Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 15
Текст из файла (страница 15)
П.6), или их можноопределить, воспользовавшись статистической функцией СТЬЮДРАСПОБР изэлектронных таблиц Microsoft Excel.893. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ7. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что M1 = M при выполнении неравенств:•для альтернативных гипотез Н1(1): M1 > M и Н1(2): M1 < Mt ≤ t 2α , m ;•для альтернативной гипотезы Н1(3): M1 ≠ Mt ≤ tα ,m .Появление в последних неравенствах величин α и 2α при определениитабличных значений критерия Стьюдента связано с тем, что обычно эти таблицы (см. табл.
П.6) приводятся для двустороннего распределения Стьюдента,т.е. подtα ,m понимается величина, которая при m → ∞ будет стремиться кквантили нормированного нормального закона распределения порядка 1- α/2tα ,m → Z p =1−α / 2 .Поэтому, работая с таблицами критерия Стьюдента, неплохо делать проверку, показывающую для какого распределения (одностороннего или двустороннего) они составлены. Так, по табл.
П.6t 0 , 05 ; 500 = 1,965 ≈ Z p =1− 0 , 05 / 2= 0 , 975 = 1,960 ,следовательно, это двусторонние пределы распределения Стьюдента.АналогичнаяситуациясвязанаисфункциейСТЬЮДРАС-ПОБР(вероятность;степени_свободы), где вероятность – это вероятность,соответствующая двустороннему распределению Стьюдента.Пример 3.6. При проверке Рh-метра с помощью эталонного раствора,имеющего Рh=9,0, получены следующие результаты: 8,7; 9,2; 9,1; 9,0; 9,4; 9,6;9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8, т.е. n = 14. Обладает ли Рh-метр систематической погрешностью?Для решения этой задачи предварительно рассчитаем выборочное среднее x и выборочное среднеквадратическое отклонение S в предположении, чтопоказания Рh-метра не противоречат нормальному закону распределения исреди них нет грубых погрешностей (см.
формулы (3.5), (3.8) и (3.10)):x=1 n1 141x=xi = (8,7 + 9,2 + 9,1 + ... + 8,8) = 9,2;∑∑in i =114 i =114903. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ∑ (xnS =2x=i =1i−xn −1)2221 ⎡ n 2 1⎛ n ⎞ ⎤1 ⎡ 14 2 1 ⎛ 14 ⎞ ⎤=⎢∑ x i − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎥ =⎢∑ x i − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎥ =14 ⎝ i =1 ⎠ ⎥⎦n − 1 ⎢⎣ i =1n ⎝ i =1 ⎠ ⎥⎦ 14 − 1 ⎢⎣ i =11 ⎡12⎤(8,7 2 + 9,2 2 + 9,12... + 8,8 2 ) − (8,7 + 9,2 + 9,1 + ...
+ 8,8) ⎥ = 0,1646;⎢14 − 1 ⎣14⎦S x = + S 2 = 0,1646 = 0,4057.В электронных таблицах Microsoft Excel для подобных расчетов можнобыло бы воспользоваться следующими тремя статистическими функциями:СРЗНАЧ(8,7; 9,2; 9,1; 9; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8) = 9,2;ДИСП(8,7; 9,2; 9,1; 9; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8) = 0,164615;СТАНДОТКЛОН(8,7; 9,2; 9,1; 9; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8) =0,4057.Далее, в соответствии с описанным выше алгоритмом:1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что математическое ожиданиепоказаний Рh-метра равно Рh эталонного раствора (не имеют систематическойпогрешности) Н0: M1= 9 .2.
Альтернативная гипотеза выбирается в виде Н1: M1 ≠ 9, поскольку показания Рh-метра не должны как завышать, так и занижать истинное значениеРh раствора.3. Так как значение генеральной дисперсии σ2 показаний Рh-метра неизвестно, а имеется только ее оценка S2 = 0,1646, то используется t-критерий(распределения Стьюдента).4.
t - статистика имеет вид (см. (3.49))t=x−M9,2 − 9⋅ n=⋅ 14 = 1,84.S0,40575. Выбирается (обычный для большинстватехнических приложений)уровень значимости α = 0,05.6. При этом уровне значимости, числе степеней свободы m = n –1 = 13 идля альтернативной гипотезы Н1: M1 ≠ 9 устанавливаются границы критической913. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХобласти по табличным значениям квантилей распределения Стьюдента t0,05;13 =2,16 или их можно определить, воспользовавшись функцией СТЬЮДРАСПОБР(0,05;13) = 2,160368 из электронных таблиц Microsoft Excel.7. Поскольку рассчитанное значение статистики t = 1,84 не попадает вкритическую область (1,84 < 2,16), то нулевая гипотеза принимается в качестверабочей, т.е. можно считать, что M1 = 9 (вероятность того, что показания Рhметра имеют систематическую погрешность меньше чем 0,05).В задаче сравнения двух неизвестных математических ожиданий M1 и M2прежде всего рассмотрим ситуацию, когда исследуемые выборки, по которымделаются оценки для M1 и M2, независимы между собой.Если для двух нормально распределенных генеральных совокупностей снеизвестными параметрами M1, σ12 и M2, σ22 получены независимые выборкиобъемом соответственно n1 и n2, то для сравнения выборочных средних x1 и x 2выдвигается нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий:1.
Н0: M1 = M2 .2. При этом можно сформулировать три альтернативных гипотезы:Н1(1): M1 > M2; Н1(2): M1 < M2; Н1(3): M1 ≠ M2.3. Как и в рассмотренной выше ситуации сравнения с известным математическим ожиданием, используется t-критерий.4. Вид t-статистики зависит от того, равны σ12 = σ22 = σ2 либо не равныσ12 ≠ σ22 между собой генеральные дисперсии (для ответа на этот вопрос можновоспользоваться, например, рассмотренным выше критерием Фишера).В первом случае, когда дисперсии не имеют значимого отличия, статистика принимает видt=x1 − x 211S+n1 n2-(3.50)- двухвыборочный t-критерий с равными дисперсиями, где S – обобщенное среднее квадратичное отклонение (см. (3.46)):923. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХS=(n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S 22.n1 + n2 − 2Во втором случае, когда дисперсии значимо отличаются друг от друга,σ12 ≠ σ22 , статистика имеет видt=x1 − x 2S12 S 22+n1 n2-(3.51)двухвыборочный t-критерий с неравными дисперсиями.5.
В зависимости от условия решаемой задачи выбирается необходимыйуровень значимости α.6. Границы критической области устанавливаются по табличным значениям квантилей t-распределения (см., например, [11] или табл. П.6]) либо ихможно определить, воспользовавшись статистической функцией СТЬЮДРАСПОБР из электронных таблиц Microsoft Excel.
При этом число степеней свободы m рассчитывается:для σ12 = σ22 = σ2 как m = n1 + n2 – 2;c(1 − c ) , где c =1.=+m n1 − 1 n2 − 1s12 s 22+n1 n222для σ1 ≠ σ22s12n127. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что M1 = M2 при выполнении неравенств:•для альтернативных гипотез Н1(1): M1 > M2 ; Н1(2): M1 < M2t ≤ t 2α ,m ;•для альтернативной гипотезы Н1(3): M1 ≠ M2t ≤ tα , m .Пример 3.7. Проведены испытания механической прочности проб окатышей при использовании старой и двух новых технологий их обжига. Холоднаяпрочность окатышей обычно оценивается при испытании на раздавливание(кН/окатыш).
Обычно прочность определяют по результатам раздавливания неменее 20 окатышей размером 12-15 мм.Для иллюстрации процедуры проверки гипотез о числовых значенияхматематических ожиданий будем предполагать, что имелась возможность ис933. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХследовать всего по 8 окатышей для каждой из технологий. Результаты испытаний представлены в табл. 3.4.Таблица 3.4Результаты испытаний прочности окатышей,изготовленных по разным технологиям, кН/окатышНомерокатышаСтараятехнология x0i12345678xS22,112,121,972,102,172,121,932,282,100,0120Новаятехнология,вариант 1 x1i2,212,262,192,212,272,242,142,322,230,003029Новаятехнология,вариант 2 x2i2,212,222,082,192,242,212,062,312,190,0068x∆i = x1i – x2i00,040,110,020,030,030,080,010,040,001371Можно ли по полученным данным сделать вывод, что новая технологияпо варианту 1 позволяет повысить прочность окатышей?1.
Сформулируем нулевую гипотезу Н0: M1 = M0 .2. Поскольку предполагается, что новая технология по варианту 1 позволит повысить прочность окатышей, то альтернативная гипотеза выбирается ввиде Н1: M1 > M0.3. Будем считать, что выборки взяты из генеральных совокупностей снормальным законом распределения. Для того чтобы определить вариант статистики для t – критерия, сравним между собой соответствующие дисперсии.Для этого в качестве нулевой гипотезы примем Н0: σ12 = σ02 = σ2.
В предположении, что новая технология позволяет также снизить и разброс в значенияхпрочности (т.е. иметь и более стабильный технологический процесс), в качестве альтернативной гипотезы примем Н1: σ12 < σ02.СтатистикаF-критерия(критерияФишера)приэтомравнаF=0,0120/0,003029 = 3,96, и для построения критической области при α = 0,05находим F0,05;8-1;8-1 = 3,79 (по таблицам либо в Microsoft Excel через FРАС-943. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХПОБР(0,05;7;7) = 3,787051). Поскольку 3,96 > 3,79, то с вероятностью большейчем 0,95 можно говорить, что σ12 < σ02.4.
t - статистика в этом случае должна иметь вид ( см. (3.51))t=2,23 − 2,10= 3,00 .0,003029 0,0120+885. Как обычно, выберем уровень значимости α = 0,05.6. Для построения критической области рассчитаем число степей свободы:0,0302921 0,20 2 (1 − 0,20)8= 0,096883 ; m = 10,3.=+c== 0,20 ;0,03029 0,0120m 8 −18 −1+88Табличное значение t2*0,05;10=1,81 (СТЬЮДРАСПОБР(0,1;10) = 1,812462).7. Поскольку рассчитанное ранее значение статистики попадает в критическую область 3,00 > 1,81, то нулевая гипотеза Н0: M1 = M0 должна быть отвергнута, т.е.
новая технология по варианту 1 действительно позволяет повысить прочность окатышей.Вероятность ошибки подобного утверждения (ошибки первого рода, заключающейся в том, что отвергают нулевую гипотезу Н0: M1 = M0, в то время какв действительности эта гипотеза верна), т.е. уровень значимости α при этомможно оценить как СТЬЮДРАСП(3,00;10;1) = 0,006672. При расчете значенияфункции распределения Стьюдента в данном случае используется: найденнаяв пункте 4 статистика t = 3,00; определенное в пункте 6 число степеней свободыm ≈10 и такой параметр, как число возвращаемых "хвостов" распределения."Хвосты" = 1, и функция СТЬЮДРАСП возвращает одностороннее распределение, поскольку была принята односторонняя альтернативная гипотеза Н1: M1 >M0.Для определения найденного выше значения уровня значимости α =0,0067 в электронных таблицах в Microsoft Excel может быть использована такая статистическая функция, как ТТЕСТ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
