Лекции Метод Якоби (1063799)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

89Методы Якоби полного решения задачи вычисления собственных значений ивекторов квадратной симметричной матрицыЗамечание 14.1.a ) В настоящем параграфе n, n 3и Aзаданная симметричная матрица, т.е. T AA ( a ijaijnna1 ,a1 ,, an, anaij для любых i, j 1, n ), где a jL;n -a i - j -ый ( i -ая) столбец (строка) матрицы A , если j 1, n i 1, n .б ) Если Q OL; n - ортогональная матрица, то, в силу свойств ортогональныхnпреобразований стандартного арифметического евклидова пространства, для любого i 1, nсправедливы равенства:1 ai T Q Q aiai ai ,т.е. сумма квадратов элементов матрицы A инвариантна относительно ортогонального табличногопреобразования Q̂ и, следовательно, совпадает с суммой квадратов элементов матрицыQ A Q a1 , , Q an ] (или матрицы A Q [ a1 Q, , an Q ).

#Приведём итерационный метод вращений Якоби для вычисления собственных значений ивекторов матрицы A , полагая, что A 0 A - начальная матрица рассматриваемого методавращений.Пусть номера ,, таковы, что элемент a матрицы A является1, n , гдемаксимальным по модулю среди всех внедиагональных элементов матрицы AВ пространствеповорота на уголnA 0 .рассмотрим ортогональное табличное преобразование Qˆ , ;в подпространстве e , e0; 2n-, натянутом на стандартные векторыa Mnn( e1 , , en - стандартный базис пространства). Матрица Qe и e пространстватакого преобразования имеет вид:e1 , , ei 1 , s , ; , ei 1 , , e j 1 , t , ; , e j 1 , , en ,2 Q , ;, ;гдеnsk, ;3k, ;В частности, еслиcossin0Q 1, 2;0Уголbij4sinkekcosksinek ;k 1tBkcosnn0; 2TQ1), ;bksin1иsincos00cosek .2 , то0010000000.01выберем таким образом, чтобы элемент b матрицыA 0 Qa cos2, ;a sin 2A 1 был нулевым.

Тогда получим, что2a sincos ; ba sin 2a cos 22a sincos ;902)0 bb3)bkbk4)bkbk5)bmkbkmaaak cossinacosдля k 1, n , kak sina k sincos2sinиkдля k 1, n , ka k cosamk для k , m 1, n , k, k2;;иk;иm, m.Кроме того, в силу замечания 14.1 б ) , сумма квадратов элементов матрицы A 1сумме квадратов элементов матрицы A .

Более того, вводя обозначения: aB равнаb и aa, ac , изпунктов 1) 3) формул 4 получаем:b22ba 2 cos44bc sin3 cosb2 sin 4a2 sin 4b2 cos44ac sin 3cosb 2 cos 42 cos 2sin 24c cos2sin 2a b sin2a 2 b2a b sin 2a 2 b2cos 34bc sina2 b2 2 a2 b2 sin 24c2 sin 24c2 sin 2a 2 cos 4sin 42 cos 2coscos2cos22ab sin 22 cos 2sin 2a b sincos28c 2 sin 22ab sin 2cos2sin 28c2 sin 2cos2cos2cos28c 2 sin 2cos2sin 42 cos 2cos 2sin 24ab sin 2c cos 2coscos34ac sincos 2, согласно 3) из 4sin 224ab sin 2cos 24 a b sin 2a b sincosc cos2sin 2222c 2 cos 42sin 2cos 2sin 48c 2 sin 2a 2 b2 2c 2 cos42sin 2cos2sin 4a 2 b2 2c 2cos 2cos 2a2a2 a.Поскольку bii aii , если i 1, n , iиi, то, используя инвариантность суммы квадратовэлементов матрицы A , отсюда получаем, что сумма квадратов диагональных элементов матрицыA 1 B больше аналогичной суммы квадратов диагональных элементов матрицы A 0 A на туже величину, на которую уменьшается сумма квадратов внедиагональных элементов матрицыA0 .Аналогично строятся матрицы A 2 , A 3 ,15lim A kkD0,A k ,рассматриваемого процесса Якоби, где000, Spr ASprA1,,n,00nт.к.

при каждом шаге этого процесса сумма всех квадратов диагональных (внедиагональных)элементов текущей матрицы A k увеличивается (уменьшается до «нуля»). В силу этого, с ростомтекущая матрица A k «превращается» в диагональную матрицу, где на диагонали стоят всеkсобственные значения матрицы A . Кроме того, при достаточно большом kв столбцах матрицыTQ k OL ; n ( A kQ k A Q k и Q k Q1Qk , где Qi - матрица вида 2 для i 1, k )«появляются» стоящие в соответствующем порядке, нормированные собственные векторы матрицы91A , образующие базис пространства E n .

Следовательно, lim Q kk01где A qiqi для любого i 1, n и T Q A QiQ, qn ] OL00Dq1 ,;n ,0, где Spr A1,,n00nРассмотренный выше метод вычисления собственных значений и векторов матрицы Aназывается методом вращений Якоби. Аналогично строится метод псевдо-вращений Якоби, для0; 2 вида:которого используется матрица псевдо-поворота на уголcossin,sincosпреимущество которого состоит в том, что он симметричен.Замечание 14.2.a ) Из формул 4 получения из текущей матрицы A kkвращений (Якоби) последующей матрицы A k 1 получаем, что уголитерационного процесса0; 2,удовлетворяющий пункту 3) формул 4 вычисляется из условия:, если a ktg 22a kak kak ;a, если a kkk ,aоткуда получаем:1112cos2a k1a kak222a k2;21112sin2a k1a ksgn a k , если a kгдеsgna kaak2kakak ;, если a k22a ka22,k .б ) QR -алгоритм.Пусть матрица BbijnnB 0L; n имеет различные действительные собственные, nзначений 1 , , n , т.е.

Spr B.1,Тогда , используя перестановку строк и преобразование строк матрицы B посредствомматриц вида 2 (на них матрица B домножается слева), приводят матрицу B 0 B к виду:6 B 0где Q0Q0 R0 ,OL R; n - ортогональная матрица и R0 - верхнее-теругольная.Рассматриваемый в настоящем пункте замечания так называемый QR -алгоритм, являясьитерационным процессом, на каждом своём k -ом шаге kреализуется посредствомследующей рабочей процедуры:.921) текущую матрицу B k 1представляют в виде: B k 1матрицы линейной алгебры LQk; n с помощью указанных выше преобразований строкLRk 1 , где Qk11- ортогональная и Rk1- верхнее-треугольная;n ;2) рабочая процедура заканчивается вычислением следующей текущей матрицыbij kB knnL; n , имеющей вид: B k1) матрицы.Отсюда получаем, что при любом k NB kQk 1 Qk 2Q0 B T Q0 T Q1TRk1Qk1Qk 1 , где Rk 1 , Qk1- указанные выше в пункте.Кроме того, используя свойства матрицы B , можно показать, что при любом i 1, nвыполняется условие:lim bii ki,kгде Spr BSpr BSpr B1,2,,n.Следовательно, QR -алгоритм, являясь аналитически корректным методом определенияспектра матрицы B , позволяет при достаточно большом k N приближённо найти этот спектрматрицы B .

#.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций