Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В этом случае значение x1 или xn исключают из рассмотрения, а найденные ранее оценки подвергаются корректировке с учетом отброшенного результата.3.4.2. Критерий ДиксонаВ критерии Диксона применяется статистика:•если подозрительная «чужеродная» точка имеет наибольшее значение,ri , j =•x n − x n −i,x n − x j +1(3.42)если подозрительная «чужеродная» точка имеет наименьшее значение,763. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХri , j =x1+i − x1,x n − j − x1(3.43)где xn, xn-i, xj+1 – члены вариационного ряда x1≤ x2≤ x3 ... ≤ xi …≤xn.Диксоном были получены распределения для r10, r11, r12, r20, r21 и r22 и построены таблицы для α = 0,1; 0,05; 0,01 и 0,005 при 3 ≤ n ≤ 30 [11].Статистикаr10 =x n − x n −1x n − x1используется для проверки максимального или минимального члена вариационного ряда (одна грубая ошибка, альтернативная гипотеза Н1(1) ) при 3 ≤ n ≤ 7.Если при том же объеме выборки предполагается наличие двух и более резковыделяющихся значений (альтернативная гипотеза Н1(2) ), то используется статистика r20.Статистики критерия Диксона, используемые при других объемах выборки, приведены в табл.
3.3.Таблица 3.3Статистики критерия Диксона, используемыепри различных объемах выборки nОбъем выборкиn3…78…1011…1314…30Число грубых погрешностейоднадве и болееr10r20r11r20r21r21r22r22Критическая область в критерии Диксона выглядит аналогично критериюН.В. Смирнова и включает значенияrij > (rij) α,n,(3.44)где (rij) α,n – табличные значения (см. [11] или табл. П.8).Рассмотрим небольшой пример.Пример 3.3. Пирометром измеряется температура поверхности нагретого тела (например, прокатываемой заготовки, причем будем предполагать, что773. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХтемпература ее видимой поверхности во всех точках одинакова). Было проведено шесть измерений температуры T °С, и получены следующие значения:925, 930, 950, 975, 990, 1080 (n = 6, причем, как видно, все значения приведеныв возрастающей последовательности, т.е.
в виде вариационного ряда T1=925 ≤T2=930 ≤ T3 =950... ≤T6=1080). Можно ли значение T6=1080 считать грубой погрешностью, полученной, допустим, в результате неправильной регистрациипоказаний пирометра?Для ответа на поставленный в этом примере вопрос предварительно вычислим оценки параметров распределения исследуемой случайной величины T(предполагая, что она не противоречит нормальному закону распределения):выборочное среднее арифметическое T и выборочное среднее квадратичноеотклонение ST:T=1 n∑ Ti = (925 + 930 + 950 + 975 + 990 + 1080) / 6 = 975;n i =121 ⎡ n 2 1⎛ n1⎞ ⎤S =[(925 2 + 930 2 + 950 2 + 975 2 + 990 2 + 1080 2 ) −⎢∑ Ti − ⎜ ∑ Ti ⎟ ⎥ =n − 1 ⎣⎢ i =1n ⎝ i =1 ⎠ ⎦⎥ 6 − 12T1− (925 + 930 + 950 + 975 + 990 + 1080) 2 ] = 3280;6S T = + S T2 = + 3280 = 57,27.В электронных таблицах Microsoft Excel для этих расчетов можно былобыиспользоватьдвестатистическиефункцииСРЗНАЧ(925;930;950;975;990;1080) =975 и СТАНДОТКЛОН (925;930;950;975;990;1080)=57,27128.Теперь воспользуемся предложенным выше алгоритмом проверки статистических гипотез.1.
Формулируем нулевую гипотезу Н0: "Среди значений 925; 930; 950; 975; 990;1080 нет грубых погрешностей".2. Исходя из условий примера 3.2, выбираем следующую альтернативную гипотезу Н1(1) : "Значение 1080 является (одной) грубой погрешностью".3. Сформулированная нулевая гипотеза Н0 может быть проверена по любомуиз приведенных в этом разделе критериев, т.е. как по критерию Н.В.
Смир-783. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХнова, так и по критерию Диксона (хотя в литературе могут быть найдены идругие критерии). Для начала остановимся на критерии Н.В. Смирнова.4. Значение статистики критерия Н.В. Смирнова в примере 3.2 равно (см.(3.40))_T − T 1080 − 975u6 = 6== 1,83 .57,27sT5.
Уровень значимости α примем равным 0,05.6. По табл. П.7 при α = 0,05 и n = 6 находим u0,05;6 = 1,82, и с использованием(3.41) строим критическую область ω: u6 > u0,05;6, т.е. u6 > 1,82.7. Принимаем решение: поскольку значение статистики (1,83 > 1,82) попало вкритическую область – нулевая гипотеза отвергается, и в качестве рабочейпринимается альтернативная гипотеза, т.е. значение 1080 с вероятностью0,95 (уровень значимости, не превышает 0,05) по критерию Н.В. Смирноваможно считать грубой погрешностью.Интересно отметить, что если бы на этапе 5 мы приняли α = 0,01, по таблицам критерия Н.В.
Смирнова u0,01;6 = 1,94 и подсчитанное значение статистики при этом уровне значимости , то оно не попало бы в критическую область(1,83<1,94). Следовательно, при α = 0,01 мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. по критерию Н.В. Смирнова с вероятностью 0,99 (надежностью,достоверностью) мы не можем сказать, что значение 1080 является грубой погрешностью.В завершение данного примера рассмотрим, как бы выглядели наши расчеты, если на этапе 3 мы бы остановились на критерии Диксона.4. При n = 6 и альтернативной гипотезе, что имеется только одна грубая погрешность, в критерии Диксона используется статистика r10 (см.
табл. 3.3),значение которой в примере 3.2 (см. (3.43)):r10 =T6 − T6 −1 T6 − T5 1080 − 990=== 0,581 .T6 − T0 +1 T6 − T1 1080 − 9255. Уровень значимости α примем равным 0,05.6. По табл. П.8 при α = 0,05 и n = 6 находим (r10) 0,05;6 = 0,560, и с использованием (3.44) строим критическую область ω: r10 > (r10) 0,05;6, т.е. r10> 0,560.793.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ7. Принимаем решение: поскольку значение статистики (0,581 > 0,560) попало вкритическую область – нулевая гипотеза отвергается, и в качестве рабочейпринимается альтернативная, т.е. значение 1080 с вероятностью 0,95 и покритерию Диксона можно считать грубой погрешностью.Заметим, однако, как и по критерию Н.В. Смирнова, высказать подобное утверждение с вероятностью 0,99 по критерию Диксона мы не имеем права, поскольку по таблицам (r10) 0,01;6 = 0,698.3.5.
Сравнение двух рядов наблюденийПри проведении и анализе результатов экспериментальных исследований часто приходится сравнивать две партии изделий, показания двух или нескольких приборов, анализировать результаты работы однотипных агрегатов,сравнивать результаты исследований двух проб материалов и т.д. Вот некоторые примеры подобных ситуаций.1.
Необходимо сравнить показания двух приборов, измеряющих одну и туже величину, когда этими рабочими средствами измерений получено два ряданаблюдений данной величины. Одинакова ли точность измерения одного и тогоже технологического параметра разными приборами?2. Требуется поверить рабочее средство измерения (т.е. определить, невыходят ли погрешности его измерений за пределы регламентированных значений) с помощью образцового средства измерения. Равно ли математическоеожидание показаний данного прибора действительному значению измеряемогопараметра?3. Два агрегата выпускают одну и ту же продукцию. Необходимо сделатьвывод о том, какой из них лучше или хуже в каком-либо смысле.Решение подобных задач осуществляется также с использованием аппарата проверки статистических гипотез.
Ведь если нам необходимо было бысравнить две случайные величины X и Y, имеющие нормальное распределение, при известных их математических ожиданиях и дисперсиях Mx; σx2 и My;σy2, то вопрос, очевидно, решался бы достаточно просто. Две случайные вели803. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХчины с нормальным распределением равны между собой (имеют одинаковоераспределение, т.е. имеют одну и ту же функцию распределения F(X) = F(Y)или плотность распределения f(X) = f(Y)), когда равны между собой их математические ожидания (Mx = My) и дисперсии (σx2 = σy2), поскольку только эти двапараметра полностью определяют нормальное (двухпараметрическое) распределение (см. (2.12) или (2.21)).Однако, как это уже неоднократно ранее отмечалось, любой из параметров распределения случайной величины Θ может быть найден лишь по всейгенеральной совокупности, т.е.
только теоретически при проведении бесконечно большого количества опытов. Практически, по выборке ограниченного объема, исследователь может определить только приближенное значение параметра – его оценку Θ*. При этом вероятность того, что оценка Θ* совпадет со значением оцениваемого параметра Θ, очень мала. Следовательно, даже еслиравны между собой параметры распределений двух случайных величин (Θx =Θy ), то их оценки скорее всего не будут одинаковыми (Θx* ≠ Θy*).Поэтому при сравнении двух случайных величин обычно приходится высказывать и проверять нулевую гипотезу Н0: Θx = Θy, при альтернативных гипотезах типа Н1(1): Θx < Θy или Н1(2): Θx > Θy. Н1(3): Θx ≠ Θy,3.5.1.
Сравнение двух дисперсийПри выполнении измерений в различных условиях часто возникает задача сравнения степени разброса (дисперсий) исследуемых параметров (случайных величин).Проверка гипотезы о равенстве дисперсий имеет большое значение, таккак измеряемая дисперсией величина рассеяния характеризует такие исключительно важные показатели, как точность машин, приборов, стабильность технологических процессов, качество готовой продукции и т.д. Поэтому, например,о преимуществах той или иной технологии или о качестве выпускаемой продукции вывод можно часто сделать в результате сравнения дисперсий тех параметров, которые их характеризуют.813. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХТаким образом, требуется установить, являются ли выборочные дисперсии S12 ≠ S22 со степенями свободы m1 и m2 значимо отличающимися или жеони характеризуют выборки, взятые из одной и той же генеральной совокупности или из генеральных совокупностей с равными дисперсиями (σ12 = σ22 = σ2).В этом случае нулевая гипотеза формулируется в виде H0: σ12 = σ22= σ2 , т.е.между двумя генеральными дисперсиями различия нет при заданном уровнезначимости α.Для проверки этой гипотезы используется критерий, основанный на распределении Фишера, зависящем только от числа степеней свободы m1 и m2.Аналитическое выражение критерия Фишера имеет видF=(S12 /σ12 )/( S22 /σ22 ) = (S12 /S22 )/(σ22 /σ12 ).(3.44а)Плотность распределения величины Fm1, m2 , представленная на рис.
3.7,есть функция⎧ ⎛ m + m ⎞⎛ m ⎞m1 2 ⎛⎜ m1 −1⎞⎟22⎠⎪ Г⎜ 1⎟⎜⎜ 1 ⎟⎟ F⎝2⎠⎝ m 2 ⎠⎪ ⎝⎪f (F) = ⎨ ⎛ m ⎞ ⎛ m ⎞ ⎡ m F ⎤ (m1 + m 2 ) / 212⎟ ⎢1 + 1 ⎥⎪ Г⎜ ⎟Г⎜22m2 ⎦⎝⎠⎝⎠⎣⎪⎪⎩0 при F < 0.при F ≥ 0;(3.44б)Надо иметь в виду, что скорость возрастания и убывания функции, а также величина и положение максимума зависят от параметров m1 и m2.Соответствующая функция распределения величины Fm1, m2 определяется через плотность распределенияFF (F ) =∫ f (ξ )dξ .(3.44в)−∞Существуют статистические таблицы как с табулированными значениямифункции распределения Фишера для принятого уровня значимости, так и с табулированными значениями квантилей этого распределения (см. табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
