Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Отображение мнимой единицы различными символамие> =0.54+ 0.84 ljе =0.54+ 0.84П5.1. Основные характеристики комплексных чисел * 1 6 95 . 1 . Основные характеристикикомплексных чиселИмеется несколько величин, позволяющих охарактеризовать комплексное числоz=a+b-i. Для их определения в Mathcad используются специальные функции и операторы. Кратко опишем, как можно найти в изучаемой программе основные характеристики комплексного числа (рис. 5.1).ОРис. 5 . 1 .
Геометрическая интерпретация комплексного числа. Число представляется точкой,лежащей в плоскости XOY. Длина вектора г, соединяющего начало координат и точку числа,равна модулю этого числа; проекция этого вектора на ось X соответствует действительнойчасти числа а, проекция на ось Y — мнимой части Ь; наклон вектора к X определяет аргументчисла jО Действительная часть а. Для ее определения служит функция Re(z).• Мнимая часть Ь.
Находится с использованием функции Im(z).• Модуль комплексного числа |z|. Ему соответствует длина вектора, соединяющегоначало координат и точку числа на комплексной плоскости. Значение модуля комплексного числа позволяет определить оператор модуля панели Calculator (Калькулятор).• Сопряженное число г*. Это такое комплексное число, при умножении на которое zполучается действительное число. Несложно догадаться, что z*=a-b-i, а также чтоz-z*=|z|2.
Найти z* в Mathcad позволяет особый оператор комплексного сопряжения.Ввести данный оператор можно с помощью сочетания клавиш Shift+«'». Обязательное условие при этом — курсор должен находиться на тексте преобразуемого выражения, иначе будет вставлена текстовая область, вводимая тем же сочетанием.Кстати, оператор сопряженного числа по-своему уникален: это единственный изоператоров в Mathcad, который не был вынесен на одну из панелей семейства Math(Математичес кие).Аргумент комплексного числа. Представляет собой угол наклона ф вектора, соединяющего в комплексной плоскости начало координат и точку числа.
Численно равен арктангенсу отношения мнимой части числа к действительной части: arg(z)=arctg(b/a).Для определения аргумента комплексного числа в Mathcad служит функция arg(z).Строго говоря, с учетом периодичности, аргумент комплексного числа имеет бесконечное множество значений, определяемых соотношением (p=arg(z)+2-p-k, гдек — любое целое число.Все описанные выше функции и операторы работают как в режиме аналитических, таки численных расчетов.•1 7 0 • Глава 5. Комплексные числаПример 5.3. Расчет основных характеристик комплексного числаПрисваиваем число переменной и пересчитываем его в форму z=a+b-i:281 .1+i3—— •lz := 1 - i + 1 + 2-i + 555Находим действительную и мнимую части числа, его аргумент, модуль, а также сопряженноечисло:-1Im(z) -> —528Re(z) -» —51arg(z)( Л1 5arg(z) = - 0 .
0 3 6-atan —| z | —> —-785V ;28_5+|z| =5.60452811_.51--78552\/z-z=5.604V5.2. Формы представления комплексныхчиселИзвестны три формы представления комплексных чисел.• Алгебраическая форма. Наиболее простая и традиционная: z=a+b-i.LJ Тригонометрическая форма. Число в данном случае определяется через соотношение z=r-(cos((p)+i'Sin(cp)), где г — модуль комплексного числа, <р — его аргумент.ф• Экспоненциальная форма: z=r-e' .Mathcad умеет полноценно работать только с комплексными числами в алгебраической форме. Именно в ней чаще всего представляются результаты аналитических расчетов, и только в ней — численных. В тригонометрическую форму программа переводит лишь числа, представленные в экспоненциальной форме и упрощаемые с помощьюоператора complex панели Symbolic (Символьные).
И нет такой операции, в результатекоторой было бы получено комплексное число в экспоненциальной форме (если несчитать операций вроде символьного интегрирования ех от -i до i).Что же делать, если результат необходимо представить именно в тригонометрической или экспоненциальной форме? Тут имеется два пути. Во-первых, вы можете составить нужное выражение самостоятельно, подсчитав модуль и аргумент комплексного числа. Во-вторых, можно создать функцию, которая будет записывать строкус ответом. У этого пути есть недостатки. Так, полученный ответ нельзя будет использовать в дальнейших расчетах, а также он будет «испорчен» скобками.
Кроме того, подобная функция не может быть просчитана аналитически. Однако ничего лучшего дляавтоматизации преобразования комплексных чисел из одной формы в другую в Mathcad сделать нельзя. В методических целях продемонстрируем оба подхода к переводукомплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую и экспоненциальную.5.3.
Операции над комплексными числами * 1 7 1Пример 5.4. Представить число m=1+i в тригонометрическойи экспоненциальной формеЧтобы решить задачу первым способом, находим модуль числа и его аргумент, а затем подставляем их в формулы:m:=l + i11aig(m)-»--7t4. .2| m | —> 2Тригонометрическая форма:Экспоненциальная форма:г; {I Л} . . I ЯМ\/2- cos — + l-sin —Гi—4Выполняем проверку (система автоматически пересчитывает число из любого представления валгебраическое):—+ l-Sin -= 1+ 1г-4A)\a,))V2.e = 1 + iВторой способ заключается в том, что формируется строка с ответом.
Для этого используетсяфункция concat, объединяющая подстроки в одну строку. Для перевода чисел в строки применяем функцию num2str.trigC(z):=concat(num2sti{|z|),"*(cos(" ,num2str(arg(z)),")+i*sin(" ,num2str(arg(z)),"))" )expC(z) :=concat(num2str(|z|),"*(e A i*" ,num2str(arg(z)),")")trigC(l + i) = "1,4142135623731*(cos(0,785398163397448)+i*sin(0,785398163397448)expC(l + i) = "l,4142135623731*(e A i*0,785398163397448)"Довольно часто комплексные числа получаются в форме, в которой действительная и мнимая части не разделены.
Чтобы привести такое число к стандартному виду алгебраического представления z=a+b-i, следует задействовать символьный оператор complex.Также данный оператор осуществляет перевод числа из экспоненциальной формыв тригонометрическую.Пример 5.5.
Использование оператора complex5+i- — — complex -» 1 - l-i45- е ч complex -> 5-cos(4) + 5isin(4)5.3. Операции над комплексными числамиТакие арифметические операции, как сложение, вычисление разности, умножение,деление, возведение в степень над комплексными числами в системе Mathcad можно172 •Глава 5. Комплексные числаосуществлять точно так же, как над действительными числами.
Причем расчет можетбыть проведен как аналитически, так и численно. Сложнее дело обстоит с извлечением из комплексного числа корня. Ввиду нетривиальности данной проблемы рассмотрим ее более подробно.Чему равен квадратный корень из 4? Большинство читателей моментально ответят: 2.Тот же результат выдаст и Mathcad, причем независимо от формы записи корня:124 =2^=2Поставим вопрос по-другому: чему равняются корни уравнения х2=4. Даже троечник,подумав, сообразит, что у данного уравнения два корня: +2 и -2. Но почему корень изчисла только один, а у корня из переменной два значения?Строго говоря, корню n-й степени из любого числа будет удовлетворять п значений.Однако п-2 из них для четной степени и п-1 для нечетной будут комплексными.
В случае четной степени два значения, равных по модулю, но обратных по знаку, будут действительными. Для нечетной степени будет только одно действительное значение. Приизвлечении же корня работают следующие ограничения: результат должен быть действительным и иметь такой же знак, как исходное число. Очевидно, что этим ограничениям будет удовлетворять только одно значение из п.
При извлечении корня из 4таким значением будет 2.Если число рассматривается, как комплексное, описанные выше ограничения не действуют. Извлекая из такого числа корень n-й степени, нужно получить все п значений.Как это сделать в Mathcad? Тут имеется два пути.• Пусть комплексное число, из которого нужно извлечь корень n-й степени, равно z.Обозначим результат данной операции переменной х. Очевидно, что при возведении х в степень п мы получим т.пх = zАналитически решив данное уравнение с помощью оператора solve (Решить) панели Symbolic (Символьные), мы получим п искомых корней z.• Несложно догадаться, что значения корня n-й степени из комплексногоI/n1/пчисла z будут лежать на окружности с центром в начале координат и радиусом |z , деля этуокружность на равные части.
Из этого факта можно получить следующую формулу, использующуюся для извлечения корня из комплексного числа, записанногов тригонометрической форме:coslф + 2к-яI + i-sinn)\nЗдесь r — модуль числа, ф — его аргумент, k=0,1, 2,..., n - 1 .Применяя данную формулу, можно определять корни комплексного числа тогда,когда в отчете должен быть виден механизм расчета. В остальных случаях удобнееприменять первый способ.Пример 5.6. Операции над комплексными числамиЭлементарные операции (сложение, вычитание, произведение, деление, возведение в степень).zl:=i+lz 2 : = 3 - 12-i5.3. Операции над комплексными числами • 1 7 3zlzl+z2=4-llizl-z2=-2+13izl-z2=15-9i3zl = -2 + 2i-15.>• — + —-1z217 51z2 7 -• -43842789-6359796-iИзвлечение корня.
Найдем корни третьей степени из 1 обоими описанными способами.Способ первый. Аналитически решаем уравнение:/х = 1 solve, х —>1=1Способ второй. Запускаем цикл по к от 0 до п-1 с помощью ранжированной переменной и поприведенной выше формуле подсчитываем корни, записывая их в вектор.n:=3пп-т Гz:=lark:=0..n-lzГ g( ) + 2-к-яЛG k :=\f|z| • cos —sli.( .+j .s i narg(z) + 2-к-я1тэ ->2222Проверяем, правильно ли были подсчитаны значения корней:— + -Л-\[зexpand -> 1i-\j2 I expand —>Глава 6- ГрафикиОчень трудно представить научные доклады, статьи или диссертации, в которых неиспользовалась бы графическая форма представления данных — кривые, диаграммы,гистограммы, поверхности, векторные поля.
И причина этому вполне очевидна: ведьгораздо проще сделать нужные выводы о существовании, например, локального экстремума функции двух переменных, просто взглянув на соответствующую ей поверхность, чем анализировать матрицу из тысяч или десятков тысяч элементов. Однакоесли начертить схематично кривую способен даже школьник, то построить вручнуюповерхность сложной, несимметричной функции могут лишь люди маниакальноготрудолюбия и недюжинных художественных способностей. Выполнить же такую работу с помощью компьютера можно очень просто. Поэтому использование Mathcad нетолько значительно облегчает расчетную и оформительскую работу, но и открываетширокие, недоступные еще лет 10 назад, возможности в области визуализации данных.Построение разнообразных графиков — одна из самых сильных сторон системы Mathcad.Особенно впечатляют возможности художественного оформления трехмерных объектов — пожалуй, в этом вопросе Mathsoft однозначно превзошла всех своих конкурентов.
А так как задание графиков — тема очень важная, обширная и интересная, то вполне оправданным будет рассмотреть ее в качестве отдельной главы.Данная глава разделена на три части, исходя из рассматриваемых вопросов: в первоймы поговорим об особенностях задания графиков функций одной переменной — в декартовой и полярной системах координат, во второй — о построении и форматировании поверхностей, в третьей части будет рассмотрено создание анимации в Mathcad.Все основные типы графиков и инструменты работы с ними расположены на рабочейпанели Graph (Графические) семейства Math (Математические). Здесь (рис. 6.1) вы можете найти ссылки на семь типов графиков.Рис. 6 . 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
