Bessonov2 (1063916), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Первая гармоника функции у у~ — — 2ас1фхо [ — 17~(фх,„)) з1 пю|; (15.13) вторая гармоника (15.14) у2 — — 2аз)фхо72 (!рхе) созйн1; третья гармоника (15.15) уз — — 2ас)фхо [ — 17з (1ха)1 япЗь| и т. д. Пример 149. Разложить н ряд Фурье функцию у/а = зп(2 + 4з1пЫ). Р е ш е н и е. По табл.
8.1 находим зЬ2 = 3,63; с82 = 3,7. Значения функций Бесселя берем из табл. 15.1. В соответствии с (15.11) у/а = зЬ(2 + 4з1пЫ) = 3,63(11,3 — 12,844соз2а1 + 2,832соз4Ы вЂ” ...) + + 3,76(19,52з1поз1 — 6,674з1пЗь| + 1,01з1п5о>1 — ...). Таким образом, уо/а = 41,1; уьч/а = 73,4; уэ.,„/а = 46,7. ф 15.17. Некоторые общие свойства симметричных нелинейных элементов.
1. Если нелинейный элемент с симметричной характеристикой работает н условиях, когда одна из определяющих его состояние величин, например величина х, изменяется во времени по закону х = хо + х чэ1пЫ, то в отношении другой определяющей его состояние величины (велнчины у) можно сделать следующие выводы: 1) постоянная составляющая функции уо зависит не только от х„пои от х, что след ет из(15.12); ) н кривой у =7(гн|) появляются четные гармоники, которые исчезают при хо —— О.
Фаза четных гармоник зависит от знака постоянной составляющей (от знака хо)' 3) путем изменения хо или уо можно изменять амплитуды первой и высших гармоник функций. Первое нз этих свойств поясним графически. Пусть нелинейный элемент рабо тает при отсутствии синусоидальной составляющей (х = О). Тогда изображением ф 15.16. Разложение гиперболического синуса от постоянной и синусоидально меняющейся составляющих в ряд Фурье.
Из ф 15.13 известно, что мгноненное значение функции у связано с мгновенным значением х формулой (15.1). В этой формуле аргументом гиперболического синуса является не х, как было в $15.14, а произведение рх. В соответствии с этим для разложения зп(рх з1пь|) и сЬ(рх з1пЫ) н (15.9) и (15.10) следует заменить х на (1х . Если х = хо + х„р1пв1, где хо — постоянная составляющая, х,„— амплитуда синусоидальной составляющей, то у = азп(рхо+ рх з1пь|) = =аз)фхосй®х„,з1пЫ) + ас1фхозЬ®х„,з1пЫ).
Следовательно, у = аз)фхо~[Цфх и+ 27~(фх ) соз2Ы+ 27 (фх ) соз4Ы+ ...~+ + 2ас)фхтр — 17, (фх,„)1 з1пго| — 17з (фх,„) з1пЗв1 — ...~. (15.11) Из (15.11) следует, что постоянная составляющая функции у уо — — аз)фхо7о (1Рх ). Рис. 15Л3 этого процесса на характеристике нелинейного элемента будет точка а (рис. 15.13, а).
Для нее х= х =Ага'и а. (15.16) уо~а рхо= Аглая (. ), (15.17) где хо определяется ординатой точки Ь, расположенной ниже точки а (рис. 15.13, б). Первое и третье нз этих свойств широко используют в теории управляемых нелинейных элементов, второе свойство — в теории умножителей частоты. Пример 150. Нелинейный элемент с характеристикой у = азг1рх сначала работал прн уо/а = 41,1 и отсутствии переменной составляющей ([1х,„= О). Затем режим работы его изменился: постоянная составляющая у /а осталась прежней, но появилась переменная составлявшая [1х, амплитуда которой [1х = 4.
Найти постоянные составляющие рхо в этих двух режимах. Р е ш е н и е. В первом режиме [1х~ — — Аг зЬ 41,1 = 4,41. Во втором режиме [!хо — — Аг зЬ( 41,1/Уо(14)) = Аг з53,63 = 2. Таким образом, при переходе от первого режима ко второму постоянная составляющая рхо изменилась с 4,41 до 2, т. е. более чем в два раза. 11. В энергетическом отношении общие свойства нелинейной цепи, содержащей одну нелинейную катушку (конденсатор) с безгистерезисной симметричной характеристикой, в которой действуюг генераторы синусоидальных колебаний с частотами ~! и )~ и возникают токи и напряжения частот ! „= т)! + п12(т н п — простые числа, принимающие положительные, отрицательные и нулевые значения), для периодических процессов описыраются теоремой Маяли и Роу.
Если через Ф'~, = О „! „+ У „1~, обозначить среднюю за период мощность, поступающую в нелинейную индуктивную катушку (конденсатор) на частоте )~ „= т)! + л~~ то теорема устанавливает связь между мощностями, поступающими в нелинейный элемент на различных частотах. Эту теорему записывают в виде двух соотношений (доказательство см., например, в [201): — О, ~х ' ~ — О. (15,18) 465 У Уо*Р Р о Ы Этот резульгат следует из (15.12), если учесть, что ЦО) = 1.
Если же нелинейный элемент работает при х ~ О, то, для того чтобы постоянную составляющую функции уо сохранить прежней, постоянная составляюшая хо Р должна быть снижена (или снизится сама) со значения хо до хо. Постоянная составляющая Э 15.18. Появление постоянной составляющей тока (напряжения, потока, заряда) на нелинейном элементе с симметричной характеристикой. Если к нелинейном« резистору с симметричной ВАХ, например 1 = аиз, подвести напряжение в виде двух компонент и = У з1пЫ + У~з1п(2Ы + «г), частоты которых относятся как 1:2 [в более общем случае как 2й/(2р + 1), где й и р — целые положительные числа], то в токе, проходящем через НР, несмотря на отсутствие выпрямителей, появится постоянная составляющая, равная — 0,75а!/ Уфп«р.
Ее значение зависит не только от ~ 2 У1 и У~, но и от угла «р. Сам факт возникновения постоянной составляющей в этих [ условиях называют селектиеным еыпрямлеиием. Селективно оно потому, что возникает не при любом соотношении частот двух напряжений, а при вполне определенном. Сходное явление имеет место в нелинейных индуктивных катушках и конденсаторах. Так, если на нелинейную индуктивную катушку с ВАХ 1 = аз1«[1Ф воздействовать потоками частот «в и 2в, то при отсутствии постоянной составляющей в МДС в потоке кроме указанных гармоник появится и постоянная составляющая. Лля ее определения положим Ф = Фо+ Ф1з1п(«««1+ «р) + Фзз!п2Ы, подставим в формулу для тока и, разложив ток в ряд Фурье, приравняем постоянную составляющую тока нулю.
В результате получим формулу для определения Ф,: 2 [ — 171(1Ь~)] [ — У2 (1Ь«)] 7о (1Ь1) «о (1Ьд) где Ьо = РФо; Ь! = [оп Ь2 = рФ2. Если через нелинейный конденсатор проходят первая и вторая гармоники тока, а угол «р Ф О, то на нем будет постоянная составляющая заряда при отсутствии постоянной составляющей напряжения. ф 15.19. Типы характеристик нелинейных элементов. При анализе и расчете электрических цепей с нелинейными элементами в зависимости от рассматриваемого вопроса используют различные типы характеристик одного и того же нелинейного элемента: а) характеристики для мгновенных значений; б) ВАХ по первым гармоникам тока и напряжения; в) ВАХ для действующих значений.
ф 15.20. Характеристики для мгновенных значений. Основным типом характеристик являются характеристики, связывающие мгновенные значения основных определяющих величин: тока и напряжения на нелинейном резисторе, индукции и напряженности в сердечнике нелинейной индуктивной катушки, заряда и напряжения на нелинейном конденсаторе. Будем называть их характеристиками для мгновенных значений. Иногда перед этим названием добавляют соответственно следующие слова: вольт-амперные, вебер-амперные или кулон-вольтные.
В силу ряда причин, обусловленных различными физическими процессами в самих нелинейных элементах, форма характеристик меняется с увеличением скорости изменения определяющих величин во времени. ф 15.21. ВАХ по первым гармоникам. Под ВАХ по первым гармоникам понимают графическую или аналитическую связь между амплитудой (действующим значением) первой гармоники тока и амплитудой (действующим значением) первой гармоники напряжения на нелинейном элементе. 466 ~юэ ~~ог~~о~ 4 Ю 4г'4гМч 4~ И Рис.
15Л4 467 Этот тип характеристик подразделяют на две подгруппы. В первой подгруппе нагряжение (поток или заряд) на нелинейном элементе изменяется по синусоидальному закону, а во второй по синусоидальному закону во времени меняется ток через нелинейный элемент(напряженность в сердечнике нелинейной индуктивной катушки или напряжение на нелинейном конденсаторе).
Если воздействующее на нелинейный элемент синусоидальное напряжение (синусоидальный ток) не содержит постоянной составляющей, то ВАХ для первых гармоник данного элемента изображают какой-то одной кривой. Если же воздействующее напряжение (ток) содержит постоянную составляющую, то вольт-амперные, вебер-амперные или кулон-вольтные характеристики изображают семействами кривых, на которых постоянная составляющая тока, напряжения, потока или заряда является параметром.
Этот тип характеристик получают расчетным аналитическим или графическим путем по соответствующим характеристикам для мгновенных значений или снимают экспериментально. При графическом построении задаются различными значениями амплитуды воздействующего на нелинейный элемент напряжения(тока, индукции, заряда), по точкам строят кривую тока (напряженности, напряжения) в функции времени и путем разложения ее в ряд Фурье находят соответствующие амплитуды первой гармоники тока (напряженности, напряжения), (Пример графического построения кривой тока в функции времени для управляемой нелинейной индуктивной катушки см. рис. 15.17.) Аналитически построение точек обсуждаемой характеристики производят, используя формулы (15.12) и (15.13) или иные, подобные им. В ф 15.23 рассмотрено применение формул (15.12) и (15.13) для получения единых характеристик по первым гармоникам для управляемых симметричных нелинейных элементов.
Для нелинейной индуктивной катушки ВАХ по первым гармоникам можно получить опытным путем с помощью схемы рис. 15.14, а, где ИТ, — источник синусоидальной ЭДС; ИТ, — источник постоянной ЭДС; аб — зажимы управляемой цепи НЭ; сд — зажимы управляющей цепи НЭ.
Измерительный прибор $~, реагирует на первую гармонику напряжения, а измерительный прибор А, — на первую гармонику тока. На рис. 15.14, б качественно изображены БАХ управляемой нелинейной индуктивной катушки по первым гармоникам. Параметром является ток управления 7 . ВАХ по первым гармоникам для управляемого нелинейного конденсатора изображены на рис. 15.14, в. Параметром является управляющее постоянное напряжение Оо. Снятие характеристик (рис. 15.14, б) производят следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
