Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1074340), страница 37
Текст из файла (страница 37)
рис. У1.22), лежит деление пограничного слоя на три области, отличающиеся характером течения жидкости. В непосредственной близости от стенки существует область вязкого подслоя толщиной порядка 1 % от общей толщины слоя, в которой основную роль играют процессы молекулярного переноса. Вязкий подслой соединен с полностью развитой частью турбулентного пограничного слоя переходной областью течения, ( па~/ак)' — 1=0, (Ч1.205) 2 т = И,~ + Р де у интеграл которого (Ч1.198) (У1.199) Здесь ю = 0,4; п1 = 11,6.
(У1.207) (Ч1.202) ~~Р/й~ — т/т = 0 1 у = — !п0+ С, (Ч1,208) — для вязкого подслой к где С = щ — (1/ю) 1п гп. (Ч1.203) — для области 0 > пе. 316 где ламинарное напряженке трения соизмеримо с турбулентным. В полностью развнтой области турбулентного пограничного слоя турбулентное трение нмеет решающее значение.
Полное напряженке трения в турбулентном пограничном слое, согласно уравнению движения, может быть представлено в вкде й~е » =р — +тт бу Подставка в зто выражение значение тт, определяемое равенством (Ч1.162), получим В области вязкого подслоя (О < у < уе) т = ай»с/Иу. Представим соотношения (Ч1.198) и (Ч1.199) в безразмерной форме: ~Р = 1ие/»,; о = »,У/к (Ч1.200) ».= У" /Р (Ч1.201) так называемал динамическая скорость (" скорость трения").
Имея в виду соотношения (У1.200) и (Ч1.201), перепншем уравнения для касательных напряжений (при ~ф/Нх = 0): Е сли пркнять, что в вязком подслое т хе тес, то кз уравнения (Ч1.202) следует, что 1Р = 0. (У1.204) Рассмотрим теперь область полностью развнтого турбулентного слоя, где тт > гд (здесь тд — напряженке трения в ла мкнарпом потоке). Следуя Прандтлю, сделаем предположение, что полное касательное напряжение поперек пограннчного слоя постоянно н равно трению на стенке; тогда уравненпе (У1.203) примет внд Ф = ~Р1 + — 1п —. 0 (У1.206) Ж Щ Здесь к далее индексом "1" будем обозначать велкчпны, относящиеся к внешней границе переходной области.
Лля упрощенпя расчетов* примем двухслойную схему пограничного слоя. В этом случае ламкнарный профиль можно распространять до внешней граннцы переходного слоя, тогда ~Р1 = п1. На рнс. Ч1.25 показан закон распределенпя скоростей прп турбулентном теченкн жидкости в пограннчном слое на плоской пластине. Экспериментальные данные, представленные на ркс. Ч1,25, позволили определить значения ю и ев: Уравнение (У1.206) удобно запнсать в впде е В аереходаой обдеста пе < и < ед таама могут бать аоагчеам греааеаае дде арофада схоростей, одаьхо оаа амевт весьма сдомамй а аеудобамй дха дьеьаейюах мьтемьтаеесаах оаерьдай вад.
у(77) А х7 (Ч1 211) 316 Рис. Ч1.26. Увиверсалъвый логарифмический заков распрела" левик скоростей в турбулевтвом погравичвом слое ва плоской пластине: 1 — т = ж Я - м = 2,61ае+ 6,6; 8, 4 — р = А" крк а, разков 7 в 10 соотзехстзекко; точки - окмткые яаккые МГТУ км. Н.Э. Баумака Подставляя значения ж и 177 в уравнение (И.208), окончательно получаем у = 2, 5 1п 71+ 5, 5. (И.209) Этому закону можно придать и другой вид, если расширить действие формулы (Ч1.209) вплоть до внешней границы пограничного слоя. Тогда при у = 5, хиз = хлоо уравнение (Ч1.209) примет вид хлоо/те = 2, 5 1и 5 + 2, 5 1п(ее/и) + 5, 5. Вычитал почленно из полученного соотношения выражение (Ч1.209), получаем так называемый закон дефекта скорости (хеоо — хек)/ее = -2,5 1п(р/б).
(Ч1.210) Этот закон справедлив при течении жидкости в закрытых каналах и выполняется приближенно в пограничном слое, так как логарифмический закон изменения скорости существует почти до оси при турбулентном течении в закрытых каналах н нарушается во внешней области пограничного слоя (рис. И.25). Интересно отметить, что закон дефекта скорости в виде (Ч1.210), как следует из рис.
Ч1.20, справедлив как для гладкой, так и для шерохова той поверхности (г/кз > О). Универсальный закон распределения скоростей (И.209) удобно аппроксимировать степенной зависимостью Ю При этом, как показано на р рис. Ч1.25, логарифмическая кривая является огибающей се- ЯЕ ДГ Яя у/и мейства степенных кривых. Лля многих расчетов аппрокси- Рис. Ч1.26. 'Уввверсакьвый ломания профилей скорости сте- гариФмвческвй зеков Расврелепенной зависимостью весьма ~~оввз скоростей (и' ме)/е удобна.
Коэффициенты А и в 1 — гкелкаа схемка; Й вЂ” х/йз = 126; могут быть определены нз ло- з „/ь 607 гарнфмического закона изменения скорости. Аналогичным образом можно представить распределение температур н конпентраций в сечении турбулентного пограничного слоя в полулогарифмических координатах. Масштабы тепловых координат стенки можно получить из анализа поведения профиля температуры в тепловом подслое, где теплоперенос осуществляется только механизмом теплопровод- ности откуда — = Рг— баТсг 3$ и (И.217) или (Ч1.212) ут = Ргпт, Здесь йо~ ЫТ ет = ест = р су11т — —, бу 19' (Ч1.214) lб 1 9~т - -— 1п71+ СТ.
еег (И.216) азя ПРинимал 9 = 4~т в сечении теплового подслоЯ и вводи число 8$, получаем 8з рос с7ре~ ЬТет = Л ЙП'/е(у, где /зТет = Т, — Тоо, бзТ = Т, — Т. После интегрирования в пределах теплового подслоя зто выражение принимает вид /ЛТ ~~Су(2 у ееоо ~~Су/2 Ут= ~ те=71= /ЛТ Ы ' и (Ч1.218) Пля турбулентною ядра пограничного слоя, пренебрегая молекулярным теплопереносом и предполагая, что тепловой поток постоянен и равен тепловому потоку на стенке, в соответствии с формулами (И.197) можно записать где в общем случае 1 = азу, 1т —— азг у. Из гипотезы Прандтля (И.192) в предположении г = тот следует бмх/<Ь = еа/1.
(И.215) Имея в виду соотношения (Ч1.213) и (Ч1.215), запишем уравнение Ч1.214 в виде ( ) 1 Ып йрт =— азг откуда после интегрирования можно получить логарифмический закон профиля температуры в турбулентном пограничном слое Константу азг, входящую в уравнение (И,216), можно выра- зить через постоянную ш и число Ргт. Пействительно, согласно гяпотезе Прандтля, е5 1= à —, а Г= — ~ — —, йе /йу' .ЯКеГТ/йу' ж баб ИТ/Иу = — а — =Рг.
1т шт е 5 нюх/ебу Таким образом, с учетом соотношений (И.217) уравнение (Ч1.216) принимает вид Ргт ут = — 1пб+ СТ. (У1.218) На рнс. И.27 показан профиль температуры в полулогарифмических координатах ут — туг в сечении турбулентного пограничного слоя воздуха, развивающегося на пластине в условиях безграднентного обтекания.
Рвс. Ч1.27. Увиаерсальвый логарифмический заков распределении температуры а турбулеитвом пограмвчвом свое возяука: 1 — ет = 0 72ж Я" ет ю Б Зб!ока+ 2 В; точки — оимтиме даииме МГТУ им. Я.З. Баумаиа (У1.219) <рт = 0,72вй (Ч1.220) ут = 5,35 1ой и+ 2,8, (Ч1.221) Ц~,Р = АД!пб+С11, (Ч1.223) (Ч1.222) Рт = 5,91ой~ф+ 3,2, ЗЗО Так же как и для профиля скорости (см. рис.
Ч1.28), на нем можно выделить характерные области изменения температуры. В непосредственной близости от стенки существует область теплового подслоя (17г < 5), где распределение температуры подчиняется линейному закону затем следует переходнвл область (5 < пт < 40), плавно перехо- дящая в логарифмическую область изменения температуры и, наконец, сравнительно небольшвл внешняя область. Уравнение (Ч1.218) показывает, что при вв = савва логарифмический профиль температуры может существовать лишь при условии постоянства числа Ргт полностью турбулентной части пограничного слоя. Принимая ю = 0,4, из уравнений (У1.218) н (Ч1.220) получаем Ргт ° 0,9, что, как было отмечено ранее, подтверждается и прямыми измерениями.
Лля диффузионного пограничного слоя также имеет место логарифмический закон изменения концентраций: ЬС ~/Су/2 увод~/Су/2 ЬС 51 При описании профиля температуры в логарифмических координатах иногда предпочтительнее использовать следующие масштаб ЬТ, УИЪ~> 1/Й ьт„Я~ ' В этом случае профиль температуры в логарифмической области хорошо описывается законом справедливым также и для градиентных пристенных турбулент- ных течений (см.
рис. Ч1.27). П.Я.7. Законы упрекая, омкло- и массообмена Этн законы не могут быть получены аналитическим путем решения дифференциальных уравнений осредненного движения турбулентного пограничного слоя, так как система уравнений, составленнвл для этого случал, является незамкнутой. Законы трения, тепло- и массообмеиа турбулентного пограничного слоя выводят либо на основании обработки экспериментальных данных, либо с привлечением полуэмпирических теорий турбулентности. В.М.
Иевлевым показано, что законы трения и теплообмена для турбулентного пограничного слоя консервативны к изменению граничных условий на внешней границе пограничного слоя и на стенке, поэтому представляется возможным законы трения и теплообмена, полученные при Тс = сопв1 и юо, = сопв1, распространить на более сложные граничные условия. Возможное разнообразие граничных условий, как будет показано ниже, достаточно удовлетворительно учитывается при интегрировании уравнений импульсов и энергии.
Из логарифмического профиля скорости можно получить закон трения, принимая, что при у = б юв = все. Тогда из уравнения (У1.209) имеем 1/,,/С//2 = 5,5+ 2,51п Кев~Су/2, где Кев = вос,б/и, С//2 = гс,/(ра1~ ). В выражении (Ч1.223) коэффипиент трения Су можно представить в зависимости от построенного по толщине потери импульса числа Рейнольдса Ке . По определеняю, б" — = 2,5~/Су/2 — 6,25су. б ' У С/ = 2/(2,51п Ке + 3,8)~. (У1.225) 1 Г 1~/ = — у С/оя.
-б,/ о (Ч1.226) Следовательно, С/ =0,072Ке~ ' . (Ч1.231) (Ч1.227) Следовательно, Бс = В/2 (я '*) . (Ч1.233) Подставляя в зто соотношение выражение (Ч1.210) для закона дефекта скоростей, получаем Наконец, заменяя б на ба' в уравнении (Ч1.223), окончательно находим запои сопротивления ~/2/Су: 5,5+ 2,51п (Ке /(2,5 — 12,5У/Су/2 )1. (Ч1.224) Уравнение (У1.224) с достаточной точностью аппроксимируется формулой Кармана Выражение (Ч1.225) удобно представить в виде степенной зави- с/ = в/(я *'), где коэффициенты В и оз зависят от диапазона изменения Ке Тах, прн Ке < 104 В = О, 0252, а оз = 0,25.
Подставляя уравнение (Ч1.226) в интегральное уравнение импульсов для пластины, получаем Же /ояеа = В/(Ке ) Рассматривая турбулентный слой, нарастающий с передней аа промни пластины (при х = О, Яе = 0), имеем Яе = ((из+ 1) Вязам/(о'+~). (Ч1.228) су = в, я .-'", (У1.229) ~ /( +') где В1 ж В /( + ) — ~, го1 = вз/(из+ 1). Значе~из+ 1/ ния коэффициентов в формулах (Ч1.226) п (Ч1.229) приведены в табл. У1,8. таяаача 71.д З3Вачоииа иозффишмит4ю В формулах степенного расорояолааиа сяоростой В области значений 5 10з < Кеа < 107 В = О, 0252> гв = 0,25; го1 = 0,2 и С/ = 0,0576Я.еа ' . (Ч1.230) Зля средних значений коэффициентов трения имеем На рис.
Ч1.28 опытные данные сопоставлены со значениями, рассчитанными по формуле (У1.230). Аналогичным образом можно получить заяоны тепло- и массообмена в турбулентном пограничном слое. Лля случая Рг = 1 п Бс = 1 из уравнения (У1.227), принимал у = бт и р = бо, получаем ~/1/Бс = 5,5+ 2,51п (Кег/(2,5 — 12,5ЛФ )1; (У1,232) ~/1/БСр = 5,5+ 2,5 )п 1Ке О/(2,5 — 12,5~/Б$д )) нли, по аналогии с формулой (Ч1.231), Бс 0 0288К -е,2 Рг-в,в( Бср = 0,0228 На~ 0™ Бс-в в. (Ч1.240) (Ч1.241) гс вс".а* 81 = в12 [(и **) Ргв 73~; Бсю = В/2 [(К ) Бсо'Т$1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
