Томашпольский В.Я., Шевченко М.Н., Янов И.О. - Числовые ряды (1077061)
Текст из файла
Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаМетодические указанияВ.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко,И.О. ЯновЧИСЛОВЫЕ РЯДЫИздательство МГТУ им. Н. Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаВ.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко,И.О. ЯновЧИСЛОВЫЕ РЯДЫМетодические указанияк выполнению типового расчетаМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2006УДК 517.5.52ББК 22.16Т 56Т 56Рецензент К.В. ТитовТомашпольский В.Я., Шевченко М.Н., Янов И.О.Числовые ряды: Методические указания к выполнению типового расчета. – М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2006. –36 с.: ил.Даны краткие теоретические сведения, примеры, задачи длясамостоятельной работы и условия типового расчета по теме«Числовые ряды».Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей.Табл. 1. Библиогр. 4 назв.УДК 517.5.52ББК 22.16c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006ВВЕДЕНИЕРяд как сумма с бесконечным количеством слагаемых являетсяважнейшим средством изучения функций и приближенного вычисления значений этих функций. Простейшие примеры рядов встречаются уже в элементарной математике — это, например, бесконечные десятичные дроби или суммы членов бесконечно убывающейгеометрической прогрессии.Различают ряды числовые, членами которых являются числа(действительные или комплексные), и функциональные, членамикоторых являются функции, например степенные или тригонометрические.
Решение многих задач значительно упрощается, еслиискомые функции представлять в виде функциональных рядов.Если в функциональном ряде независимой переменной придатьопределенные значения, то такой ряд становится числовым. Причисленных расчетах полученный числовой ряд заменяют конечнойсуммой, обеспечивающей заданную точность такого приближения,что возможно только в случае так называемого сходящегося числового ряда. Именно вопросу сходимости числовых рядов посвященаданная работа.1. ЧИСЛОВОЙ РЯД И ЕГО СХОДИМОСТЬОпределение. Числовым рядом называется формальная суммабесконечного числа слагаемых∞a1 + a2 + a3 + .
. . + an + . . . =∑ an ,n=1где a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . — числовая последовательность.Слагаемые a1 , a2 , a3 , . . . называются членами ряда, а an — общим членом ряда. При этом нумерация членов ряда может начинаться не обязательно с единицы, а с любого целого числа. Например,для ряда∞1 3 52n − 12n − 1+ + +...++... = ∑3 5 72n + 1n=1 2n + 11352n − 1числа ,— члены ряда, an =— общий член ряда.,3572n + 1ОбозначимS1 = a1 ,S2 = a1 + a2 ,S3 = a1 + a2 + a3 ,............Sn = a1 + a2 + a3 + .
. . + an .Величины S1 , S2 , S3 , . . . называются частичными суммами. Сумма первых n слагаемых называется n-й частичной суммойряда и обозначается Sn .4Определение. РядСходимость∑ an называется сходящимся,∞если суще-ствует конечный предел последовательности частичных суммn=1lim Sn = S.n→∞Число S называется суммой ряда.Если же для данного ряда такой предел не существует или онбесконечен, то ряд называется расходящимся.Понятия сходимости и расходимости ряда можно проиллюстрировать рядом, составленным из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q и первым членом b (b 6= 0):∞∑ bqn−1 = b + bq + bq2 + . .
. + bqn−1 + . . .n=1Если q = 1, то ряд получает вид b + b + b + . . ., a n-я частичнаясумма — видSn = b + b + b + . . . + b = nb.Поскольку предел последовательности частичных сумм lim nb бесn→∞конечен, то ряд расходится.Если же q 6= 1, то n-я частичная суммаSn = b + bq + bq2 + . . . + bqn−1 =Тогда при | q | < 1 существует пределb − bqn.1−qb − bqnb=.n→∞ 1 − q1−qlim Sn = limn→∞Значит, при | q | < 1 ряд сходится и имеет сумму S =b. При1−q| q | > 1 конечного предела Sn не существует, т. е. ряд является расходящимся.
Если же q = −1 , то ряд выглядит как∞∑ b (−1)n−1 = b − b + b − b + b − . . . ,n=15а частичные суммы образуют последовательностьb, 0, b, 0, b, . . . ,которая не имеет предела и является расходящейся. Значит, и рядпри q = −1 будет расходиться.Итак, ряд, составленный из членов бесконечной геометриче-ской прогрессии ∑ bqn−1 ,∞n=1при | q | < 1 сходится,при | q | ≥ 1 расходится.Критерий Коши сходимости числового рядаДля того чтобы ряд ∑ an сходился, необходимо и достаточно,∞чтобы для любого ε > 0 существовал номер N = N (ε) такой, что длявсех натуральных n ≥ N и p выполнялось неравенство n+p |Sn+p − Sn | = ∑ ak = |an+1 + an+2 + . . . + an+p | < ε.k=n+1 n=1Докажем с помощью критерия Коши расходимость так называемого гармонического ряда∞1111∑ n = 1+ 2 + 3 +...+ n +...Доказательство.
Пусть p = n, тогда n + p = 2n. Поскольку ча1 11и n-ястичная сумма с номером 2n равна S2n = 1 + + + . . . +2 32n1 11частичная сумма равна Sn = 1 + + + . . . + , то их разность2 3nn=1S2n − Sn =111++...+ .n+1 n+22nЗаменив каждое слагаемое меньшей величинойS2n − Sn >61, получим2n11111+ +...+= n= .2n 2n2n 2n2Критерий Коши не выполняется, следовательно, ряд расходится.Свойства числовых рядовУтверждение 1. Отбрасывание, добавление или изменение конечного числа членов не влияет на сходимость ряда (но влияет наего сумму).Утверждение 2. Умножение каждого члена ряда на const k 6= 0не влияет на сходимость ряда. В случае сходимости сумма новогоряда равна kS, где S — сумма исходного ряда.Утверждение 3.
Если почленно сложить или вычесть соответствующие члены сходящихся рядов, то получится сходящийся ряд.Утверждение 4. Если почленно сложить или вычесть соответствующие члены сходящегося и расходящегося рядов, то полученный ряд расходится.Необходимый признак сходимости рядаТеорема 1.
Если ряд∞∑ anсходится, то модуль общего чле-на |an | стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.lim | an | = 0. Следовательно, последнее условие есть необходимоеn→∞условие сходимости ряда.Заметим, что это условие не является достаточным, т. е. изстремления к нулю общего члена ряда нельзя сделать вывод, что∞1ряд сходится. Например, для гармонического ряда ∑ необхоn=1 n1димое условие выполнено: lim = 0, но ряд, как было показаноn→∞ nвыше, расходится.
Практически необходимый признак сходимостиудобно использовать как достаточный признак расходимости, т. е.если lim |an | 6= 0, то ряд расходится.n→∞n=1Пример 1. Исследовать на сходимость ряд∞n2 + n + 1.∑2n=1 2 + 10n7Решение. Вычислим пределn2 + n + 11=6= 0.n→∞n→∞ 2 + 10n210Следовательно, ряд расходится.lim |an | = limПример 2. Исследовать на сходимость рядРешение.
Вычислим пределlim |an | = lim cos √n→∞n→∞Следовательно, ряд расходится.∞5∑ cos √n + 1 .n=15= cos 0 = 1 6= 0.n+1Пример 3. Исследовать на сходимость рядРешение. Вычислим предел∞∑ sinn=1πn.2 πn lim |an | = lim sin .n→∞n→∞2Предела не существует, следовательно, ряд расходится.2. ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫОпределение. Назовем ряд с неотрицательными членами знакоположительным рядом.Отметим важные свойства знакоположительных рядов.1. Перестановка членов знакоположительного ряда не влияет насходимость ряда.2. Перестановка членов сходящегося знакоположительного рядане меняет сумму ряда.Достаточные признаки сходимостизнакоположительных рядовТеорема 2.
Признак сравнения. Пусть∑ an и∞∑ bn — два зна∞коположительных ряда и, начиная с некоторого номера k, выполняn=1ются неравенства an ≤ bn , n ≥ k. Тогда, если ряд8n=1∑ bn сходится, то∞n=1сходится и рядряд∞∑ an ; если ряд∑ an расходится, то расходится и∞∞n=1n=1∑ bn .Этот признак позволяет сделать вывод о сходимости ряда путемсравнения его с другим, «эталонным» рядом, сходимость которогоизвестна.Кратко его можно записать следующим образом:n=10 ≤ an ≤ bn ,∑ an сходится⇐n=1∑ an расходится⇒∑ bn расходится.∞n=1∑ bn сходится;∞∞n=1∞n=1«Эталонные» рядыРяд Дирихле (обобщенный гармонический)∞1∑ npn=1сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.Ряд из членов геометрической прогрессии∞∑ bqn−1n=1сходится при |q| < 1 и расходится при |q| ≥ 1.Пример 4. Исследовать на сходимость ряд∞1∑ n2 + 5 .n=1Решение.
Выбираем для сравнения ряд Дирихле∑ n2 , который∞1сходится, так как p = 2.11Поскольку 2< 2 , то исходный ряд сходится.n +5 nn=19Пример 5. Исследовать на сходимость ряд∞6n∑ 7n (n2 − 1) .Решение. Выбираем для сравнения ряд, состоящий из членов∞6 nбесконечно убывающей геометрической прогрессии ∑, коn=2 7торый сходится.
n6n66n=, то исходный ряд сходится.<Поскольку n 27 (n − 1) 7n7При подборе эталонного ряда полезно помнить некоторые неравенства:|sin x| ≤ 1,n=2|cos x| ≤ 1,logc x < x < a при x ≥ x0 , b > 0, a > 1.bxПример 6. Исследовать на сходимость ряд∞7∑ ln n .77Решение. Выполняется неравенство> . Поскольку рядln nn∞7∑ расходится (умножение на const 6= 0 не влияет на сходимость),n=4 nто исходный ряд расходится по признаку сравнения.∞0, 2 ln nПример 7. Исследовать на сходимость ряд ∑ √.5 7nn=3Решение.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
