Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 28
Текст из файла (страница 28)
И так далее — до тех пор, пока не будут перемноженывсе строки. Так, при умножении матрицы размерности NxM на матрицу размерностиМхК будет получена матрица размерности NxK. Естественно, перемножать матрицыможно лишь в том случае, если количество столбцов первой равно числу строк второй.1 1 2 • Глава 3. Матричные вычисленияПеремножить матрицы можно либо воспользовавшись клавишей «*», либо с помощьюспециальной команды Dot Product (Умножение) панели Matrix (Матричные). При этомзнак умножения, представляемый по умолчанию как «•», можно изменить на принятыйдля матриц знак «х». Для этого следует воспользоваться командой контекстного менюView Multiplication As (Видеть произведение как).Перемножать матрицы можно и в том случае, когда элементы их представлены символами или выражениями.Пример 3 .
1 7 . Матричное умножениеНайти произведение ABC для трех матриц:А:=-3(\2 5 0В:=0 1 35С:=010 -8АВС =-1 10-2-27 39-35 83Символьное умножение матриц:b -xg2с1fjfa 0•0К0(b-x)-bb 00_(d + a) • a2g •bсf • c_Если вы попытаетесь перемножить матрицы несоответствующего размера, будет выдано следующее сообщение об ошибке: These array dimensions are incompatible (Размерыэтих массивов несовместимы), а само произведение окрасится красным цветом.3.2.4. Транспонирование матрицТранспонированием называется матричная операция, переводящая матрицу размерности MxN в матрицу размерности NxM.
Иначе говоря, при транспонировании строкиисходной матрицы превращаются в столбцы, а столбцы — в строки. Оператор транспонирования (Transpose) находится на панели Matrix (Матричные), а также его можновставить с помощью сочетания клавиш Ctrl+1 (перед тем как ввести оператор транспонирования, матрицу следует выделить).Транспонирование можно провести и для матриц, чьи элементы определены символически. При этом следует использовать оператор «-4», расположенный на панели Symbolic(Символьные).Пример 3.18.
Транспонирование матрицДаны матрицы:А:=34^-5 -7.В:=15 -6^|2 -4 3 )3.2. Элементарные матричные вычисления•:• 1 1 3Найти матрицу Х=ЗА+ВТ:Х:=ЗА2В=5 -4f1X =з.-55148л,-21 -18,Символьное транспонирование:3.2.5. Определитель матрицыОпределитель — это число (или выражение), которое прежде всего характеризует линейную независимость строк (или столбцов) матрицы. Значение определителя в математике огромно, а вычисление его порой бывает весьма сложным.
Поэтому наличие такого оператора в системе Mathcad следует оценить как ее очень большой плюс.Ввести оператор определителя (Determinant) можно либо с помощью панели Matrix(Матричные), либо сочетанием клавиш Shift+«\» (предварительно матрица должнабыть выделена). Вид определителя в Mathcad соответствует принятому в математике.Поскольку в Mathcad для нахождения определителя и модуля используется один и тотже оператор, в его контекстном меню при вычислении определителя следует выбратьпункт Square Matrix Determinant (Определитель квадратной матрицы).Пример 3.19.
Вычисление определителя четвертого порядка4 6 3 4^5 2181312= 17\Ъ \ 2Вычислить определитель можно как численно, так и символически. В приведенномниже примере подсчитывается в символьном виде якобиан для преобразования тройного интеграла в сферическую систему координат.Пример 3.20. Перейдя к сферическим координатам, вычислить тройнойинтеграл>/(х + у + z J dxdydz,где (V) — верхняя половина шара1 1 4 • Глава 3. Матричные вычисления222х + у +z__2RПереходим к сферическим координатам:Х(г, ф,ц*) :=г• sin^) • cos (у)Y(r, ф, vj/) := г • вт(ф) • sin(\|/)г(г,ф,у) :=г-соз(ф)Вычисляем якобиан в символьном виде:dr-Х(г,ф,Ч>) ^ - Х ( г ,1фdd\|/drdфdrdфdyJ simplify -> sin^)-rЗадаем пределы интегрирования.Поскольку область (V) ограничена верхней половиной шара, угол со изменяется в пределах от Одо я/2:О < ф< 2Вычисляем тройной интеграл:0 < ш < 2я0 < г <R2пГ.Jdrdфdv'О^0'0assume, R = real 27...->--7I-Rsimplify7Для наглядного представления якобиана пришлось прибегнуть к оператору simplify(Упростить) рабочей панели Symbolic (Символьные), так как если этого не сделать, тоопределитель будет выдан в виде суммы 4 слагаемых.
А вообще, число членов в суммедля определителя равно N1, где N — размерность квадратной матрицы, для которойэтот определитель вычисляется. В случае же якобиана для сферической системы координат число членов такой суммы получается равным 4, поскольку производная координаты Z по одному из углов равна 0.Заметьте, что при подсчете интеграла мы получили довольно громоздкое выражение,которое затем пришлось упростить, задействовав два оператора. С помощью оператора simplify (Упростить), как вы помните, можно эффективно упрощать выражения,содержащие степень, однако в нашем случае его применение приводит к появлению за-3.2. Элементарные матричные вычисления•> 1 1 5гадочной функции csgn.
Связано это с тем, что Mathcad по умолчанию рассматриваетвсе числа как комплексные. Оператор assume позволяет ввести ограничения на параметр R, поскольку радиус может быть только действительным числом (что задаетсяс помощью служебного слова real). Так, путем несложных преобразований мы пришлик корректному ответу.В Mathcad определитель находится с помощью LU-разложения. Как это делается, демонстрируется в гл.
8 (в разделе, посвященном решению систем линейных уравнений).3.2.6. Модуль вектораМодулем (или абсолютной величиной) вектора называется длина изображающего егоотрезка. Модуль вектора (Vector Magnitude) по определению равен квадратному корню из суммы квадратов его элементов. Геометрический смысл модуля вектора — этодлина отрезка, соединяющего точку начала координат и точку, координаты которойчисленно равны соответствующим элементам вектора.В случае вектора оператор Determinant (Определитель) является оператором модулявектора, на что следует указать в его контекстном меню, выбрав пункт Absolute Value(Абсолютная величина).Модуль вектора может быть вычислен и символически.Пример 3.21.
Модуль вектора= 6.4813.2.7. Векторное произведениеВекторным произведением (Cross Product), по определению, называется вектор, длина которого равна произведению длин исходных векторов и синуса угла между ними,а направление его совпадает с направлением перпендикуляра к плоскости этих двухвекторов (по правилу «буравчика»). Символически векторное произведение находится как определитель следующей матрицы (для случаев векторов в трехмерном пространстве):iJxl x2 x3yl y2 уЗгде i, j , к — единичные, взаимно перпендикулярные векторы, xl, х2, хЗ, yl, у2, уЗ — координаты (элементы) перемножаемых векторов.Обозначается векторное произведение в Mathcad символом «х» (соответствует принятому в математике и физике).
Ввести оператор векторного произведения можно либос панели Matrix (Матричные) (кнопка Cross Product), либо сочетанием клавиш Ctrl+8.116 •Глава 3. Матричные вычисленияПример 3.22. Сила F = ( 1 , - 3 , -4) приложена в точке А(3, 4, 5). Найтивеличину и направляющие косинусы момента этой силы относительноточки В(1, 8,9)1-3А:=В:=48Момент силы относительно точки В вычисляется как векторное произведение a-F, где а — вектор, направленный к точке приложения силы::=А-Вах F =V-2yВеличина момента силы определяется как модуль вектора a-F:|ах F| = 6Направляющие косинусы момента силы (косинусы углов а, р, у, образованных вектором с осямикоординат) вычисляются как отношения соответствующих координат вектора к его длине:" 2 '3cos сфу : =ах F1.x FlC°Sa^=3Чтобы отобразить результат в виде простых дробей, выполните на нем двойной щелчок. В открывшемся окне Result Format (Формат результата) перейдите на вкладку Number Format (Форматчисел), в меню Format (Формат) выберите пункт Fraction (Дробь).Векторное произведение вычисляется системой Mathcad и символически:U_ 4 .z- y2 z-z-x1x2 z2-x-y3.2.8.
Скалярное произведение векторовСкалярным произведением (Vector inner product) векторов называется число (иливыражение), равное произведению длин перемножаемых векторов и косинуса угламежду ними. Иначе скалярное произведение можно найти, сложив попарно перемноженные координаты (элементы) векторов. Скалярное произведение в математике принято обозначать символом «•». Аналогично оно представляется и в Mathcad.
Чтобы3.2. Элементарные матричные вычисления• 117перемножить скалярно два вектора, можно либо воспользоваться специальной кнопкой Dot Product панели Matrix (Матричные), либо просто ввести с клавиатуры операторумножения («*»).Пример 3.23. Дан треугольник с вершинами А(1, 0, -5), В(-1, 1, -4),С(2, -5, -1).
Найти внешний угол j при вершине В (рис. 3.5)А(1Д-5)ВАф- IРис. 3.5. Чертеж к задаче о нахождении внешнего угла треугольникаЗадаем точки треугольника в векторной форме:'\/ о \лА:=В:=С:=-5Пользуясь определением скалярного произведения векторов, вычислим косинус угла ^АВС, образованного сторонами треугольника — векторами ВА и ВС.
Затем с помощью встроенной функции acos (арккосинус) определим величину внутреннего угла. Так как сумма смежных углов равна 180°, внешний угол найдем как разность п - .ZABC.Г(А-внс-в)!1|A-B|.|C-B|JФ := я - acosСкалярное произведение можно вычислить и символьнох-уУXV-> х-(х - у) + — + z-(z - 4)Xz-4y3.2.9. Обратная матрицаМатрица А"1 называется обратной к матрице А, если А-А"'-А~'-А=Е, где Е — единичная матрица (матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные — 0). Матрица имеет обратную только в том случае, если она квадратная и ее определитель не равен 0. Определение обратной матрицы — одна из основных задачматричной алгебры, поскольку в подавляющем большинстве доказательств и выводовэтого раздела математики (имеющего огромное практическое значение) обратную1 1 8 • Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
