Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 14
Текст из файла (страница 14)
П.4 иП.5).823. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХаf(F)m 2= ∞1,0m1=20m2=250,8m2=100,60,40,2102FбF(F)m2=25m 2= ∞1,00,8m2=100,6m1=200,40,201234567FРис. 3.7. Плотность (а) и функция (б) F-распределения(частный случай при m1=20Поскольку по условию нуль–гипотезы σ12 = σ22, то выражение можнопредставить как отношение выборочных дисперсийF=S12 /S22 ,где S12 > S22 .833. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХЕсли при проверке нулевой гипотезы H0: σ12 = σ22 = σ2 альтернативнойявляется гипотеза H1(1): σ12 > σ22, то применяют одностороннее неравенствоF=S12 /S22 > Fα,m1,m2.Для альтернативной гипотезы H1(2): σ12 ≠ σ22, когда соотношение междугенеральными дисперсиями неизвестно, различие между дисперсиями считаютзначимым, если выполняется условиеF=S12 /S22 > F(α/2),m1,m2.Таким образом, алгоритм решения задачи сводится к следующему.Пусть по результатам испытаний двух независимых выборок объемом n1и n2 из нормально распределенных совокупностей подсчитаны оценки дисперсий S12 и S22, причем S12 > S22.
Требуется проверить предположение (нулевуюгипотезу Н0) о том, что указанные выборки принадлежат генеральным совокупностям с равными дисперсиями.В соответствии с общим алгоритмом проверки любой статистической гипотезы:1. Н0: σ12 = σ22 = σ2.2.
Возможно два варианта альтернативной гипотезы:Н1(1): σ12 ≠ σ22;Н1(2): σ12 > σ22.Предположить вариант альтернативной гипотезы Н1(3) : σ12 < σ22, конечноже, возможно, но вряд ли целесообразно при условии, что S12 > S22..3. Используется F-критерий (критерий Фишера) – это отношение двух дисперсий (большей к меньшей), F - статистика поэтому имеет вид2F=S 1.S 22,(3.45)где S12 > S22.Очевидно, что значения F всегда больше единицы.4. Выбирается уровень значимости α.843. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ5. Границы критической области можно установить по таблицам квантилей F распределения (см.
[11] или табл. П.4, П.5, а в Microsoft Excel для этого используется функция FРАСПОБР) для числа степеней свободы m1 = n1 -1 и m2 = n2 - 1и уровня значимости•при альтернативной гипотезе Н1(1): σ12 ≠ σ22 уровень значимости равенα/2 и критическая область определяется соотношением F > F(α / 2 ),m1 ,m2 ;•при альтернативной гипотезе Н1(2): σ12 > σ22 уровень значимости равен αи критическая область определяется соотношением F > Fα ,m1 ,m2 .6. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что σ12 = σ22 = σ2 при выполнении одного из неравенств (для различных альтернативных гипотез):•F ≤ F(α / 2 ), m1 , m 2при Н1(1) σ12 ≠ σ22;•F ≤ Fα , m1 , m 2при Н1(2): σ12 > σ22.В случае подтверждения нулевой гипотезы, по двум выборочным дисперсиям производят оценку общей генеральной дисперсии σ 2S2 =(n1 − 1) S12 + (n 2 − 1) S 22,n1 + n 2 − 2(3.46)которая может быть использована для дальнейшего анализа опытных данных.Проиллюстрируем применение критерия Фишера на следующем примере.Пример 3.4.
Проводятся измерения одной и той же физической величины (температуры, давления, состава газа и т.п.). Первым (старым) измерительным прибором выполнено 200 измерений, которые дали выборочную дисперсию S12 = 3,82, а вторым (новым) сделано только 15 измерений при выборочнойдисперсии S22 = 2,00. Можно ли считать, что разброс в показаниях нового прибора существенно ниже, чем у старого?1. Сформулируем нулевую гипотезу о равенстве дисперсий Н0: σ12 =σ22 =σ 2.2.
Выберем альтернативную ей гипотезу Н1: σ12 > σ22.853. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ3. Воспользуемся критерием Фишера и рассчитаем статистику этого критерия F = 3,82/2,00 = 1,91.4. Для уровня значимости α = 0,05 строим критическую область при m1 =200-1 = 199 и m2 = 15-1 = 14; F0,05;199;14 = 2,16 (см.[11] или FРАСПОБР(0,05;199;14) = 2,159361).5. Подсчитанное значение статистики (F=1,91) не попадает в критическуюобласть (1,91 < 2,16), следовательно, нулевая гипотеза Н0: σ12 = σ22 = σ2 принимается, т.е.
по имеющимся экспериментальным данным нет достаточных оснований считать, что результаты измерений нового прибора точнее, чем старого.Как изменится наш вывод, если мы увеличим число измерений новымприбором до 50 при условии, что выборочная дисперсия его показаний приэтом не изменится?Табличное значение критерия Фишера при этом равно F0,05;199;49 = 1,49, изначение статистики попадет в критическую область 1,91 > 1,49, следовательно, в качестве рабочей может быть принята альтернативная гипотеза Н1: σ12 >σ22, т.е.
результаты измерений новым прибором точнее, чем старым.3.5.2. Проверка однородности нескольких дисперсийКритерий Фишера используется для сравнения только двух дисперсий,однако на практике приходится сравнивать между собой три и более дисперсий.При сопоставлении дисперсий ряда совокупностей нулевая гипотеза заключается в том, что все k совокупностей, из которых взяты выборки, имеютравные дисперсии.1. Н0: σ12 = σ22 = σ32 = … = σk2 =σ2,т.е.
проверке подлежит предположение, что все эмпирические дисперсииS12, S22, ..., Sk2 относятся к выборкам из совокупности с одной и той же генеральной дисперсией σ2.Пусть среди нескольких серий измерений обнаружена такая, выборочнаядисперсия которой S2max заметно больше всех остальных. Задача заключается863.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХв том, чтобы выяснить, можно ли считать отличие выделенной дисперсии S2maxсущественным. Другими словами, альтернативная гипотеза может быть выбрана как2. Н1: σ2max > σ2.3. При равном объеме n1 = n2 = n3 = … = nk = n всех k выборок можетбыть использован так называемый критерий Кохрена (в ряде книг пишется Кочрена).4. Статистика критерия Кохрена G рассчитывается как отношение S2max ксумме всех выборочных дисперсий:G=S 2 maxk∑Si =1.(3.47)2i5.
В дальнейшем для выбранного уровня значимости α определяетсятабличное значение этого критерия, которое зависит от числа степеней свободы m = n – 1 и числа сравниваемых дисперсий k – Gα;m;k (см. [11] или табл.П.9).6. Критическая область строится как G ≥ Gα;m;k.7. При G < Gα;m;k гипотеза Н0: σ12 = σ22 = σ32 = … = σk2 =σ2 принимается вкачестве рабочей, т.е.
отличие выделенной дисперсии S2max считается несущественным.В случае подтверждения однородности дисперсий можно сделать оценкуобобщенной дисперсии σ2 :kS2 =∑Si =1k2i.(3.48)Пример 3.5. Шестью (k = 6) приборами произведено по семь измерений(n = 7) одного и того же параметра, при этом получены следующие выборочныедисперсии Si2: 3,82; 1,7; 1,3; 0,92; 0,78; 0,81.
Можно ли считать, что разброс показаний первого прибора (S2max=3,82) существенно превышает разбросы показаний остальных пяти приборов?873. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ1. Нулевая гипотеза Н0: σ12 = σ22 = σ32 = σ42 = σ52 = σ62 = σ2.2. Альтернативная гипотеза Н1: σ2max > σ2.3. Поскольку (n1 = n2 = n3 = n4 = n5 = n6 = 7) все шесть выборок имеют одинаковый объем, то может быть использован критерий Кохрена.4. Значение статистики данного критерия в соответствии с уравнением(3.47) составит:G=3,823,82== 0,409.3,82 + 1,7 + 1,3 + 0,92 + 0,78 + 0,81 9,335.
Табличное значение этого критерия для уровня значимости α = 0,05,при числе степеней свободы для каждой из дисперсий m = 7-1 = 6 и числесравниваемых дисперсий k = 6, равно G0,05;6;6=0,418 (табл.П.9).6. Так как G < Gα;m;n, отклонение дисперсии S2max = 3,82 от остальныхнельзя (с вероятностью 0,95) признать существенным, и, следовательно, вседисперсии однородны (т.е. разбросы в показаниях всех шести приборов примерно одинаковы).Оценка обобщенной дисперсии:kS2 =∑Si =1k2i=9,33= 1,56.6Критерий Кохрена можно использовать только в тех случаях, когда всесравниваемые дисперсии имеют одинаковое число степеней свободы m = n –1(одинаковые объемы выборок n1 = n2 = n3 = … = nk = n).
Если же число измерений n в различных сериях неодинаково, то для проверки однородности дисперсий можно выбрать, например, критерий Бартлета. При необходимости с процедурой его использования можно познакомиться в литературе по теории вероятности и математической статистике (см. например, [9,10]).3.5.3. Проверка гипотез о числовых значениях математических ожиданий883. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХЧасто для решения вопроса о соответствии произведенной продукцииопределенным требованиям (например, требованиям ГОСТ или ТУ) при выявлении преимущества того или иного технологического процесса или нового материала и т.д.
возникает необходимость по выборочным средним значениямисследуемых случайных величин делать вывод о соответствующих им генеральных значениях математических ожиданий.При этом может возникнуть задача сравнения неизвестного математического ожидания M1, для которого получена оценка через выборочное среднееx1 , с конкретным числовым значением M (например, с известным математиче-ским ожиданием) или задача сравнения двух математических ожиданий M1 иM2, оцененным по двум выборочным средним x1 и x 2 .В первом случае в качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение о том, что оцененное математическое ожидание M1 равно известномуматематическому ожиданию M.1. Н0: M1 = M .2.
Альтернативная гипотеза может быть в трех вариантах:Н1(1): M1 > M; Н1(2): M1 < M; Н1(3): M1 ≠ M.3. Если генеральная дисперсия σ2 неизвестна и для нее, по той же самойвыборке, что и для x 1 , сделана оценка S2, то используется t-критерий (рас-пределения Стьюдента).4. t - статистика имеет видt=x−M⋅ n.S(3.49)5. Как и при построении доверительного интервала, для математическогоожидания (см. раздел 3.2.1) выбирается уровень значимости α.6. Для числа степеней свободы m = n –1 (с которым сделана оценка дисперсии) устанавливаются границы критической области по табличным значениям квантилей t-распределения (см., например, [11] или табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
