Верещагин Н.К., Шень А. - Языки и исчисления (1076783), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Остаётся применить при данном ε принцип переноса и взять бесконечно малое δ. Чем это отличается от непрерывности во всех точках множества M ? Непрерывность во всех точках M означает, что для любогостандартного m ∈ M и любого бесконечно близкого к нему m0 ∈ ∗Mмы имеем f (m) ≈ f (m0 ). Отсюда следует, что для любых m0 , m00 ∈∈ ∗M , бесконечно близких к некоторому стандартному m ∈ M , выполнено f (m0 ) ≈ f (m00 ).
Но в множестве ∗M могут быть бесконечноблизкие элементы, стандартная часть которых не лежит в M (иливообще не имеющие стандартной части, то есть бесконечные). Легкопонять, что для компактного M такого быть не может (стандартная часть любого элемента m0 ∈ ∗M принадлежит M согласно теореме 87). Тем самым мы получили (почти что тривиальное) нестан-222Теории и модели[гл. 5]дартное доказательство классической теоремы: непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна.Вот ещё несколько «нестандартных» доказательств стандартных(во всех смыслах этого слова) теорем из курса математического анализа.Теорема 90. Функция, непрерывная на отрезке и принимающаязначения разных знаков на его концах, имеет нуль на этом отрезке. Разделим отрезок на n равных частей.
Среди них найдётсячасть, на которой функция меняет знак. По принципу переноса ипри делении отрезка на бесконечное гипернатуральное число частейнайдётся часть, на которой функция меняет знак. Но концы этойчасти бесконечно близки к некоторой стандартной точке отрезка.Эта точка будет нулём функции (если в ней функция, скажем, положительна, то по непрерывности в бесконечно близких к ней концахотрезка изменения знака функция будет положительной). Теорема 91. Непрерывная во всех точках компакта функция ограничена на нём.
Пусть функция f непрерывна на компакте M . Следуя нестандартному критерию ограниченности, мы должны показать, что значения функции ∗f во всех точках ∗M конечны. Но всякая точка x ∈∈ ∗M бесконечно близка к некоторой стандартной точке y ∈ M (компактность), а потому ∗f (x) ≈ ∗f (y) (непрерывность), поэтому ∗f (x)конечно.
Обратите внимание, что мы пользовались аксиомой полноты (длямножества R) только один раз, при доказательстве теоремы 79. Этои не удивительно, поскольку из утверждения этой теоремы следуетаксиома полноты.194. Убедитесь в этом, следуя такой схеме. Пусть A — произвольноеограниченное множество действительных чисел. Покажите (стандартными рассуждениями), что для любого ε найдётся число c, являющееся верхней гранью, для которого c − ε не будет верхней гранью.
Примените принцип переноса, взяв бесконечно малое ε и рассмотрев стандартную частьсоответствующего числа c.195. Докажите, что производная стандартной функции f : R → R встандартной точке a равна стандартному числу b тогда и только тогда,когда (f (a + h) − f (a))/h ≈ b для всех бесконечно малых h 6= 0.196. Покажите, что (xn )0 = nxn−1 согласно нестандартному определению производной (предыдущая задача).197. Как использовать нестандартный анализ для определения понятия интеграла?[п. 7]Нестандартный анализ223В наших примерах все рассмотрения были ограничены множеством гипердействительных чисел.
Это ограничение кажется существенным — не вполне ясно, каким образом можно применить те жеметоды к произвольному топологическому пространству (в которомнет бесконечно больших чисел). Тем не менее это возможно, и обэтом можно прочесть в книгах Дэвиса [11] или Успенского [27].Литература[1] А. Ахо, Дж. Ульман, Дж.
Хопкрофт. Построение и анализ вычислительных алгоритмов, пер. с англ. А. О. Слисенко под редакцией Ю. В. Матиясевича. М.: Мир, 1979.[2] Дж. Булос, Р. Джеффри. Вычислимость и логика, пер. с англ.В. А. Душского и Е. Ю. Ногиной под редакцией С. Н. Артёмова.М.: Мир, 1994. 396 с.[3] Н. Бурбаки. Начала математики. Первая часть. Основныеструктуры анализа. Книга первая. Теория множеств, пер. сфранцузского Г. Н.
Поварова и Ю. А. Шихановича под редакцией В. А. Успенского. М.: Мир, 1965.[4] Б. Л. ван дер Варден. Алгебра, перевод с немецкого А. А. Бельского. Под редакцией Ю. И. Мерзлякова. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1976.[5] Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логикеи теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 3-е изд.М.: МЦНМО, 2008. 176 с.[6] Н.
К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.3-изд. М.: МЦНМО, 2008. 128 с.[7] А. Гейтинг. Интуиционизм. Введение, пер. с англ. В. А. Янковапод редакцией и с комментариями А. А. Маркова. М.: Мир, 1965.200 с.[8] Д. Гильберт, П. Бернайс. Основания математики. Логическиеисчисления и формализация арифметики, перевод с немецкогоН. М. Нагорного под редакцией С. И. Адяна.
М.: Наука, главнаяредакция физико-математической литературы, 1979. 560 с.[9] С. Г. Гиндикин. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1972. 288 с.[10] А. В. Гладкий. Математическая логика. М.: Российский государственный гуманитарный университет, 1998. 479 с.Литература225[11] М.
Дэвис. Прикладной нестандартный анализ, перевод с англ.С. Ф. Сопрунова под редакцией и с предисловием В. А. Успенского. М.: Мир, 1980. 236 с.[12] Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин. Математическая логика. 2-е изд.М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1987. 336 с.[13] Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн. Теория моделей, перевод с англ. С. С. Гончарова, С.
Д. Денисова, В. А. Душского и Д. И. Свириденко. Подредакцией Ю. Л. Ершова и А. Д. Тайманова. М.: Мир, 1977. 614 с.[14] А. Г. Курош. Лекции по общей алгебре, 2-е изд. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1973. 399 с.[15] С. К. Клини. Введение в метаматематику, перевод с английского А. С. Есенина-Вольпина под редакцией В. А. Успенского.М.: Издательство иностранной литературы, 1957.
526 с.[16] С. К. Клини. Математическая логика, перевод с английскогоЮ. А. Гастева под редакцией Г. Е. Минца. М.: Мир, 1973. 480 с.[17] С. Клини, Р. Весли. Основания интуиционистской математики с точки зрения теории рекурсивных функций, перевод с английского Ф. А. Кабакова и Б. А. Кушнера. М.: Наука, главнаяредакция физико-математической литературы, 1978.
272 с. (Серия: Математическая логика и основания математики.)[18] Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест. Алгоритмы: построение ианализ, пер. с англ. К. Белова, Ю. Боравлёва, Д. Ботина, В. Горелика, Д. Дерягина, Ю. Калнишкана, А. Катановой, С. Львовского, А. Ромащенко, К.
Сонина, К. Трушкина, М. Ушакова, А. Шеня, В. Шувалова, М. Юдашкина под ред. А. Шеня, В. Ященко.М.: МЦНМО, 1999. 960 с.[19] И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Задачи по теории множеств,математической логике и теории алгоритмов, издание второе.М.: Наука, 1984. 224 с.[20] Р. Линдон. Заметки по логике, пер. с английского Ю. А. Гастевапод редакцией И. М. Яглома. М.: Мир, 1968. 128 с.[21] Ю.
И. Манин. Доказуемое и недоказуемое. М.: Советское радио,1979. 168 с.226Литература[22] А. Робинсон. Введение в теорию моделей и метаматематикуалгебры, пер. с англ. А. Б. Волынского под редакцией А. Д. Тайманова. М.: Наука, главная редакция физико-математическойлитературы, 1967. 376 с. (Серия: Математическая логика и основания математики.)[23] Рэймонд М. Смаллиан. Как же называется эта книга?, пер. сангл. Ю. А. Данилова. М.: Мир, 1981. 240 с.[24] Р. Смальян. Теория формальных систем, перевод с английскогоН. К. Косовского под редакцией Н. А. Шанина. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1981.
207 с.(Серия: Математическая логика и основания математики.)[25] Справочная книга по математической логике в четырёх частях под ред. Дж. Барвайса. Часть II. Теория множеств, пер.с англ. В. Г. Кановея под редакцией В. Н. Гришина. М.: Наука,1982. 376 с.[26] Справочная книга по математической логике в четырёх частях под ред. Дж. Барвайса. Часть III. Теория рекурсии, пер. санглийского С.
Г. Дворникова, И. А. Лаврова. Под ред. Ю. Л. Ершова. М.: Наука, 1982. 360 с.[27] В. А. Успенский. Что такое нестандартный анализ? М.: Наука, главн. ред. физико-математической литературы, 1987. 128 с.[28] В. А. Успенский. Нестандартный, или неархимедов, анализ.М.: Знание, 1983. 61 с. (Новое в жизни, науке, технике.
Математика, кибернетика, № 8.)[29] Х. Фрейденталь. Язык логики, перевод с английского Ю. А. Петрова под редакцией Ю. А. Гастева. М.: Наука, главная редакцияфизико-математической литературы, 1969. 136 с.[30] А. Чёрч. Введение в математическую логику. I, перевод с английского В. С. Чернявского под ред. В. А. Успенского. М.: Издательство иностранной литературы, 1960.
484 с.[31] Дж. Шенфилд. Математическая логика, перевод с английского И. А. Лаврова и И. А. Мальцева под редакцией Ю. Л. Ершова.М.: Наука, 1975. 528 с.Литература227[32] Э. Энгелер. Метаматематика элементарной математики, перевод с немецкого Г. Е. Минца под редакцией А. О. Слисенко.М: Мир, 1987. 128 с.[33] С. В. Яблонский. Введение в дискретную математику, изданиевторое. М.: Наука, 1986. 384 с.[34] H.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
