Лекции Max по модулю собственного значения (1063798)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Метод итераций для поиска максимального по модулю собственного значенияквадратной матрицы1. Случай действительного максимального по модулю собственного значенияГрубо говоря, предлагаемый в настоящем разделе метод итераций основан на том,что при возведении в степень заданной квадратной матрицы её наибольшее по модулюсобственное значение «играет» всё бóльшую «роль» по сравнению с остальными.Не ограничивая общности результатов, для наглядности, в настоящем разделепредполагаем, что спектр SprA1,...,pзаданной матрицы Aявляется действительным, удовлетворяет условию:пространствоnn112...paijnnL;n- и, кроме того,представимо в виде:V1 V2 ... Vp ,где Vi - подпространство собственных векторов матрицы A , отвечающих собственномузначениюiпри любом i 1, p .Рассматриваемый далее метод итераций начинается с выбора вектора fкоторый удовлетворяет условию:n,p2ifihihi ,i 1где hi Vi для любого i 1, p ,Далее, fn1,...,k,10 и h10n .- вектор, удовлетворяющий условию 2 , где hi Vi для любогоi 1, p .Тогда при любом k3 Ak1fполучаем:k1h1 ...12pkphp ,т.е.41k1kkAf1где521h12,...,k11.kh2 ...pk1hp ,Следовательно,6гдеlimk1kAk1f1h1111n1h ,..., hV1limkAkAkffV1 ,h1 - собственный вектор матрицы A , отвечающий её собственному значению1и h11,h11 ,..., h1n .Далее, при любом k7f 1k ,..., f nkfkгде f 0используем обозначения:Akf0Akf,f 1 ,..., f n .Учтя обозначения 7 , из 6 получаем:1limk1k81limk 11kh для i 1, p;f 1k1 i1f 1kh для i 1, p,1 i11где, не ограничивая общности, полагаем, что h119limkf 1kf 1k10 .

Тогда, согласно 8 , получаем:,1что позволяет при достаточно большом kзначение1N приближённо определить собственноематрица A . Следовательно, соотношение 6 , при найденном приближённомзначении для1, позволяет в свою очередь (при достаточно большом k) приближённонайти собственный вектор матрицы A , отвечающий её собственному значению1.Например, еслиAто A2 1и f3 4f2,3 , A21,0 ,f7,18 , A3f32,93 и A4f157, 468 , т.е.157и 1,3 - приближённое значение собственного вектора рассматриваемой32матрицы A , отвечающего её собственному значению 1 5 .152.

Случай комплексного максимального по модулю собственного значенияЗдесь, в отличие от предыдущего раздела, максимальное по модулю собственноезначениематрицы A1aijnn; n является комплексным с ненулевой мнимойLчастью, т.е.10гдеi ,1и,0.Кроме того, не ограничивая общности результатов, для наглядности, предполагаем,что SprfAnf(0)11где h1,12,3,...,, гдеp21...3p, и вектортаков, что1f1h1h11 ,..., h1nh1nh13h3 ...h11 ,..., h1nотвечающий собственному значениюn12i и111php иn- собственный вектор матрицы A ,100n ,h1, и пространствоnпредставимо в виде:V1 V2 V3 ...

Vp ,где Vi - подпространство собственных векторов матрицы A , отвечающих еёсобственному значениюi, и hi Vi - для любого i3, 4,..., p .Тогда, согласно 11 и 12 , получаем, чтоA1EA1Eh10n ;A1EA1Eh10n ,13т.е. вектор Aвекторов1EA1Ef в его разложении по линейно независимому семействуh1 , h1 , h3 ,..., h p , где A1EA1Eh1 , h1 , h3 ,..., h p , неf«содержит» слагаемых с векторами h1 и h1 и, следовательно,AEA14lim11Eh3 ,..., h p .

Посколькуf12...3p, отсюда получаем,чтоk1k1AkA1EA1Eflim AkСледовательно, при достаточно больших kfkmAkmf , где m1EAвекторы f k1E AkfAkf и1k10n ., согласно 10 , удовлетворяют приближённым уравнениям:A2fkA2fk2 A2 Am2fkfk222mоткуда (при достаточно больших ki матрицы A .11fk0n ;fk1fkmfk0n ,m) приближённо определяется собственное значение3.

Вычисление второго по величине модуля собственного значения матрицыПусть матрица A Lдля которого A hi12i...3nhi для любого i 1, n , SprA. Кроме того, задан вектор fпредставим в виде f 0любого k; n обладает собственным базисом H1h12h2приняты обозначения: f k3h3 ...f 1k ,..., f nkSprnA1hn , гдеAk1limklimkf ikf ikf ik111f ikf ik2,иnn0и2, который0 , и дляf 0 , где при достаточнобольшом k для некоторого номера i 1, n выполняются условия: f ikf ik,...,f 10 ,..., f 0nf0nh1 ,..., hn1f ik10 . Тогда;1f ik111i1f kсобственному значениюh2 - собственный вектор матрицы A , отвечающий её2.Эти соотношения позволяют приближённо вычислять второе по величине модулясобственное значение и отвечающий ему собственный вектор матрицы A .Отметим, что при вычислении значения2(и отвечающего ему собственноговектора) матрицы A «точность» метода итераций значительно ухудшается в сравнении сметодом итерации для поиска собственного значения 1 матрицы A ..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций