Верещагин Н.К., Шень А. - Языки и исчисления (1076783), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

Покажите, что получится одно и то же.170. Покажите, что поле гипердействительных чисел является вещественно замкнутым (согласно определению на с. 183)Любое гипердействительное число x можно представить в видесуммы гиперцелого числа n и некоторого гипердействительного числа α, для которого 0 6 α < 1. Чтобы убедиться в этом, достаточнорассмотреть нестандартные аналоги функций целой и дробной части. Принцип переноса гарантирует, что они сохранят свои свойства.В частности, в сумме они дают исходное число, а дробная часть всегда не меньше нуля и меньше единицы.Целью расширения было получить возможность рассматриватьбесконечно большие и бесконечно малые числа.

Дадим соответствующие определения.Гипердействительное число α, большее всех стандартных чисел,называется положительным бесконечно большим числом. Аналогично определяются отрицательные бесконечно большие числа.171. Докажите, что число α является отрицательным бесконечно большим тогда и только тогда, когда −α является положительным бесконечнобольшим. Докажите, что |α| является положительным бесконечно большим тогда и только тогда, когда α является либо положительным, либоотрицательным бесконечно большим.Гипердействительные числа, не являющиеся бесконечно большими, называют конечными.

Другими словами, гипердействительноечисло x конечно, если оно находится в промежутке a 6 x 6 b состандартными концами a и b.Наконец, гипердействительное число называется бесконечно ма-214Теории и модели[гл. 5]лым, если его абсолютная величина меньше любого стандартногоположительного числа. (Согласно этому определению нуль тоже является бесконечно малым числом.) Легко проверить, что ненулевое число e является бесконечно малым тогда и только тогда, когда 1/e бесконечно велико. В самом деле, пусть, например, e > 0бесконечно мало.

Тогда 1/e больше любого стандартного числа c > 0,так как e < 1/c. Остальные случаи разбираются аналогично.Сумма и произведение двух конечных чисел конечны. Если α помодулю меньше стандартного числа a, а β — стандартного числа b,то α + β по модулю меньше стандартного числа a + b, а αβ по модулю меньше ab. (Неравенства в гипердействительных числах можноскладывать и умножать, так как обычные свойства неравенств записываются формулами и допускают перенос.)В обычном курсе математического анализа аналогом этого рассуждения является утверждение о том, что сумма и произведениеограниченных последовательностей ограничены. Другое стандартное утверждение из курса анализа — о произведении ограниченных ибесконечно малых (сходящихся к нулю) последовательностей — также имеет естественный аналог: произведение конечного и бесконечно малого гипердействительных чисел является бесконечно малымгипердействительным числом.

Доказательство также вполне традиционно: если α не превосходит стандартного числа a, а |β| меньшелюбого стандартного положительного числа, то αβ меньше любогостандартного положительного e, так как |β| < e/a.Два гипердействительных числа α, β бесконечно близки, если ихразность бесконечно мала. Обозначение: α ≈ β.172. Докажите, что если α ≈ β, то α + γ ≈ β + γ для любого гипердействительного γ, а αγ ≈ βγ для любого конечного гипердействительного γ.Покажите, что условие конечности существенно.173. Покажите, что два конечных гипердействительных числа бесконечно близки тогда и только тогда, когда между ними нельзя вставитьдвух разных стандартных чисел.Легко проверить, что отношение бесконечной близости является отношением эквивалентности на множестве гипердействительныхчисел.

Классы эквивалентности этого отношения иногда называютмонадами (термин, использовавшийся ещё Лейбницем).Теорема 79. Всякое конечное гипердействительное число бесконечно близко к некоторому стандартному числу.(Заметим, что обратное утверждение очевидно: всякое гипердействительное число, бесконечно близкое к некоторому стандартно-[п. 7]Нестандартный анализ215му a, конечно, поскольку содержится между стандартными числамиa − 1 и a + 1.) Пусть α — конечное гипердействительное число. Рассмотриммножество множество L всех стандартных действительных чисел,меньших или равных α, а также множество R всех стандартных действительных чисел, больших или равных α.

Конечность числа α гарантирует, что оба этих множества непусты (если бы, скажем, R было пусто, то α было бы положительным бесконечно большим). Заметим, что L и R не пересекаются (если только α само не являетсястандартным, и тогда доказывать нечего) и в объединении дают всёмножество R.По аксиоме полноты существует действительное число a, для которого L 6 a 6 R. Покажем, что α − a бесконечно мало.

Проверим,например, что для любого стандартного e > 0 выполнено неравенство α − a < e, то есть α < a + e. Это понятно: если a + e 6 α,то a + e ∈ L, что противоречит свойству L 6 a. По аналогичнымпричинам α − a > −e. Стандартное число a, бесконечно близкое к конечному гипердействительному α, называется стандартной частью числа α. Стандартная часть определена однозначно, так как два разных стандартных числа не могут быть бесконечно близки к одному и тому жегипердействительному числу (тогда бы они были близки друг к другу, что невозможно). Поэтому можно ввести обозначение st α длястандартной части конечного числа α.174.

Докажите, что если α и β конечны, причём α 6 β, то и st α 6 st β.Теорема 80. Среди гипердействительных чисел есть ненулевыебесконечно малые, а также бесконечно большие числа. Напомним, что по нашему предположению ∗R не совпадает сR, то есть существует некоторое нестандартное гипердействительноечисло α. Если α бесконечно, то 1/α — искомое ненулевое бесконечномалое число. Если α конечно, то α − st(α) будет искомым ненулевым бесконечно малым числом (а обратное к нему будет бесконечнобольшим). Заметим, что при построении гипердействительных чисел с помощью формул c > a (для новой константы c и всех стандартных a) итеоремы компактности существование бесконечно больших элементов очевидно: таковым будет значение этой самой константы c.Теперь обратимся к натуральным и целым числам.Теорема 81. Существуют нестандартные гипернатуральные числа, при этом все они бесконечно велики.216Теории и модели[гл.

5](Таким образом, для гипернатуральных чисел конечность и стандартность равносильны.) Всякое положительное действительное число есть сумма натурального и числа из [0, 1). Принцип переноса гарантирует, что всякоеположительное гипердействительное число α есть сумма гипернатурального ν и гипердействительного τ , для которого 0 6 τ < 1. Возьмём α бесконечно большим, тогда и ν будет бесконечно большим.Первое утверждение доказано.Пусть теперь ν — конечное гипернатуральное число. По определению конечности оно меньше некоторого стандартного числа a,скажем, числа 5.

Но в стандартной модели верна формула∀x (((x ∈ N) ∧ (x < 5)) →→ ((x = 0) ∨ (x = 1) ∨ (x = 2) ∨ (x = 3) ∨ (x = 4))).По принципу переноса она верна и в ∗R, поэтому число ν совпадаетс одним из стандартных чисел 0, 1, 2, 3, 4. 175. Покажите, что для всякого гипердействительного числа существует большее его гипернатуральное.176. Рассмотрим гипернатуральные числа как упорядоченное множество. Покажите, что оно изоморфно N + Z × F , где F — плотное линейноупорядоченное множество без первого и последнего элементов.

(Порядокна Z×F такой: сравниваются сначала вторые элементы, а при равенстве —первые.)Гипернатуральные числа позволяют говорить о бесконечно далёких членах (стандартных) последовательностей действительных чисел. Пусть a0 , a1 , . .

. — такая последовательность. Рассмотрим её график, то есть множество пар h0, a0 i, h1, a1 i, . . . , как двуместный предикат. Утверждение о том, что этот предикат задаёт график функции, определённой на натуральных числах, можно записать в видеформулы. Принцип переноса гарантирует, что гипердействительныйаналог этого предиката будет функцией, определённой на гипернатуральных числах и принимающей гипердействительные значения.Значение этой функции на гипернатуральном числе n можно обозначать an , не опасаясь путаницы (при стандартных n мы получаемодно и то же).Таким образом, любая последовательность приобретает — помимо своего желания — бесконечный «хвост».177. Покажите, что если две последовательности отличаются лишь вконечном числе членов, то их бесконечные хвосты одинаковы.[п.

7]Нестандартный анализ217Сейчас мы используем продолжение последовательностей для доказательства такого факта:Теорема 82. Нестандартный аналог ∗A множества A действительных чисел совпадает с A тогда и только тогда, когда множество Aконечно. Если A конечно, и, скажем, состоит из трёх элементов p, q, r,то можно записать формулу∀x ((x ∈ A) ↔ ((x = p) ∨ (x = q) ∨ (x = r)).По принципу переноса эта формула остаётся истинной в ∗R, такчто ∗A состоит из тех же трёх элементов.Пусть теперь A бесконечно. Покажем, что ∗A содержит элементы, не входящие в A.

Пусть a0 , a1 , . . . — последовательность различных элементов множества A. Напишем формулу, которая утверждает, что все элементы этой последовательности различны и принадлежат A. По принципу переноса все бесконечные члены этой последовательности (точнее, её гипердействительного аналога) такжеразличны, принадлежат ∗A и отличаются от всех конечных членовпоследовательности. Они и будут искомыми нестандартными элементами ∗A. В самом деле, бесконечный член aν при бесконечномгипернатуральном ν не может совпасть с конечными членами, а также не может совпасть со стандартным элементом a ∈ A, не входящимв исходную последовательность (ибо утверждение «an 6= a при всехn» записывается формулой).

Характеристики

Список файлов книги