсн)жделеивя с»в»чайвь»х величин Мь» рйссмст»лчм гипОтезы О средник значениях и диспе и У-МВ.»бл'3 их спучййньс» велич»шУ и» преп»юлегви что я' Ф( йн„что »В»,03) П ве кя ется п»юве иъь 3" ВВОтвду 3 ( знйче ТребуР .,: (В( =)Фл ПРОЧВВ 3ЮВНУ»ШРУУО33ЖЙ 3 Взяея 3»3 Выборочных знйчйиий ЕШ»й Х» М33...3МЛ с»»учайВОй Ве»якч»пия й и 33 выбор(3Ч д'' 3 йм ИЫХ ЗИВФ„~а 3 ..(3(И„„С»3УЧЕйнвй ВЕЛИЧИВЬ3 Ц фЖ»УУЬ'ИФФ Л»3ОВЕ»ВИ ГИПОВВВВ К»( 3шбо 3433333ИЫ»зят(В3 (Осли Онй с(пглйсузч3пи с рее»ультй»В(ми иеблюив ) нивтса (ВСВВ Вм 3Шй л Лнбо ОтндоП Вфюч3яво»и3чит)» и 'агля п»зпяззеш3чч3и гв»к»чч»эа роверив любой г»ииюяи(3я Н~ СО»3»н»в(икпаетсй Ошйбкйми '3ЯЯПЯ(3П Е(ЯИШЗЙ»33»Ъ "3 * ик(гнз окй ввуза (Вяйиизиюсть те й кпаетсй е»йвбквь»и двух ошибки О»»»зы»йчиш»т кя В шииншяи»т тако принять К у»извивйя значим»юти), или В(ш(ч»ш»т е „ЮВЯН3 ВЕРВВ Г» (' 3 (версйтиость такой ошибки обовмеет один иэ стандартных зеяоно , которан теза ве»эна.
тных зеяонов распределения если гипо» 2) Зад ур ень значимости ас' (а(ю»3 р»»л(),й), ается прием»юмый ове му по опыта определяется к б Р(Т К Н ычксляется эначею»е ше „по данным кснкретнь»х 47 : ',% 1': если»~веч'- где отклоняется (принимается Н» ), если »~, 'Кдополнение 'К ), то гипотеза Н принимается. 11ля проверки гипотезы Н,: Н». Нк против гипотезы б еют в качестве критерия случайную величину »х-1)4М Ф~ "" »)ууй(~ ' и вкч в качестве критической области К при Н»» й(» й к еле выбрать симметричную область )~в ( (Т)~Ю»,й). чает, что )Н» к в )Н тНк то наилучшей будет критическая область лн нормального закона уровней 4-:»ук н -д соот » - эаианнь»й уровень значимости. После выбора )4 остается опр еделить значение »', и сопоставить его с )(, : н= ° ио 'в ка- Аналогично проверяется гипотеза )(, » ) (Ме ° честве крнтер терна прнннмшот величину либо Т-()7 )»(;)Уййб в 1~ и ' (прн не (при известном значении б ), либо Т~(2-рффи~~ е в тебл, 7.
Все возможные спучен проверки гипотезы сведеим в ~~1 ... нометром 3 раза утром и раз в Р ний (в гПа) дали такие результаты: 3,;, 1 327 309 319 (в полдень). Есть лн основания очи 3,07, 2,93, °,, в е высилось если ошибки намерения Р Рв е асп тать что давление повысил ется но а погрешность манометра характеризуе деланы нормально, а п 01 (и ннято, что средним квадратичным отклонением, равным, прн Решение. Проверим гипотезу '- »ь» Ы ь )и - давление в баке УтРом; а )Як зы Н»» Н:"Н» где )» иав давление в полдень.
ычи Н . В слкм средине арифа»етнчаекне взмерз 1) утром, 2) в полдень: 1) Хе$(5рб+2Ъ2»3,12~а361 2) у уз,а+2ч)5».з,й 7+ эбт Нш(йеЬ,((. Прн 4 О,( М»,»вХС3 в(Щ', а К-~Ту ФВ)(. ТОГда 0 ИЙ,+47»)' гипотезу Н~ следует ~ткло~~т~ н принять Н». П ве ка г аве стае испе ий Пусть Н„.(у» "еЯ, а Н: б»ка(~', или б»"~б~, или б» (ба. В качестве крятерйя»(» аужно выбрать отношение выборочных дисперсий 3~ и Б~~ . Критерий Ч' 5»/5~~, если 5~~'ь5к~ 1 а илн ~ = ц3», если 5к ьь» . Отношение выборочных дисперсий имеет распределение Фишара с У» н У, степенями свободы (где»),=п»"1; УаеПк-(; и» и Йе - обьемы выборок, по которым определены 5;" н 5~~ ), Поскольку 1'ьц( ~ то принимаем, что критическая область » Ч~»(, гие Г» Нй - квентиль Р'-распределения Ъ" ы1')'лГ Фшиера уровня (-»1/2, который определяется по приложению 4 прн вэвестшях У» и Чк После выбоРаМ остается определить ('=Ть и сравнить его сХ.
Аналогично проверяется гипотеза 3е»5'вб;, (для ее проверки использУется критерий )'ж('Л-»'15»/ф~у, Все возможные случаи сведеиы в табл. 3. Таблица 7 фй в ПВимее8 2'. Лва завода выпУскают иэмеРитепьные пРнбоРы одного типа. По результатам контроля У(< приборов 1-го зансаа ( 'И, =1( ) и 1г приборов 2-го завода ( дг = (б ) получены оценки дисперсий нх ошибок 81 = 0,2 и Вг = О,1. Можа но ли считать, что приборы 2 о завода более точные? (Принять уровень значимости Ы 0,1.) г Решение. Проверим гипотезу Н,'.
б; = бг против Н,: 6 г<'Ог . Значение критерия 7'„=Рг/о1=д. Табличное значение Гг а прн,( .С,1, У,=(0 и 1г=)б равно 2,24. Так как 7 ( ~'~-,г, то гипотезу Н~ следует принять, т,е, проведенных наблюдений недостаточно, чтобы различить качество приборов разных заводов. ПРиложеиие 1 -Кйаитиагг Уряйиа 1" " -процентная Точка уРОВияы .
(1 Йг-ы и итных точек) нормального закона гщ распреггг лений илн значения Фун"д"" Лапласа ~р ф(х, ' ~ 3,(4.. ~(У< Ж,.„~иф(2г )=1-'. 07 0,8484 0,9486 0 8505 Пщщщанн3, Принятые в табл.' 8 обоегшчвнняг у,р- квантнль. ноРмапьного РаспРеделенин УРовна (г 1 - квантиль распределения Стьюдента с 4 п-1 степенью сво ды уровня р ар- квантнль ' Хи-квадрат' распределения'с 7ед-4 (степенью свободы уровняр; Гр- квантиль распределения Фишера с )(, н Уг степеняын свободы уровня 0 60 1,42 1,43 1,44 1 с45 1,45 1т47 1,46 1„49 1,50 1,61 1,52 1,53 1„64 1,55 1,56 1,57 1,58 1,69 1.,60 1,61 , 1„62 О,ВКЙ 0,8238 0,9251 0,8266 0,9279 018292 0,93)8 0,9316 0,9332 0,93'В 0,8357 0,8370 О,Ы82 0,93й4 0 94(6 0,8403 0,9428 0,9441 0„8452 0,9463 0„9474 1,63 1,64 1,85 ) ЩВ 1 67 1,88 1,70 1771 1„72 1,73 1,74 1,76 1,76 1,77 1 76 1,79 0,95Д 0,95Ю, О,'8835 0,9545 0,9554 0,9564 0,9573 0,,9582 0,9591 0,9598 0,9503 0,8616 Я 'ЩЯД 0,8683 0,9641 0,9649 0,9656 0,9х)4 Х ФЮ 11 Ф(к! Прил>вкение 2 > "»1 аФ вЂ” квентиль уровня! хв - проиентная точке уровня у-о~ Таблине квантйлей !процентных точе ) точек РаспРе еленин "хн-каалр в зависимости от числа степене св бо сво ды ' и вероятности О(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
