Исаченко В.П. - Теплопередача (1074332), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Подобные процесса должны быль качестэенно одглналоаызли, т. е. они должны иметь одинакооую физическую природу и описыаатьс» одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями. 2. Услоеип однозначности подобных процессов должны бмть одинакоеььки зо всем, кроме числоеык значений размерных постоянных. содепзкащикся е этих условиях.
3. Одноименные определлющие безразл~ерные переменные подобных процессов должньл иметь одинаковое числовое значение. Сформулированные условия являются определением подобии физических процессов. Первое условие говорит, что подобные процессы должны относиться к одному н тому же классу физических авлекий. Помимо одинаковой физической природы подобные процессы должны характеризоваться ошюаковыми но запива дифференциальными уравнениями. Во мпагик задачах конвектнвного теплообмена прн вынужденном движении манена пренебречь силами тяжести. Очевндна, равенство гпл тяжести нулю меняет механизм и математическую запись рассматрпнасмого процесса.
При рассмотреняи саобадаога движения в большом объеме можно пренебречь градиентом давления в жидкости Исключение градиента давления нз >равнения движения приводит к иной записи уравнения, меняется класс рассматриваемого явления. Таким образом, подобные процессы должны быть процессами канвектнвного теплаобмена, характеризующимися одинаковой природой, овднаковыми действующими силами. Отдельные разновидностн процессов конвективного теплообмена мог>п описываться различными лнфференцнальными уравнениями (хатл бы они н были частными случаямп более общих уравнений), н в агом случае онн будут принадлежать к различным классзм яялений.
Изменение исхоцныт дифференциальньж уравнений в общем случае приводит к изменению системы безразмерных переменных, существенных для изучаемого процесса. Второе условие подобия требует, чтобы уславнп аднознзчносля подобных процессов били одинаковыми во ясем, кроме числовых значений постоянных, содержащихся в этих условиях'. Таким образом, запись размерных условий одкозначиости полобных процессов в общем виде (буквенном) должна быть идеатична. При этом конкретные значения скорости набегающего патока юь температура ' В чьстяаи случае рзььнстю чесзьзмл зеьченвй рьлиьрзих еьс окне х, сьтьр«ашкксч з ускаьелх однозначности, витья тамдчсппвяие прааьсси (ььчв ьиьазьчктсч ьрьчве тглаввя псхаавя). стенки (с и т.
д. могут иметь раэличвые чнсловые значения. Из сравнения граничных условий (а) и (г) (см. 6 6-2) видно, по несмотрв на различные значения юа, (э, (э и др., безразмерные граничные условия булут одинаковыми для всех этих процессов. Из первого и второго условий подобия следует, что подобные процессы должны описываться одинаковыми (тождественными) безразмерными днфференциальпыми уравнениями и безразмерными граничными условиями. В безразмерной форме математическая формулировка рассматриваемых подобных процессов одна и та же. Следовательно, рассматриваемые полобпые ородессы описываются единой формулой, например Р)п=Ь(Х., Ее, Рг) или Э=(з(М, У, Де, Рг) и т. дд функция (г будет одна и та же лля всех подобных процессов.
То же самое можне сказать и о функции (х н т. д. Если система безразмерных уравнений н граничных условий достаточно сложна, то при нахождения функций )г и (а могут встретиться значительные математические трулнасти. Однако можно утверждать', что эти функции существуют. При соблюдении первых двух условий цодобпя исследуемые процессы будут зависеть ат олних и тех же безразмерных переменных. Этот вывод неизбежно вытекает пз того, что подобные процессы онисываются тождественными безразмернымн уравнениями и граничными условиями. Первых двух условий недостаточно для установления фпзического подобия.
Нужно добавить условие, что одноименные определяющие без. размерные перемеаные подобных цроцессоп должны иметь одинаковое числовое эначениеэ, т. е. Х= — Ыеп, У=-Ые~п, 1(е=Ыегп„рг=Ыегп, Ог=(бепг и т. п. Так ках подобные процессы характеризуются одинаковыми функциями )ь )а п т. д. н численно равными определяющими переменнымп, то определяемые одноименные переменные подобных процессов также будут иметь одинаковые значения, т. е.
Нп=Ыегп, Э=Ыеш, Яг„=Ыещ, йгз — — Ыегл п т. д. Предположим, что рассматриваетсп система размерных дпффгренцвальных уравненвй совместно с размерными граничными )словиями. Реше~ие уравнений дало бы определенную формулу. Для примера можно взять решения задач теплопроводности, рассмотренные ранее. Подсгановка конкретных числовых значений аргументов Х, 6 и Л( и формулу г)= (Д/6)Л( дала бы определенное числовое значение зависимой переменной д. Очевидно, при одних и тех же значениях ), 6 и Л( все процессы теплопроводности, оцясываемые этой формулой, будут тожлественны— это будет один и тот же процесс. Иное дело, когда формула представлена в безразмерных переменных. Неиаменность каждой в отдельности из определягощих величин Х, У, Ре, Рг и Ог, например, в уравненнн 8=((Х, У, Ре, Рг, Ог) ггаег одно н то же значение безразмерной температуры О= (1 — (а)/(1 — (о), олнако ' Предполагается, что задача орормулкровааз точно. ' Ыет — тот же саина.
159 размерные значения температур жидкости и стенки могуч быть различны. Одинаковым значениям будет соответствовать множество различных по своим размерным температурным параметрам физических процессов. Только в частном случае может иметь место тождество процессов. Трв условия подобия составляют содержание теоремы Кирничева— Гухмана ((ВЗ! г.).
Как следует из изложенного, помимо выполпеяия первых двух условий подобия для подобия нужно еще, чтобы одноименные определяюгцие безразмерные переменные были численно равны. При этом для подобия процессов в целом достаточно, чтобы были численно равны одноименные определяющие переменные, составленные из постоянных величин, заданных в условиях однозначности. Например, подобие двух процессов теплообмена при течении жидкости в трубах буде~ нметь место, если будут выполневы первые два условна подобия и будут численно равны одноименные определяющие переменные, составленные только из заданных параметров математического описания процесса (постоянных).
Процессы в целом будут подобны. В то же время локальные (точечные) значения искомых переменных необхолимо рассматривать в точках, характеризующихся равенством одноименных бсзраэмерныл координат'. Таким образом, критериями подобия па существу являются опрелеляющие безразмерные переьтенные, составленные из постоянных велнчик не явлпютцнхся функцией независимых переьтенных). Кан следует нэ изложенного в этой главе, теорию подобия можно рассматривать как учение а характерных для кажлого процесса обобщенных безразмерных переменных.
Замена размерных переменных обобшеннымв является основной чертой теории подобия. Мы рассмотрели условия подобия фиаических процессов на примере конвективного теплообмеиа несжимаемой жидкости в приближениз пограничного слоя. Очевидно, условия подобия справедливы не только для рассмотренного частного процесса, но н для лругнх процессов. Безразмерные переменные можно получить для любого физического явления.
Для этого необходимо нметт полное математическое описание рассматриваемого процесса. Знание математического описания является необходнмой предпосылкой теории подобия. Сформулированные ранее условия подобии можно использоватьдля установления а н а л о гн и двух физических разнородных процессов. Для этого в первом условии подобия необхолимо потребовать только формальной тождественности дифференциальных уравнений.
Таким образом, понятие подобия можно распространить на физически неоднородные (аналогнчные) процессы. нж следствия мэ условии подовмя Пусть имеются два полобнык процесса конвективиого теплообмена, например, при течении жидкости в каналах произвольного поперечного сечения. Обозначим один процесс буквой Л, друюй — буквой Б.
Масштабамн линейных размеров выберем накой-либо размер каналов, например, их высоты йь и й . Тогда НА РА А ХА=А- - УА=А— ХА=~ А А А ' В сауны нестецаонсрннх нроцессое должно иметь место н рееенсню Сезрезмернм» времен, кннремср рьнежтю чныл Фурье (60 Будем рассматривать процессы А и Б в точках, харантеризующихся равенствами; ХА — Хя, у„= ув и ЛА = яв. (БАЬ 1 Точни, уловлетворянвцие втнм равенствам, называются сходст- в с н н ы и и. Для гходственных точен справедливы следуЮщие соотношения: ЬА АА ЬА х = Ав — = явсь У = У вЂ” Уись аА — зи — аз си Ьв А В Ьв Ьв здесь с,=йь/йя.
Если равенства (5-25) вып. знаются для двух подобных процессов, то, очевидно, для сходственных ~очек должны выполнитъся и раненства йт А =йт ь яля ш А(шьа=ш вйи. где гсьь и 'ш, — аначеиия скорости, заданные условиями однозначности; это может быть, например, скорость иа входе соответственно в «анапы А н Б. Из последнего равенства следует, чта Ята ЕЗА — = — - — с = сопя(, ми ию т. е. в любых сходственных точках подобных процессов отношение сио- ростей есп величина постоянная. Аналогично можно написать: АА ЬА 'сх Вч — — — =с.= —,=сопя(, — =с —.— сана( и т.
д. =с, ' Ьв ь' Таким образом, если процессы А и Ь' подобны, то любам физическая величина р е данной точке процесса А пропорционально соотеет. стеующей величине и сходственной точке процесса Б, и е. ТА=с ум (5-хб) Коэффициенты проиорциояальности с называют константами подобия. Они безразмерны; в общем случае не равны единице, не зависят ни от координат, ни от време~ш п различны для всЕх величин, имеющих разкичньш фивическнй смысл.
Если цсе константы подобия равны единице, то процессы являются тождественными. Предположим, что подобным процессам А и Б подобен также про. веса В. Тогла можно записать." Та=с' рш причем с, и с' в общем случае ие раины. Таким обрааом, подобные процессы можно рассматривать как один а тот же процесс, но взятый в различном масштабе, причем масштабы разноименных еаеичик зюеут бьаь неодинаковыми. Выбор «онстант подобия ис может быть произведен произвольно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
