Кирьянов Д. - MathCad 11 (1077323), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Смена знака матрицыА :=( 123 "\( 456 J-А =.. ."( -1-2-3^ -4-5-6.' *'|9.1.3. УмножениеПри умножении следует помнить, что матрицу размерности MXN допустимоумножать только на матрицу размерности NXP (P может быть любым). В результате получается матрица размерности МХР.Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой <*>или воспользоваться панелью инструментов Matrix (Матрица), нажав наней кнопку Dot Product (Умножение) (рис. 9.1). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой, как показано в листинге 9.5.
Символ умножения матриц можно выбирать точно так же, как и в скалярных выражениях(см. разд. "Управление отображением некоторых операторов" гл. 2).?...—•;••,1"-"•••'•"г; Листинг 9.5. Умножение матрицА :=f 123 ^456В :=f 1>',•"•"^;00- 1 - 3 - 4Часть III. Численные методы218с ;=1о -зс~{А-С-1О-А)1-194-43=Еще один пример, относящийся к умножению вектора на матрицу-строку и,наоборот, строки на вектор, приведен в листинге 9.6. Во второй строке этого листинга показано, как выглядит формула при выборе отображенияоператора умножения No Space (Вместе).Листинг 9.6. Умножение вектора и строки(113468Внимание!Тот же самый оператор умножения действует на два вектора по-другому(см.
разд. 9.1.6).Аналогично сложению матриц со скаляром определяется умножение и деление матрицы на скалярную величину (листинг 9.7). Символ умножениявводится так же, как и в случае умножения двух матриц. На скаляр можноумножать любую матрицу мхы.| Листинг 9.7. Умножение матрицы на скалярА'2 =24810:6120.511.522.539.1.4. Определитель квадратной матрицыОпределитель (Determinant) матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы,можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментовMatrix (Матрица) (рис.
9.2) или набрать на клавиатуре <|> {нажав клавиши]Глава 9. Матричные вычисления219<Shift>+<\>). В результате любого из этих действий появляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу. Чтобы вычислить определитель уже введенной матрицы (именно этот случай показан на рис. 9.2), нужно:1.
Переместить курсор в документе таким образом, чтобы поместить матрицу между линиями ввода (напоминаем, что линии ввода — это вертикальный и горизонтальный отрезки синего цвета, образующие уголок,указывающий на текущую область редактирования).2. Ввести оператор нахождения определителя матрицы.3.
Ввести знак равенства, чтобы вычислить определитель.t-t f>c1, XuDeterminantРис. 9.2 Ввод символа определителя матрицыРезультат вычисления определителя приведен в листинге 9.8.\ Листинг 9.8. Поиск определителя квадратной матрицыо о-501 39.1.5. Модуль вектораМодуль вектора (vector magnitude) обозначается тем же символом, что и определитель матрицы. По определению, модуль вектора равен квадратномукорню из суммы квадратов его элементов (листинг 9.9).Листинг 9.9.
Поиск модуля вектораf123= 3.7429.1.6. Скалярное произведение векторовСкалярное произведение векторов (vector inner product) определяется какскаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов.220Часть III. Численные методыВекторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведениеимеет ту же размерность.
Скалярное произведение двух векторов и и v равно uv= |и|• |v|-cose, где в — угол между векторами. Если векторыортогональны, их скалярное произведение равно нулю. Обозначаетсяскалярное произведение тем же символом умножения (листинг 9.10). Дляобозначения скалярного произведения пользователь также может выбиратьпредставление оператора умножения.СоветНикогда не применяйте для обозначения скалярного произведения символ х,который является общеупотребительным символом векторного произведения(см. разд.
9.1.7).Листинг 9.10. Скалярное произведение векторов= 32Внимание!С осторожностью перемножайте несколько (более двух) векторов. По-разномурасставленные скобки полностью изменяют результат умножения. Примеры такого умножения см. в листинге 9.11.Листинг 9.11. Скалярное произведение векторов, умноженное на третий вектор1256288f АУГ п \( -7 У2241222562244288V 3 ,3669.1.7. Векторное произведениеВекторное произведение (cross product) двух векторов и и v с углом 8 междуними равно вектору с модулем |uj-|v|-sin9, направленным перпендикулярно плоскости векторов и и v. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторноепроизведение) в панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш<Ctrl>+<8>. Пример приведен в листинге 9.12.Глава 9.
Матричные вычисления221Листинг 9.12. Векторное произведение\ / * \ г _3 чб9.1.8. Сумма элементов вектора и след матрицыИногда бывает нужно вычислить сумму всех элементов вектора. Для этогосуществует вспомогательный оператор (листинг 9.13, первая строка), задаваемый кнопкой Vector Sum (Сумма вектора) на панели Matrix (Матрица)или сочетанием клавиш <Ctrl>+<4>. Этот оператор чаще оказывается полезным не в векторной алгебре, а при организации циклов с индексированными переменными.На том же листинге 9.13 (снизу) показано применение операции суммирования диагональных элементов квадратной матрицы.
Эту сумму называютследом (trace) матрицы. Данная операция организована в виде встроеннойфункции ы :•tr(A) — след квадратной матрицы А.( Листинг 9.13. Суммирование элементов вектора и диагонали матрицы)( 12X=б3t r (A)А:== 59.1.9. Обратная матрицаПоиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю (листинг 9.14). Произведение исходной матрицы наобратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Inverse (Обратная матрица)на панели инструментов Matrix (Матрица).; Листинг 9.14. Поиск обратной матрицы(1оо V0 2 00 0 31000 0.500 0 0.333[Часть III. Численные методы222f 1ооО13ОО1ооО0.333оо0.999оо0.5оО0.333(1оооо0.51Оол0.9999.1.10.
Возведение матрицы в степеньК квадратным матрицам можно формально применять операцию возведения в степень п. Для этого п должно быть целым числом. Результат даннойоперации приведен в табл. 9.1. Ввести оператор возведения матрицы м встепень п можно точно так же, как и для скалярной величины: нажавкнопку Raise to Power (Возвести в степень) на панели Calculator (Калькулятор) или нажав клавишу < Л >. После появления местозаполнителя в негоследует ввести значение степени п.Таблица 9.1. Результаты возведения матрицы в степеньОединичная матрица размерности матрицы м1сама матрица м-1м " 1 — матрица, обратная м2,3,...м-м, (м-м) -м, . .
.-2, -3, ...м^-м" 1 , (м ^ м " 1 ) ^ " 1 , . . .Некоторые примеры возведения матриц в степень приведены в листинге 9.15.j Листинг 9.15. Примеры возведения квадратной матрицы в целую степеньо0.5о01О00.333О0о2ооо VО;2f 1оО0.25ОО3.003ОО.1 1 1Глава 9. Матричные вычисления1 001 022300200400030099.1.11. Векторизация массивовВекторная алгебра Mathcad включает несколько необычный оператор, который называется оператором векторизации (vectorize operator). Этот операторпредназначен, как правило, для работы с массивами. Он позволяет провестиоднотипную операцию над всеми элементами массива (т. е.
матрицы иливектора), упрощая тем самым программирование циклов. Например, иногдатребуется умножить каждый элемент одного вектора на соответствующийэлемент другого вектора. Непосредственно такой операции в Mathcad нет,но ее легко осуществить с помощью векторизации (листинг 9.16). Для этого:1. Введите векторное выражение, как показано во второй строчке листинга(обратите внимание, что в таком виде символ умножения обозначаетоператор скалярного произведения векторов).2.
Переместите курсор таким образом, чтобы линии ввода выделяли всевыражение, которое требуется подвергнуть векторизации (рис. 9.3).3. Введите оператор векторизации, нажав кнопку Vectorize (Векторизация)на панели Matrix (Матрица) (рис. 9.3), или сочетанием клавиш <Ctri>+<->.4. Введите <=>, чтобы получить результат.Рис. 9.3. Оператор векторизацииЛистинг 9.16.
Использование векторизациидля перемножения элементов вектора= 14Часть III. Численные методы224IОператор векторизации можно использовать только с векторами и матрицами одинакового размера.Большинство неспецифических функций Mathcad не требуют векторизациидля проведения одной и той же операции над всеми элементами вектора.Например, аргументом тригонометрических функций по определению является скаляр. Если попытаться вычислить синус векторной величины,Mathcad осуществит векторизацию по умолчанию, вычислив синус каждогоэлемента и выдав в качестве результата соответствующий вектор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
