Верещагин Н.К., Шень А. - Языки и исчисления (1076783), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Конечно, всякий преподаватель курса математического анализа мечтает избавиться от утомительных рассуждений с выбором достаточно малых эпсилонов.Но если вместо этого нужно постоянно переходить от модели к еёэлементарному расширению и обратно, лекарство может оказаться страшнее болезни. Во всяком случае, «нестандартные» учебникиматематического анализа для нематематиков (один из них написанКейслером [34]) большого распространения не получили.Новые результаты действительно были получены; отметим, чтомногие из них (но не все) впоследствии были передоказаны «стандартными» методами, так что и здесь революции не произошло.Так или иначе, нестандартный анализ — интересное приложение210Теории и модели[гл.
5]теории моделей, и мы разберём несколько простых примеров. Болееподробно об этом можно прочесть в книгах Дэвиса [11] и Успенского [27], а также в последней главе книги Робинсона [22].Идея нестандартного анализа проста. Среди действительных чисел, увы, нет бесконечно малых (которые были бы меньше 1/n привсех n = 1, 2, 3, . . . ) — как говорят, поле вещественных чисел удовлетворяет аксиоме Архимеда. (Оригинальная формулировка этой аксиомы: каковы бы ни были два отрезка, можно отложить меньшийиз них столько раз, чтобы превзойти больший.) Но можно рассмотреть элементарное расширение поля R, в котором такие бесконечномалые элементы есть, и использовать их для определения пределов,производных и прочего в исходном поле.Перейдём к формальным определениям.
Мы будет рассматривать вещественную прямую как модель очень богатой сигнатуры.Для каждого отношения на R (c произвольным числом аргументов) введём свой предикатный символ. Получится 2c предикатныхсимволов. Кроме того, для каждой функции из Rn в R (при всехn = 0, 1, 2, . . . ) введём свой функциональный символ. Это даст ещё2c символов.Пусть ∗R — любая нормальная интерпретация этой сигнатуры,элементарно эквивалентная R. Её можно считать полем, расширяющим поле R. В самом деле, среди функциональных символов естьдвуместные символы для сложения и умножения.
Они задают некоторые операции в ∗R и относительно этих операций множество ∗R будет полем, так как аксиомы поля можно записать в виде формул (этиформулы истинны в R, а потому и в ∗R). Аналогичное рассуждение спредикатом «меньше» показывает, что ∗R является упорядоченнымполем.Это поле можно считать расширением поля R. В самом деле, длякаждого действительного числа x в сигнатуре имеется константа.Значения таких констант образуют подполе в ∗R, изоморфное R. Всамом деле, утверждения вида a 6= b, a + b = c и ab = c являются формулами, и переносятся из R в ∗R.
Аналогичным образом этовложение сохраняет порядок.Если поле ∗R исчерпывается значениями констант из R, то ничегоинтересного не получается. Поэтому мы будем предполагать, что этоне так. Возможность построить ∗R, не совпадающее с R, следует (например) из теоремы Лёвенгейма – Сколема о повышении мощности.Другой способ: добавим в сигнатуру новую константу c и рассмот-[п. 7]Нестандартный анализ211рим теориюTh(R) + {c > ā | a ∈ R},где Th(R) — множество всех истинных в R формул нашей сигнатуры, а ā — константа для числа a. Совместность этой теории следуетиз теоремы компактности. Любая её модель годится в качестве ∗R,поскольку значение константы c больше всех элементов из R.164.
Проведите это рассуждение подробно.В дальнейшем мы предполагаем, что выбрана и зафиксировананекоторая интерпретация ∗R, являющаяся элементарным расширением R и не совпадающая с R. Её элементы мы называем гипердействительными числами. Среди них есть и действительные числа,которые мы будем называть также стандартными элементами ∗R.Остальные элементы ∗R будут нестандартными гипердействительными числами. (По нашему предположению таковые существуют.)Утверждение об элементарной эквивалентности ∗R и R называютпринципом переноса: он позволяет перенести истинность формулыиз R в ∗R (или наоборот).Возможность переноса не ограничивается алгебраическими свойствами.
Например, в нашей сигнатуре есть функция sin. В интерпретации ∗R ей соответствует функция, которую можно было бы назвать«гипердействительным синусом». Эта функция продолжает обычный синус (для стандартных аргументов), поскольку утверждениявида sin a = b для конкретных стандартных a и b можно перенестив ∗R. Более того, она обладает обычными свойствами синуса: скажем,гипердействительный синус любого гипердействительного числа непревосходит единицы (в смысле порядка на ∗R), поскольку формула ∀x sin x 6 1 выдерживает перенос.
Аналогично можно поступатьи с предикатами: например, предикат «быть натуральным числом»задаёт в ∗R некоторое подмножество, элементы которого естественно назвать гипернатуральными числами. Гипернатуральные числаделятся на стандартные (соответствующие обычным натуральнымчислам в R) и нестандартные. (Мы увидим, что нестандартные числа обязательно найдутся.) Множество гипернатуральных чисел обозначается ∗N.Аналогично определяется множество ∗Z гиперцелых чисел и вообще множество ∗M для любого множества M действительных чисел. (Множеству M соответствует одноместный предикатный символ; ∗M — интерпретация этого символа в ∗R.) Множество ∗M называют нестандартным расширением M .
В нём содержатся те же212Теории и модели[гл. 5]стандартные числа, что и в M (формулы вида a ∈ M для стандартных чисел a переносятся), и, возможно, некоторые нестандартныечисла.Принцип переноса гарантирует, что для конечного M нестандартных элементов в ∗M не появится. В самом деле, пусть, скажем, в Mровно три элемента a, b и c. Тогда формула∀x (M (x) ↔ ((x = a) ∨ (x = b) ∨ (x = c))),в которой M (x) — предикат, соответствующий множеству M , истинна в R.
По принципу переноса она истинна и в ∗R, так что и ∗Mсостоит из трёх элементов, являющихся значениями констант a, bи c (отождествлённых со стандартными действительными числами).Впоследствии мы увидим, что бесконечное множество M обязательно приобретёт новые нестандартные элементы при переходе отR к ∗R.Несколько простых следствий принципа переноса:• M ⊂ N ⇔ ∗M ⊂ ∗N (применяем принцип переноса к формуле∀x (M (x) → N (x)));• ∗(M ∪ N ) = ∗M ∪ ∗N , (применяем принцип переноса к формуле∀x((M (x) ∨ N (x)) ↔ K(x)), где K — объединение M и N );• аналогичные утверждения верны и для пересечения и разностимножеств.165.
Покажите, что для счётного объединения аналогичное утверждение может не быть верным и ∗(M0 ∪ M1 ∪ M2 ∪ . . . ) может отличаться от(∗M0 ∪ ∗M1 ∪ ∗M2 ∪ . . . ).Нестандартные аналоги имеют не только множества, но и функции. Мы уже говорили о нестандартном аналоге синуса. Точно также можно определить нестандартный аналог любой всюду определённой функции (любого числа аргументов). Для не всюду определённых функций (например, для функции квадратного корня) надорассмотреть её график как предикат (для корня это будет предикатдвух аргументов) и взять его нестандартный аналог. Этот нестандартный аналог будет графиком частичной функции (ибо свойство«быть графиком частичной функции» записывается формулой).
Соответствующая функция и будет нестандартным аналогом исходной.166. Покажите, что (построенный по этой схеме) нестандартный квадратный корень имеет областью определения множество неотрицательных[п. 7]Нестандартный анализ213√гипердействительных чисел и что ( x)2 = x для любого неотрицательногогипердействительного числа x.167. Покажите, что для всюду определённой функции два способа еёпродолжения (как функции и через график) дают одну и ту же функцию.168. Покажите, что если множество A является областью определения частичной функции ϕ, то его нестандартный аналог ∗A совпадает собластью определения функции ∗ϕ.Мы будем часто опускать звёздочки в записях вида ∗f (x), считая,что если речь идёт о значении функции на гипердействительном числе, то подразумевается нестандартный аналог этой функции.
(Путаницы не будет, так как на стандартных числах значения функции иеё гипердействительного аналога совпадают.)169. Абсолютную величину гипердействительного числа x можно определить как x при x > 0 и как (−x) при x 6 0. С другой стороны, можнорассмотреть нестандартный аналог функции x 7→ |x|.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
