Кирьянов Д. - MathCad 11 (1077323), страница 41
Текст из файла (страница 41)
10.5. Итак:ПAi(z) — функция Эйри первого рода;•Bi (z) — функция Эйри второго рода;•z —действительныйиликомплексныйх<103.892.Рис. 1 0 . 5 . Функции Эйрибезразмерныйскаляр,Глава 10. Специальные функции24910.1.4. Функции Бесселя-КельвинаКомплексная комбинация функций Бесселя-Кельвина вида ber(п,х) ++ibei(n,x) является решением соответствующего ОДУ, зависящего от параметра п. Вид графиков функции bei для п=1 и 2 показан на рис. 10.6.О bei (n, х) — мнимая часть функции Бесселя-Кельвина порядка п;•Ьег(п,х) — действительная часть функции Бесселя-Кельвина порядка п;• п — порядок (безразмерное неотрицательное целое число);•х — действительный безразмерный скаляр.1001Ii1SObei[l .xbei(2,x0-50^ 1'0t2>*щ1146SJ0XРис.
10.6. Функции Бесселя-Кельвина10.1.5. Сферические функции БесселяГрафик сферических функций Бесселя первого порядка показан нарис. 10.7.П j s (n, z) — сферическая функция Бесселя первого рода порядка п, х>0;• ys (n, z) — сферическая функция Бесселя второго рода порядка п, х>о;• п — порядок (целое число), п>2оо;•z — действительный или комплексный безразмерный скаляр, х>о.10.2. Функции работыс комплексными числами (Complex Numbers)В Mathcad имеется несколько функций, облегчающих работу с комплексными числами.П Re(z) — действительная часть комплексного числа z;Пim{z) — мнимая часть комплексного числа z;250Часть III. Численные методыРис. 1 0 . 7 . Сферические функции Бесселя первого порядкаПarg(z) — аргумент комплексного числа z, --rc<arg{z)<n;•csgn{z) — функция комплексного знака числа (возврашает либо о, еслиz-0; либо 1, если Re(z)>o, или если Re(z)=o и im(z)>o; либо -1 — востальных случаях);• signum(z) — возвращает 1, если z=o, и z/в остальных случаях;• z — действительное, мнимое или комплексное число.Комплексное число можно ввести как обычно, в виде суммы действительной и мнимой частей, либо как результат любого комплексного выражения.Несколько примеров действия функций работы с комплексными числамиприведены в листингах 10.1 — 10.3.Листинг 10.1.
Базовые функции работы с комплексными числамиR e ( 3 . 9 + 2 .41) = 3 . 9=1.7argU-7= 0.1Листинг 10.2. Пример действия функции csgncsgn ( 0 ) = 0csgn ( i ) = 1csgn(0.1) = 1csgn(-0.1) =-1c s g n ( 0 - i ) = -Xcsgn ( 0 + i ) - 1c s g n ( 0. 1 + 2 i ) = 1csgn ( - 0 . 1 - 3 1 ) = - 1Листинг 10.3. Пример действия функции signumsignum ( 0 ) - 1signum ( i ) - isignum ( 0 - i ) = —isignum { 0 + i ) = iГлава 10. Специальные функцииsignum i 0 .1) =1signum i-O.l) = -1251signum (0 .1 + 2i) -0.05 + 0.999isignum (-0.
1 - 3i) =-0.033 -0.999i10.3. Логарифмы и экспонента(Log and Exponential)Перечислим без комментариев хорошо известные логарифмические функции (рис. 10.8) и экспоненциальную функцию:П expiz) — значение е (основание натурального логарифма) в степени z;Пin(z) — натуральный логарифм;•log(z) — десятичный логарифм;•iogiz,b) — логарифм z по основанию ь.• lnGamma(z) — логарифм гамма-функции Эйлера (см.
разд. 10.6);0 0 0log(x)log(x ,e)10 -0f-121Ii345XРис. 10.8. Логарифмические функции10.4. Тригонометрические функции(Trigonometric)Оacosfz) —арккосинус;•acoc{z) — котангенс;•acsc(z) — арккосеканс (листинг 10.4);• angie(x,y) — угол между точкой (х,у) и осью ох;Пasec(z} — арксеканс;Пasin(z) — арксинус (листинг 10.4);Пatan(z) —арктангенс;6252Часть III. Численные методы•atan2(x,y) — угол, отсчитываемый от оси ох до точки (х,у) (листинг 10.5);• cos(z) — косинус;Пcot(z) —котангенс;•csc(z) — косеканс (листинг 10.4);•sec(z) — секанс;•sin(z) — синус (листинг 10.4);•tan(z) —тангенс;• z — безразмерный скаляр.ПримечаниеАргумент тригонометрических функций и результат обратных тригонометрических функций выражаются в радианах. Чтобы использовать значение углав градусах, его необходимо перевести в радианы (листинг 10.6).Аргумент тригонометрических функций может быть комплексным.; Листинг 10.4.
Примеры тригонометрических функций11=0.479sin(0.5) =0.479esc ( 0 . 5 )( 1 Л „acsc= 0.5[ 0.479 Iasin (0.479) =0.5Листинг 10.5. Примеры расчета угла между прямой и осью охatan2 (1,1) =0.785atan2 (-1,-1) =-2.356a n g l e d , 1) -0.785angle {-1,-1) =3.927Листинг 10.6. Расчет тригонометрических функций в градусахz :=4771 • Zcos|180[ - 0.682acos { 0.682) •180= 4710.5. Гиперболические функции (Hyperbolic)Гиперболические функции, согласно определению, выражаются через разz1личные комбинации e и е" (пример приведен в листинге 10.7).
Аргументгиперболических функций также может быть комплексным. Графики трехосновных гиперболических функций показаны на рис. 10.9.Глава 10. Специальные функцииРис. 10.9. Основные гиперболические функции•a c o s h ( z ) — гиперболический арккосинус;Оa c o t h ( z ) — гиперболический котангенс;•a s i n h ( z ) — гиперболический арксинус;•a c s c h ( z ) — гиперболический арккосеканс;Оa t a n h ( z ) — обратный гиперболический тангенс;Оa s e c h ( z ) — обратный гиперболический секанс;•c o s h ( z } — гиперболический косинус;•c o t h { z ) — гиперболический котангенс;Ds i n h ( z ) — гиперболический синус;•c s c h ( z ) — гиперболический косеканс;CJt a n h (z) — гиперболический тангенс;Оs e c h ( z ) — гиперболический секанс;•z — безразмерный скаляр.\ Листинг 10.7.
Пример гиперболических функцийz :=1.27=1.921cosh U ) = 1.921acosh(1.921) =1.27253Часть III. Численные методы25410.6. Другие спецфункции (Special)Приведем перечень остальных спецфункций, которые рассчитываютсяMathcad встроенным образом. Действие некоторых функций иллюстрируетсялистингом 10.8, а некоторые полиномы — графиками на рис. 10.11—10.13.•erf (z) — функция ошибок (см. разд. "Нормальное (Гауссово) распределение" гл.
14);Пerfc(z)=l-erf(z);•z — скаляр.Оfhyper (a,b,c,x) — Гауссова гипергеометрическая функция;•mhyper(а,ь,х) — конфлюэнтная гипергеометрическая функция;•а , ь , с — параметры;•х — действительный скаляр, -1<х<1.П Gamma(z) — гамма-функция Эйлера;• z -— скаляр, I z |<i.ОGamma(a,x) — неполная гамма-функция порядка а;•х — действительный положительный скаляр.ПримечаниеГамма-функция а документе Mathcad отображается греческой буквой Г (листинг 10.8).П нег(п,х) — полином Эрмита порядка п с аргументом х (рис. 10.10);• п — порядок (неотрицательное целое число);•х — скаляр.5 ~H e r ( I ,x)Нег[2,х)0 -Н е г ( 3 ,1Рис.
1O.1O. Полиномы ЭрмитаГлава 10. Специальные функцииП255ibeta(a,x,y) — неполная бета-функция для х и у с параметром а;• а — действительный скаляр, о<а<1;•х,у — действительные скаляры, х>о, у>о.П jac i,n,a,b,x) — полином Якоби степени п в точке х с параметрами а и ь;• Lag (п, х) — полином Лагерра степени п в точке х (рис. 10.11);Рис. 10.11. Полиномы ЛаггераП Leg(n,x) — полином Лежандра степени п в точке х (рис. 10.12);• п — порядок (неотрицательное целое число);•х - действительный скаляр;• а,ь — действительные скаляры, а>-1, ь>-1.П Tcheb(n,x) — полином Чебышева первого рода степени п в точке х(рис. 10.13);• ucheb{n,x) — полином Чебышева второго рода степени п в точке х(рис. 10.13);• п — порядок (неотрицательное целое число);• х — действительный скаляр.Листинг 10.8.
Примеры вычисления некоторых спецфункцийfhyper ( 1 , 2 , 3 ,Г{0.7i)=-0.29Г (1.3 , 7.7)0.34)=1.306-0.961i= 8.655 х Ю ~Jac(1 , 2 , 1,-0.13)4- 0.175Часть III, Численные методы256Рис. 10.12. Полиномы Лежандра5 Tcheb(2.x)Ucheb(2,x)0 -Tcheb(S.x)Рис. 10.13. Полиномы Чебышева10.7. Строковые функции (String)Приведем перечень функций, благодаря которым пользователь может оперировать со строковыми переменными, подобно операциям с числами:Пconcat (si, S2, . . . ) — строковая переменная, полученная объединениемстроковых переменных или констант si, S 2 , . . . (листинг 10.9);Оerror (s) — возвращает строку s как сообщение об ошибке (рис.
10.14);CD l s s t r i n g ( x ) — возвращает 1, если х строковая переменная, и о — востальных случаях (листинг 10.10);Глава 10. Специальные функцииО(257num2str(z) — возвращает строку, чьи знаки соответствуют десятичномузначению числа z (листинг 10.10);Примечание^Функция num2str (z)используется, когда проще манипулировать с числом каксо строкой, нежели как с математической переменной.•s e a r c h (S, S u b s , m) — СТарТОВЭЯ ПОЗИЦИЯ ПОДСТРОКИ Subs В СТрОКе S ПрИпоиске, начиная с позиции т, при неуспешном поиске возвращает -1(листинг 10.9);•str2num(s) — преобразование строкового представления числа s (в любой форме) в число (листинг 10.10);Пstr2vec(s) — преобразование в вектор ASCII-кодов строки s (листинг 10.10);•s t r i e n ( s ) — количество знаков в строке s (листинги 10.9, 10.10);П substr (s,m,n) — подстрока, полученная из строки s выделением п знаков, начиная с позиции m в строке s (листинг 10.9);Пvec2str(v) — строковое представление элементов вектора v ASCIIкодов;• s — строка;• v — вектор ASCII-кодов (целых чисел, o<v<255).Листинг 10.9.
Примеры использования строковых функцийconcat ! "Hello, " , " " , "World" ,"!")= "Hello, World!"substr ( "Hello, World!" ,4,8) = "o, World"substr i "Hello, World!" ,0,5)= "Hello"search ' "Hello, World! " , "Wo" , 1) = 7search { "Hello, World!" , "wo" ,1) =-1strlen{"hello" ) - 5| Листинг 10.1 ©.Функции взаимных преобразований чисел и \ T p 6 $ ) ^ [ ^ SIsString ( 1) = 0IsString ("!") =1strlen ("Hello, World!" ) = 13num2str (57 9 + 3i) - "579 + 3i"num2str(12.345) ="12.345"str2num ( "123.4567" ) =123.457: :^Часть III. Численные методы25849s t r 2 v e c f " 1755Их) :=[-xjif x > Оe r r o r [ "x must be p o s i t i v e " )otlierraise£ (3) - - 3x must be positiveРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
