Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 37
Текст из файла (страница 37)
пример 4.22).Пример 4.22. Рекурсивное вычисление факториалаfactorial(n) :=error("Parameter is defined incorrectly") if n < 0 v trunc(n) Ф nreturn 1 if n = 0return n-factorial(n - 1)factorial 0) = 1factorial^) = 6factorial(5) = 120Проанализируем работу созданной программы на примере вычисления факториала от 3.Итак, интерпретатор Mathcad добирается до строки factorial(3). При этом создаетсяобъект активации и выполняются прописанные в определении функции действия.
Таккак 3 — это целое положительное число, то сразу вычисляется выражение n-factorial(n-1).При этом происходит вызов функции factorial() со значением параметра, равным 2.Создается второй объект активации и располагается в стеке первым. Его выполнениесопровождается появлением еще двух объектов активации — со значением п=1 и п=0.При проделывании кода для верхнего в стеке объекта активации выполняется условиеп=0, что сопровождается разрушением самого объекта и возвращением в точку вызова —нижележащую активацию функции — значения 1. При этом выражение bfactorial(O)получает конечное значение, и уже данный объект активации выгружается, возвративактивации с п=2 значение 1.
Следующие два шага характеризуются разрушением ещедвух активаций, которое сопровождается умножением передаваемой величины на 2и 3. В результате в точку вызова функции factorial() возвращается значение 6.Можно легко написать алгоритм, при выполнении которого рекурсивная цепь объектов активации будет неограниченной. Естественно, что это приведет к исчерпанию ре-4.8. Рекурсия * 1 5 5сурсов машины и, как следствие, к зависанию Mathcad или даже операционной системы. Чтобы этого не произошло, существуют ограничения на длину рекурсивной цепи.Она не может быть длиннее 100 объектов активации. Иначе система выведет сообщение об ошибке: This evaluation can not be evaluated.
It may have resulted in an overflow orinfinite recursion (Это выражение не может быть вычислено. Возможно, причина в переполнении или бесконечной рекурсии).В программировании рекурсия обычно используется в тех случаях, в которых, выражаясь языком теории алгоритмов, нужно обойти граф (дерево) неизвестной степенивложенности. Например, с ее помощью можно просмотреть все элементы вложенногомассива с неизвестной структурой или решить задачу Эйлера о ходе коня (конь должен обойти шахматную доску, побывав в каждой клетке только один раз). Впрочем,очень часто посредством рекурсии весьма изящно можно решить задачи, которые приболее «приземленном» подходе решаются с помощью циклов (кстати, такой задачейявляется задача о вычислении факториала). В качестве примера такой задачи решим знаменитую задачу Леонардо Фибоначчи, которую он сформулировал и решил в 1202 году.Ее условие следующее.
Сколько пар кроликов можно получить от одной пары за год(за два года, за п лет)? При этом используются такие допущения: каждая пара кроликов производит новую пару раз в месяц, новая пара начинает размножаться через месяц, кролики не дохнут.Пример 4.23. Решение задачи Фибоначчи посредством рекурсииFibonacci(n) := return I i f n = 0 v n = ls <- 0while n > 2I s <- s + Fibonacci (n - 2)In+-B—1Fibonacci(O) = 1Fibonacci(l) = 1Fibonacci(2) = 1Fibonacci(3) = 2Fibonacci(4) = 3Fibonacci(5) = 5Fibonacci(6) = 8Fibonacci 12) = 144Идея написанного алгоритма довольно очевидна.
Количество месяцев, которое отводится одной паре кроликов на размножение, передается функции Fibonacci в качествепараметра п. В течение этого времени она произведет п-2 новых пар кроликов. Каждая пара сама начнет размножаться. Имитировать этот процесс можно рекурсивнымвызовом функции Fibonacci.
Однако важно учесть, что у каждой последующей парыв потомстве будет времени на один месяц меньше, чем у предыдущей. Сделать это можно, уменьшая значение п в цикле while.Справочная система Mathcad предлагает более простую с точки зрения кода, но кудаболее сложную для понимания программу, решающую задачу Фибоначчи. Попробуйте самостоятельно понять, как она работает.1 5 6 • Глава 4. ПрограммированиеПример 4.24.
Решение задачи Фибоначчи из справки Mathcadfibonacci(n) :=return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2) if n > 1return 1 if n = 1return 0 if n = 0i:=0.. 10f. :=fibonacci(i)f1 = (0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55)Фибоначчи был крупнейшим математиком средневековья. И открытая им последовательность чисел — 0,1,1, 2, 3, 5,8... — имеет исключительно важное значение. Большоеколичество интереснейших алгоритмов сводится к числам Фибоначчи.
Например, отношение двух соседних чисел Фибоначчи при п—>°° дает не что иное, как золотое сечение:fibonacci(lO)= 1.618= 1.618fibonacci(9)2Заметьте также, что каждое последующее число Фибоначчи есть сумма двух предыдущих.Многие задачи решаются с использованием рекурсии очень красиво.
Однако порой важноучитывать, что рекурсия куда более требовательна к ресурсам машины по сравнениюс циклами. Поэтому в случае алгоритмов, требующих объемных вычислений, отдаватьпредпочтение все же лучше циклам, применяя рекурсию тогда, когда альтернатив ей нет.4.9. Пример программирования: решениезадачи Эйлера о ходе коняВ уже изученных нами разделах этой главы было немало примеров программированияв Mathcad.
Однако почти все они были или элементарными или узкоспециальными,иллюстрирующими какую-то одну возможность. На практике же приходится создавать значительно более сложные программы. Чтобы писать подобные программы, необходим определенный опыт — одного лишь знания теории тут недостаточно. Поэтому, чтобы «набить руку», мы решим посредством языка программирования Mathcadклассическую задачу теории алгоритмов, известную как задача Эйлера о ходе коня.Условие ее следующее: конь, начав движение из произвольной клетки, должен обойтивсю доску, побывав в каждой клетке только один раз. В традиционной постановке задачи считается, что доска имеет размеры 8x8 клеток, но ее можно решать и для доскилюбых других размеров.Задача о коне имеет долгую историю — около трех столетий.
В XVIII веке ее решением занимались многие известные математики, однако особенно преуспел в этом Эйлер,посвятивший ей объемное сочинение. Он создал алгоритм, дающий возможность находить маршруты подбором за приемлемое время. Позже были открыты более эффективные алгоритмы: правило Вансдорфа, рамочный метод Мунка и Коллини, метод деления на четверти Полиньяка и Роже и пр. Однако полностью задача о коне не решенадо сих пор. Пока никому не удалось найти не то что все возможные маршруты, но дажеоценить их число. Достоверно известно лишь, что число маршрутов не превосходит47числа сочетаний из 168 по 63 (приблизительно 10 ), но больше 30 млн.
Столь значительное количество маршрутов дает право уверенно утверждать, что из какой бы клет-4.9. Пример программирования: решение задачи Эйлера о ходе коня* 157ки конь ни начал движение, у него будет множество возможностей обойти всю доску,побывав в каждой клетке только один раз.Мы решим задачу Эйлера двумя способами: прямым перебором и используя правилоВансдорфа. Однако, прежде чем мы приступим к реализации алгоритмов, необходимопровести небольшую подготовительную работу. В первую очередь нужно решить, какмы будем описывать шахматную доску.
Очевидно, что ей нужно поставить в соответствие матрицу. Каждый элемент этой матрицы будет описывать клетку доски. Однакоадресоваться элементы будут, естественно, иначе, чем клетки. Если в случае реальнойдоски столбцы адресуются буквами от а до h, а строки — числами от 1 до 8, причем отсчет начинается с нижнего левого угла, то в случае матрицы ячейки будут адресоваться индексами от 0 до 7, а отсчет начнется с верхнего левого угла. Это означает, что, например, клетке аЗ будет соответствовать элемент матрицы с индексами i=5, j=0.На то, что конь уже побывал в данной клетке, будет указывать значение соответствующего элемента описывающей доску матрицы: это номер хода, на котором конь находился в клетке. Если же конь еще ни разу не был в клетке, значением элемента будетнуль.
Поэтому изначально в матрице доски должны быть одни нули. Создадим функцию, которая будет, формировать подобные матрицы для досок произвольных размеров:chess_field(n) :=for i G 0.. n - 1for j e 0.. n - 1field . <-0field0 0 0 0 00 0 0 0 0chess_field(5) = 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0Далее нужно придумать, как можно представить в форме, понятной языку программирования, правила, по которым ходит конь.
В общем случае имеется восемь вариантовхода (рис. 4.6).•••Я!•В•• • ••••• У! •• ••01 234Рис. 4.6. Варианты хода коня56158 •Глава 4. ПрограммированиеВо всех вариантах хода есть одно общее: конь смещается на две клетки по одному измерению и на одну клетку по другому.
В зависимости от направления движения смещение будет иметь знак «+» или «-». Таким образом, каждый возможный ход можноописать парой чисел, показывающей, на сколько клеток переместится конь по горизонтали и вертикали. Чтобы узнать, в какой клетке окажется конь, сделав ход, нужнок индексам клетки, в которой он находится в данный момент, прибавить соответствующие числа из описывающей ход пары. Сами же пары удобно занести в векторы, которые в свою очередь являются элементами вектора:L2Istep 4 :=-1^r'Ustep 5 :=step 3 :=Step6 : = (_i)Step7 : = L2Как бы мы решали на бумаге задачу Эйлера о коне, не зная никаких специальных правил и методик? Почти наверняка мы использовали бы метод перебора с возвратом(именно его применял Эйлер).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
