Верещагин Н.К., Шень А. - Языки и исчисления (1076783), страница 49

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 49)

Галактикой гипердействительного числа α называют множествовсех гипердействительных β, для которых разность α − β конечна.178. Покажите, что множество гипердействительных чисел разбивается на галактики. Определите на галактиках естественное отношение линейного порядка и покажите, что этот порядок плотный и не имеет наибольшего и наименьшего элементов.179.

Каждое действительное число a, не являющееся двоично-рациональным, можно единственным образом записать в виде бесконечной двоичной дроби . . . , a0 a1 . . . ; другими словами, ему соответствует последовательность нулей и единиц (нас будет интересовать лишь дробная частьпосле запятой). Фиксируем бесконечное гипернатуральное ν и рассмотрим те числа a, у которых aν = 0. Покажите, что множество таких чиселпереходит в своё дополнение при симметрии относительно любой двоично-рациональной точки (другими словами, a ∈ M ⇔ r − a ∈/ M для двоично-рациональных r) и потому не может быть измеримым по Лебегу.180. Докажите, что гиперрациональными числами являются отношения гиперцелых чисел и только они. Докажите, что каждое гипердей-218Теории и модели[гл. 5]ствительное число бесконечно близко к некоторому гиперрациональномучислу.Покажем теперь, как можно ввести основные понятия математического анализа, используя бесконечно малые и бесконечно большиечисла.Теорема 83.

Пусть M ⊂ R. Множество M ограничено (в обычномсмысле) тогда и только тогда, когда все элементы его гипердействительного аналога конечны.Таким образом, в курсе нестандартного анализа можно определять ограниченные множества как множества, не содержащие бесконечных элементов. Если все элементы M меньше некоторого стандартного a помодулю, то и все элементы ∗M меньше того же a (принцип переноса),поэтому в одну сторону утверждение очевидно.Пусть теперь M не ограничено (скажем, сверху). Тогда в R вернотакое утверждение: для всякого c найдётся элемент множества M ,больший c.

Применим принцип переноса и возьмём бесконечно большое c. Получим, что в ∗M есть бесконечно большой элемент. 181. Покажите, что если все элементы множества ∗M меньше некоторого гипердействительного c, то M ограничено.182. Говорят, что множество S гипердействительных чисел являетсявнутренним, если оно есть гипердействительный аналог некоторого множества A действительных чисел.

Покажите, что множество конечных гипердействительных чисел не является внутренним.183. Докажите, что множество S ⊂ ∗R выразимо (в рассматриваемойнами сигнатуре, содержащей символы для всех функций и предикатов намножестве R) тогда и только тогда, когда оно является внутренним.Нестандартный анализ позволяет дать естественные определенияпредельной точки и предела.Теорема 84. Число a является предельной точкой последовательности действительных чисел a0 , a1 , . .

. тогда и только тогда, когданайдётся бесконечно далёкий член последовательности, бесконечноблизкий к a.(Бесконечно далёким членом последовательности мы называемзначение aν при бесконечном гипернатуральном ν.) Если a является предельной точкой, то для всякого положительного ε и всякого натурального N найдётся натуральное n > N ,для которого |an − a| < ε. Применим принцип переноса, положив εбесконечно малым и N бесконечно большим. Получим искомый бесконечно близкий к a член с бесконечно большим гипернатуральным[п. 7]Нестандартный анализ219номером.Напротив, если для некоторого натурального N и для некоторогоε > 0 все члены последовательности, начиная с N -го, отстоят от aболее чем на ε, то по принципу переноса все бесконечно далёкиечлены последовательности также отстоят от a более чем на ε.

184. Покажите, что число a принадлежит замыканию множества M ⊂⊂ R тогда и только тогда, когда некоторый элемент множества ∗M бесконечно близок к a.185. Как определить в терминах нестандартного анализа понятие предельной точки множества (в любой окрестности которой бесконечно многочленов множества)?Теперь видно, что нестандартный анализ позволяет в два счётадоказать теорему о том, что ограниченная последовательность имеет предельную точку: в самом деле, любой бесконечно далёкий членэтой последовательности конечен, и его стандартная часть будет предельной точкой!Теорема 85.

Последовательность a0 , a1 , . . . действительных чиселсходится к числу a тогда и только тогда, когда все её бесконечнодалёкие члены бесконечно близки к a. Пусть a является пределом. Тогда для всякого ε найдётся N ,начиная с которого все члены последовательности отстоят от a менеечем на ε. В частности, все бесконечно далёкие члены таковы и ихрасстояние до a меньше любого стандартного ε.Напротив, пусть a не является пределом и для всякого N найдётся член an с номером n > N , отстоящий от a более чем на ε > 0(пока что все параметры стандартны).

Применим принцип переноса,взяв N бесконечно большим, и найдём бесконечно далёкий член последовательности, отстоящий от a более чем на стандартное ε > 0. Приведём теперь нестандартные критерии стандартных топологических понятий.Теорема 86. Множество M ⊂ R открыто тогда и только тогда,когда вместе со всякой точкой m ∈ M оно содержит и всю её монаду,то есть все гипердействительные точки, бесконечно близкие к m.(Cтрого говоря, следовало бы сказать «его нестандартный аналог ∗M » вместо «оно»; напомним также, что M и ∗M содержат однии те же стандартные числа.) Если M открыто и содержит вместе с точкой m ∈ M её ε-окрестность, то монада m по принципу переноса содержится в M .Если же некоторая точка m ∈ M не является внутренней и длявсякого действительного ε > 0 найдётся точка вне M на расстоянии220Теории и модели[гл. 5]меньше ε, применим принцип переноса и возьмём бесконечно малоеε.

Мы получим число, бесконечно близкое к m и не лежащее в ∗M . Переходя к дополнениям, получаем, что множество M ⊂ R замкнуто тогда и только тогда, когда любая стандартная точка, бесконечно близкая к некоторой точке из ∗M , принадлежит M .На прямой компактными будут замкнутые ограниченные множества. Соединим нестандартные критерии замкнутости и ограниченности:Теорема 87. Множество M ⊂ R компактно тогда и только тогда,когда любой элемент множества ∗M бесконечно близок к некоторому(стандартному) элементу множества M .

В самом деле, ограниченность означает, что любой элементмножества M конечен, то есть бесконечно близок к стандартномучислу, а замкнутость позволяет заключить, что это число принадлежит M . 186. Используя полученные только что критерии, покажите, что любойотрезок [a, b] действительной прямой компактен, а любой интервал (a, b)открыт.187.

Покажите, используя нестандартный критерий открытости, чтообъединение любого числа открытых множеств открыто. (Напоминание:гипердействительный аналог объединения может не совпадать с объединением гипердействительных аналогов!)188. Покажите, что пересечение двух (или любого конечного числа)открытых множеств открыто. (Где используется конечность?)189. Докажите, что последовательность фундаментальна тогда и только тогда, когда любые два её бесконечных члена бесконечно близки (предварительно уточнив формулировку этого утверждения).190. Докажите, что всякая фундаментальная последовательность сходится, используя приведённый критерий фундаментальности. (Указание.Ограниченность приходится доказывать, исходя из стандартных определений.)191. Докажите, что если последовательность ограничена и имеет единственную предельную точку, то она сходится (к этой точке).192.

Докажите, что ограниченная возрастающая последовательностьимеет предел.Перейдём к функциям действительного переменного и дадим нестандартное определение предела (аналогичное приведённому вышедля последовательностей).Теорема 88. Число b ∈ R есть предел функции f : R → R в точкеa ∈ R тогда и только тогда, когда f (x) ≈ b для всех x, бесконечноблизких к a, но отличных от a.[п. 7]Нестандартный анализ221 Пусть функция f имеет предел b согласно ε-δ-определению идля всякого ε > 0 найдётся δ > 0 с нужными свойствами. Бесконечноблизкое к a число x попадает в δ-окрестность точки a при любомстандартном δ > 0, поэтому f (x) попадает в ε-окрестность точки b.Напротив, если при некотором ε > 0 для любого δ > 0 найдётсяточка x, для которой |x−a| < δ, но |f (x)−b| > ε, то можно применитьпринцип переноса (для данного стандартного ε) и взять бесконечномалое δ. Непосредственным следствием является нестандартный критерий непрерывности: функция f : R → R непрерывна в (стандартной)точке a тогда и только тогда, когда f (x) ≈ f (a) для всех x, бесконечно близких к a.Для функции, определённой на некотором множестве M ⊂ R,критерий непрерывности в точке m ∈ M выглядит так: f (m) ≈ f (m0 )для всякой точки m0 ∈ ∗M , бесконечно близкой к m.193.

Проверьте это.Поучительно понять, чем это свойство отличается от равномерной непрерывности.Теорема 89. Функция f : R → R равномерно непрерывна на множестве M ⊂ R тогда и только тогда, когда для всех x, y ∈ ∗M выполнено x ≈ y ⇒ f (x) ≈ f (y). Пусть выполнено обычное ε-δ-определение равномерной непрерывности. Бесконечно близкие точки x, y отличаются менее чем на(стандартное) δ, а потому их образы отличаются менее чем на ε. Этоверно для любого стандартного ε, поэтому f (x) ≈ f (y).Обратно, если функция не является равномерно непрерывной, тодля некоторого ε и для любого δ найдутся точки, отстоящие менеечем на δ, образы которых отстоят более чем на ε.

Характеристики

Список файлов книги