Bessonov2 (1063916), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Автомодуляция представляет собой процесс периодического или почти периодического изменения амплитуд токов и напряжений в нелинейных электрических цепях без воздействия на них внешнего модулирующего фактора, т. е. без воздействия на них низкочастотного сигнала (см. $ 15.?0). б. Хаотические колебания, перемежающиеся резонансы и другие типы движений. Перечисленные физические явления имеют место в резонансных цепях только в определенных для каждой цепи диапазонах параметров, которые, как правило, оказываются такими, что практически эти явления наблюдаются сравнительно редко.
Кроме того, исследование условий возникновения этих явлений часто связано с громоздкими математическими выкладками. В настоящей книге они рассмотрены в $ 15,58, 15.б0,! 5.69, 15.?0. Подробно можно ознакомиться с этими явлениями также по 120~ и [2Ц ф 15.11. Разделение нелинейных элементов по степени симметрии характеристик относительно осей координат.
Кроме деления на резистнвные, индуктивные и емкостные, управляемые и неуправляемые (а резнстивных — еще на безынерционные и инерционные) нелинейные элементы можно классифицировать еще по одному признаку — по степени симметрии характеристик для мгновенных значений относительно осей координат. Пусть х и у — величины, характеризующие режим работы нелинейного элемента.
Условимся х обозначать величину, откладываемую по оси ординат декартовой системы, а у — величину, откладываемую по осн абсцисс. Характеристики, для которых выполняется условие — у( — х) = у(х), называют симметричными; характеристики, не удовлетворяющие этому условию, — несимметричными. 1 ! $15.12. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов. Для проведения математического анализа нелинейных цепей переменного тока и изучения их общих свойств целесообразно выразить аналитически зависимость между мгновенными значениями и и ~ для нелинейного резистора, зависимость между В и И для нелинейной индуктивной катушки, зависимость о и и для нелинейного конденсатора.
Приближенное аналитическое описание характеристик нелинейных элементов называют аппроксимацией характеристик. ф 15.13. Аппроксимация симметричных характеристик для мгновенных значений гиперболическим синусом. При исследовании свойств электрических цепей явлением гистерезиса, как правило, можно пренебречь. Лишь при исследовании цепей, в основе действия которых лежит это явление (например, работы запоминающих магнитных устройств с прямоугольной петлей гистерезиса), гистерезис необходимо учитывать. На рис. 15.11, а изображена типичная симметричная характеристика у = 7'(х).
Для нелинейной индуктивности роль х играет мгновенное значение индукции В; роль у — мгновенное значение напряженности поля Н. Для нелинейного конденсатора у — это напряжение и, х— заряд о. Для нелинейных резисторов (например, тиритовых сопротивлений) роль х играет напряжение, у — ток.
Существует большое число различных аналитических выражений, в той или иной мере пригодных для аналитического описания характеристик нелинейных элементов 120$ При выборе наиболее подходящего аналитического выражения для функции у = Дх) исходят не только из того, что кривая, описываемая аналитическим выражением, должна достаточно близко всеми своими точками расположиться к опытным путем полученной кривой в предполагаемом диапазоне перемещений рабочей точки на ней, но учитывают и те возможности, которые выбранное аналитическое выражение дает при анализе свойств электрических цепей. В дальнейшем для Симметричными характеристиками обладают нелинейные индуктивности и емкости, а из резистивных — тиритовые сопротивления, электрическая дуга с однородными электродами и некоторые другие. Однако основные типы нелинейных резистивных элементов— электронная лампа, транзистор и тиристор — имеют несимметричные характеристики.
В ближайших 13 параграфах рассматриваются основные особенности работы нелинейных элементов с симметричными характеристиками и. Основные особенности работы нелинейных элементов с несимметричными характеристиками — электронной лампы и транзистора — излагаются в $ 15.27 — 15.43. 1О 1ООО ОООО КА/м ф а) Рис. 15.11 аналитического описания симметричных характеристик по типу рис. 15.11, а будем пользоваться гиперболическим синусом: ф = азЬрх. (15.1) Отношение у,/у, = 511рх /зарх,. (15.2) Трансцендентное уравнение (15.2) служит для определения коэффициента р.
Следовательно, У2/8110х2 (15.3) Пример 147. Кривая намагничивания трансформаторной стали 941 изображена на рис. 15.11, б. Найти коэффициенты а и 11. Р е ш е н не. Выбираем две точки на кривой: И1 — — 200 А/м; В, = 1,1 Тл; Н~ = 2400 А/и; В~ — — 1,532 Тл.
По уравнению (15.2) имеем зп(1,532р)/зп(1,1р) = 12. Задаемся произвольными значениями 8 и производим подсчеты: 6 5,22 4,57 3,92 3„26 9,2 8 7 6 5 6,6 5,74 5,03 4,32 3,59 13,5 9,58 7,25 6,24 4„1 11Вз ~В~ зпрВ2/зпрВ~ 461 В этом выражении а и Р— числовые коэффициенты; а выражается в тех единицах, что и у; Р— в единицах, обратных единицам х, так что произведение рх есть величина безразмерная.
Для определения неизвестных коэффициентов а и Р следует на полученной опытным путем зависимости у =/(х) в предполагаемом рабочем диапазоне произвольно выбрать две наиболее характерные точки, через которые должна пройти аналитическая кривая, подставить координаты этих точек в уравнение (15.1) и затем решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть координаты этих точек у,, х, и и,, хз(рис. 15.11, а). Тогда у~ = пз11рх~,' у~ = и БЬ~хз. По результатам подсчетов строим кривую айрВ~/ай~В ! = 1(р) и по ней находим р = 5,75 Тл ~. Далее определяем а = Н~/а)фВ2 —— 2400/ап8,82 = 1200/1690 = 0,71.
Пунктирная кривая на рис. 15.11,6 построена поуравнению Н = 0,71ап(5,75В). $!5.!4. Понятие о функциях Бесселя. При анализе нелинейных цепей широко используют функции Бесселя, которые являются решением уравнения Бесселя ! бд р' — + — — + 1 —— дх2 х дх рР (15 4) Функции Бесселя выражают степенными рядами и для них составлены таблицы. Функцию Бесселя от аргумента х обозначают Х (х), где р — порядок функции Бесселя Общее выражение для У (х) в виде степенного ряда можно записать так: (х/2г (х/ч~ + г (х/2г + /х/2~ ~ ~ О!р! 1!(р + 1)! 2!(р + 2)! 3!(р + 3)! (15.5) Т а б л и ц а 15.1 — Р!Ох) /7з(/х) 14(/х) Уо(/х) — 12(/х) 11 12 Для гл.
15 наибольший интерес представляют функции Бесселя от чисто мнимого аргумента (табл. 15.1). Для нх получения в общее выражение (15.5) вместо х следует подставить /х, где / = 1/ — 1. Обратим внимание на то, что в табл. 15.! дань' функция — !1!(ух) вместо 71(/х) и функция //з(/х) вместо Хз(/х). Сделано это потому О,О 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6 6,0 7 8 9 1О 1,0 1,04 1,16 1,39 1,75 2,28 3,05 4,16 5,75 8,03 11,30 !6,01 22,79 32,58 46,73 67,23 168,6 427,56 1093,59 28! 5,7 7288 18948 О,ОО 0,20 0,43 0,72 1,08 1,59 2,30 3,30 4,73 6,79 9,76 14,04 20,25 29,25 42,32 61,34 156 399,87 1030,91 2671 6948,9 18!42 О,ОО 0,02 0,08 0,20 0,39 0,69 1,!3 1,80 2,79 4,25 6,42 9,63 14,35 21,33 31,62 46,78 124 327,6 864,50 2281 6025 15924 0,00 0,131 ° 10 0,01 0,04 0,1 0„21 0,4! 0,73 1,25 2,07 3,34 5,29 8,29 12,84 19,74 30,15 85,17 236,07 646,69 1758 4758 12834 0,00 0,671 ° 10 0,11 10 0,58 10 0,019 0,051 0,114 0,234 0,446 0,81 1,416 2,405 3,992 6,51 10,468 16,63 51,0 150,5 433,3 1226 3430 9507 Рис.
15.12 что без дополнительного множителя ! или — 1 эти функции, как правило, не используют. При х = 0 не равна нулю только функция Бесселя нулевого порядка: Iо(0) = 1. По данным табл. 15.1 на рис. 15.12 построены кривые функции Бесселя. Из таблицы и рис. 15.12 видно, что с ростом х значения функций увеличиваются.
Чем выше порядок функции Бесселя, тем меньше ее значение при одном и том же х. й 15.1$. Разложение гиперболических синуса и косинуса от периодического аргумента в ряды Фурье. Если аргумент х изменяется по периодическому закону, например по закону синуса х = х з1пы1, где х — амплитуда колебаний, то по периодическому закону изменяются и функции зЬ(х з!пь|) и сЬ(х з1пь|).
Так как периодические функции можно представить рядами Фурье, то разложим в ряд Фурье эти функции. С этой целью в (15.5) вместо х подставим х з!пы!. Учтем известные из тригонометрии формулы сгруппируем все слагаемые с з1пь|, соз2ь|, з1пЗы! и т. д., а также отдельно выделим постоянную составляюшую. В результате оказывается, что коэффициентами при тригонометрических функциях являются ряды, которыми изображают функции Бесселя различных порядков от чисто мнимого аргумента ух,~, Окончательно получим зЬ(х„,з!пь|)=2[ — уУ!(!х,„))з!пь| — 2/1з(7х )з!пЗв! — 2!Щх )з!п5М вЂ”..., (15.9) с5(х з!пьК) =Ц!х )+2Щх )соз2Ы+ 214(ух )соз4Ы+,... (15.10) Ряддля зЬ(х з!пЫ) состоит только из нечетных гармоник и не имеет постоянной составляюшей.
Ряд для сЬ(х з1п4о!) имеет постоянную составляющую и четные гармоники. Пример 148. Разложить в ряд Фурье зЬ(4з!пам) и сй(4з!пь|). Р е ш е и и е. Значения функций Бесселя берем из таблицы: — !.1,(!4) = 9,75; !.!з(!4) = 3,34; /4(,!4) = 1,4! б; з!п а = 0,5 — 0,5соз2а; 2 з1п~а = — 0,25з!пЗа + 0,75з!па; з1п~а = 0,375 — 0,5соз2а + 0,125соз4а, — !Уз(!4) = 0,505; Уа(!4) = 11.3; 72(!4) = — 6,42. (15.6) (15.7) (15.8) В соответствии с (15.9) и(15.10) получим зй(4з1пь|) = 2 9,76з1пь| — 2. 3,34з1пЗЫ + 2.0,505з1п5в1 — ...; сЬ(4з1пгн|) = 11,3 — 2 6,42соз2ы1 + 2. 1,416соз4ы1+ ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
