Кирьянов Д. - MathCad 11 (1077323), страница 40
Текст из файла (страница 40)
4 0 6 ^А•genvecs ( A , В)-3 .041-4 .676f-1.406 "\genvals (А, В)0 • В • genvecs (А, В)-3.041-4.67 6-0.555А•genvecs (А, В)00.555-0.555genvals {А, В) i • В • genvecs (А, В)00.5559.5. Матричные разложенияСовременная вычислительная линейная алгебра — бурно развивающаясянаука.
Главная проблема, рассматриваемая ею, — это проблема решениясистем линейных уравнений. В настоящее время разработано множествометодов, упрощающих эту задачу, которые, в частности, зависят от структуры матрицы СЛАУ. Большинство методов основано на представлении матрицы в виде произведения других матриц специального вида или матричныхразложениях. Как правило, после определенного разложения матрицы задачалинейной алгебры существенно упрощается.
В Mathcad имеется несколькоГлава 9. Матричные вычисления241встроенных функций, реализующих алгоритмы наиболее популярных матричных разложений.9,5.1. Разложение ХолецкогоРазложением Холецкого симметричной матрицы А является представлениевида A=L • LT, где L — треугольная матрица (т. е. матрица, по одну из сторонот диагонали которой находятся одни нули). Алгоритм Холецкого реализован ВО Встроенной ФУНКЦИИ cholesky.П choiesky(A) — разложение Холецкого;• А — квадратная, положительно-определенная матрица.Пример разложения Холецкого приведен в листинге 9.40. Обратите внимание, что в результате получается верхняя треугольная матрица (нули сверхуот диагонали), а транспонированная матрица является нижней треугольной.В последней строке листинга приведена проверка правильности найденногоразложения.Листинг 9.40.
Разложение Холецкого'13А:=774 \9-34-39L := cholesky (A)/ 3.606L=001.9412.287О1.109-2.2531.64'1377449-3~399.5.2. QR-разложениеQR-разложением матрицы А называется разложение вида A=Q • R, где Q —ортогональная матрица, a R — верхняя треугольная матрица.•qr(A) —QR-разложение;• А — вектор или матрица любого размера.Результатом действия функции qr(A) является матрица L, составленная изматриц Q и R, соответственно. Чтобы выделить сами матрицы QRразложения, необходимо применить функцию выделения подматрицы submatrix (листинг 9.41).Часть III.
Численные методы242Листинг 9.41. QR-разложение.3A:=774N9 - 34~39L : = q r (A)L =0.850.1220.51315.2979.2834.380.458-0.654-0.6030-7.2689.1710.2610.747-0.61200-1.646Q :- submatrix L , 0 , rows ( L) - 1 , 0 ,'0.850.1220.5130.458-0.654-0.6030.2610.747-0.612Q=R := submatrix L , 0 , rows ( L) - 1I15.2979.2834.38R =13Q-R =-7.2689.1710-1.646749-3-39cols (L) -cols (L) + 1, cols (L) - 19.5.3.
Ш-разложениеLU-разложением матрицы А, ИЛИ треугольным разложением, называется матричное разложение вида р • A=L - и, где L и и — нижняя и верхняя треугольныематрицы, соответственно. P , A , L , U — квадратные матрицы одного порядка.•iu(A) — LU-разложение матрицы;•(А — квадратная матрица.Примечание^Фактически, треугольное разложение матрицы системы линейных уравненийпроизводится при ее решении численным методом Гаусса.Функция LU-разложения, подобно предыдущей функции QR-разложения,выдает составную матрицу в (листинг 9.42). Выделить матрицы P , L , U несложно При ПОМОЩИ ВСТроеННОЙ фуНКЦИИ submatrix.Глава 9.
Матричные вычисления243Листинг 9.42. LU-разложение13А:=7749 - 34 - 39В : = l u (А)1 001 00113740.53805.231-5.154О02.6910010.308-0.9851Р := s u b m a t r i x В , 0 , rows (В) - 1 , 0 ,c o l s (В) - 1{ОР =0О1 0001L := s u b m a t r i x В, 0, rows (В) - 1 ,L =100 '0 .538100 .308- 0 .9851c o l s (В) + 1c o l s (В) - 1(cols { В) + 1U := submatrix В , 0 , rows (В) - 1 ,• 2 , colsU =137405.231-5.1540Р • A-L•U =•2- 12.691О 0 0"0000009.5.4.
Сингулярное разложениеСингулярным разложением (singular value decomposition) матрицы А размераNXM (причем N>M) является разложение вида A=USv T , где и и v — ортогональные матрицы размером NXN И МХМ, соответственно, a s — диагональнаяматрица с сингулярными числами матрицы д на диагонали.Пsvds(A) — вектор, состоящий из сингулярных чисел;П svd(A) — сингулярное разложение;• А — действительная матрица.Часть III. Численные методы244Примеры поиска сингулярных чисел невырожденной и сингулярной матрицы приведены в листингах 9.43 и 9.44, соответственно.
Проверка правильности сингулярного разложения приведена в листинге 9.45. Вычисленныесингулярные числа находятся на главной диагонали средней матрицы (ееостальные элементы, по определению, равны нулю). Сравнивая матрицы излистингов 9.44 и 9.45, Вы без труда разберетесь, каким образом следует выделять искомые матрицы сингулярного разложения из результата, поставляемого функцией svd.Листинг 9.43.
Сингулярные числа и собственные значенияневырожденной матрицы1374А:= 79—34 -3918.52218.522eigenvals (A) - 11.629svds(A) = 11.6290.850.85Листинг 9.44. Сингулярное разложение сингулярной матрицы11.832svds(A) =А:=00svd (A) =000'-0.316-0.9490-0.9490.316О001-0.2670.9640-0.535-0.1480.832-0.802-0.222-0.555Листинг 9.45. Проверка сингулярного разложения(продолжение листинга 0.44)-0.316-0.9490-0.9490.3160011.83200^ ^-0.2670.96400000-0.535-0.1480.8323691000-0.802-0.222-0.5550001 23ГЛАВА 10Специальные функцииДанная глава посвящена вычислению различных математических функций,встроенных в Mathcad.
Причем описываются как специальные функции(Бесселя, Эйри и т. п.), так и элементарные функции (синус, экспонента,гиперболические функции), а также функции, специфичные для тех илииных областей (финансовые функции). Кроме того, упоминаются оченьпростые, с точки зрения программной реализации, но часто очень полезныефункции типа ступеньки, дельта-функции и т. д.Несмотря на то, что большинство функций, о которых пойдет речь вэтой главе, рассчитываются без привлечения специальных численныхметодов, мы совместили рассказ о них в одной главе, чтобы читателюбыло удобнее найти описание нужной функции. Перечень специальныхфункций разбит на разделы по их математическому смыслу и (или) области применения.ПримечаниеВставлять в документ не очень знакомую спецфункцию легче всего, пользуясьдиалоговым окном Insert Function (Вставить функцию), которое вызываетсянажатием кнопки с надписью f(x) на стандартной панели инструментов(см.
разд. "Знакомство с Mathcad" гл. 1). В этом диалоге функции разбиты нанесколько групп, поэтому несложно выбрать из них нужную. При выделении какой-либо группы в левом списке упомянутого диалога справа обнаруживаетсясписок функций, принадлежащих этой группе. Названия групп функций, появляющихся в левом списке диалогового окна Insert Function, приведены в скобках после названия каждого раздела этой главы.10.1. Функции Бесселя (Bessel)Функции Бесселя, по определению, являются решениями различных краевых задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ).Часть III. Численные методы24610.1.1.
Обычные функции БесселяФункции Бесселя первого и второго рода обычно возникают как решенияволнового уравнения с цилиндрическими граничными условиями.ПримечаниеКонкретный вид соответствующих дифференциальных уравнений можно безтруда отыскать в справочниках по спецфункциям или в справочной системеMathcad.J0(X)Jn(0.xJ-f+ +Jn(l.x)o o oРис. 1 0 .
1 . Функции Бесселя первого родаY0(x)Yn ( 0 , X ]Yn ( 1 , X)o o oYn ( 2 , x ) - 0 . 5Рис. 10.2. Функции Бесселя второго рода•JO (z) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка;Пл (z) — функция Бесселя первого рода первого порядка;П Jn(m,z) — функция Бесселя m-го порядка;Глава 10. Специальные функции247П YO(Z) — функция Бесселя второго рода нулевого порядка, х>о;•Yi U) — функция Бесселя второго рода первого порядка, х>о;• Yn{m, z) — функция Бесселя второго рода m-го порядка, х>о;• z — действительный или комплексный безразмерный скаляр;• m — порядок, целое число о<т<юо.Внешний вид нескольких первых функций Бесселя первого и второго родапоказан на рис.
10.1 и 10.2, соответственно.10.1.2. Модифицированные функции БесселяПеречислим их:Пю (z) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевогопорядка;•i i ( 2 ) — модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка;П in(m,2) — модифицированная функция Бесселя первого рода m-го порядка;Пк о и ) — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевогопорядка, х>о;П Ki(z) — модифицированная функция Бесселя второго рода первого порядка, х>о;П1 Kn(m,z) — модифицированная функция Бесселя второго рода m-го порядка, х>о;• z — действительный или комплексный безразмерный скаляр;• m — порядок, целое число о<т<юо.О-О-Йо hIn ( 2,х).'рРис.
1 0 . 3 . Модифицированные функции Бесселя первого рода9 За к 984Часть III. Численные методы248Примеры нескольких первых модифицированных функций Бесселя показаны на рис. 10.3 и 10.4.Рис. 1 0 . 4 . Модифицированные функции Бесселя второго рода10.1.3.Функции ЭйриФункции Эйри являются независимыми решениями ОДУ y t ( = z y . Их видпоказан на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
