Шабров Н.Н. - Метод конечных элементов в расчётах деталей тепловых двигателей (1061803), страница 9
Текст из файла (страница 9)
1А = ~ Т(е)гс1г(1г; 7в — — ~ Т(е)1()ась.()г. (2.137) А(е) А(е) Предположим далее, что температура в элементе изменяется линейно, т. е. справедливо использовавшееся ранее соотношение Т( ) = — 7 ) Т( +. 7 еТ) + 1 .1Ти . (2.138) Для радиуса г(е) имеем зависимость (2.127). Применяя формулу интегрирования по площади треугольника и на основании (2.127) и (2.138), можно написать ~2 [11 72 ~.31 1 ~з ~„= ) (т(т,т„~ А(е) 2 1 1 г( 1(е) 1 2 1 1 1 2 I), (2.139) = ~Т, Т; Т ) Т; 7,= ~ 1.„11,).,).,) Т, А(е) Т, 1(е) — — 12 ~ Т,(1+ б„а).
(2.140) Окончательно получим 2 1 1 1 2 1 1 1 2 Г' 12 где б„а — символ Кронекера; а, р — (, ), /г, Выражение для блока вектора узловых сил, стагически эквивалентных действию объемных сил, запишется так: ГДе =- ~ Е.Л).6(Ь вЂ” 2п ~ ~ ~ ~ ~ г (1 (1з. (2.142) и(е) е (е) Г1р и условии постоянства вектора объемных сил в элементе и з а- висимости (2 . 1 38) дл я радиуса после и нтегр иров ан и я и о площади треугольника получим Так, например, пр и а = ( соотношение (2 . 1 43) преобразуется сле- дующим образом: (,) А(') Ф(+ 'т 'й) бе Ге'е) = 2)" )2 (2г(+ г;+ гд) 6, Для определения вектора узловых сил, статически эквивалентных действующей на элемент поверхностной нагрузке, предположим, что эта нагрузка действует на грань, для которой 7.) = = О.
При этом можно написать О~ О Е~ЛГ) (Ь = 2л Е,йГ; ' г й, (2,144) з(е) Е~Ж), е Ре Рг . , (е) Е,Л'у, ~/)е О О (2г~+ г),) р, (2г; 1- г„) р, ())+2г),) р, (г;+ 2г),) р, 2п2',. (е) Гр б (2.145) Подставляя в (2.144) зависимость для радиуса (2,127) и интегри- руя по стороне Ы))) при условии постоянства нагрузки, с помощью формулы (2.56) получим В случае, когда поверхностная нагрузка изменяется по линейному закону, на рассматриваемой стороне в соответствии с зави- симостью р, — 0 7., О (2.14б) интегрирование по стороне Я,'~' в (2.144) при учете зависимости для радиуса (2.127) дает результат 0 0 7., 7-з 0 7., 0 ~., 0 у(Е) /й Зу,-~-.
~ 0 г ук 2пы1е~ /й Зуу' 1- уа 0 у- — ~(- /~, (2.147) 12 у, -,'-у>, Зу~ Если поверхностная нагрузка на тороидальный элемент представляет собой нормальное давление, то для определения составляющих нагрузки по осям требуется вычисление направляющих косинусов внешней нормали к поверхности элемента. Совершенно ясно, что формулы для направляющих косинусов 12.87), полученные для плоского симплекс-элемента, пригодны для тороидального элемента с тем лишь отличием, что координаты узлов в осях х и ц заменяются соответствшшо координатами узлов в осях у и ~.
Глава 3 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА МКЭ В ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 3.1. РАЗРЕШАЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ МКЭ В ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ При решении задачи термоупругости необходимо знать распределение температурного поля. Следовательно, решению задачи термоупругости, как правило, предшествует решение соответствующей задачи теории теплопроводности. Задача теории стационарной теплопроводности является краевой задачей математической физики, которая сводится к решению дифференциального уравнения теплового баланса в области )У, занятой телом, при соответствующих краевых условиях на границе С.
В по ледующеи будем 56 (3. 1) (3.2) (3.3) дТ дх рассматривать краевые или граничные условия трех типов: на части границы Сг задана температура, на части границы С, задан тепловой поток интенсивностью д, на части границы С,, задан теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Так, например, для трехмерного случая краевая задача теории теплопроводности описывается следующими уравнениями в области 1/ и на границе Т ~с„=- Та' Ч ~с, (» д.
»+ Р д иУ+» д г) дТ дТ дТ й(Т вЂ” Т )3сь —..— (Э'» дх и» ' )у д иу+Х» д и»)~ (34) дт , дт дт где Т вЂ” температура; Я вЂ” внутренний источник или сток теплоты; Я вЂ” внутренний источник или сток теплоты, пропорциональный температуре; й — коэффициент теплоотдачи на границе С„; Т температура среды; Ч вЂ” тепловой поток на границе С; Х, Х„, Х, — коэффициенты теплопроводности в направлении осеи анизотропии; и„и„, п, — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности. Краевое условие (3.4) соответствует теплообмсну с внешней средой по закону Ньютона. Одним из путей решения краевых задач теории теплопроводности является минимизация некоторого функционала на множестве функций, удовлетворяющих краевым условиям этой задачи.
В отличие от функционала Лагранжа, который имеет ясный механический смысл, функционал для задачи теплопроводности, по-видимому, не имеет физической интерпретации. Таким образом, с вариационной точки зрения решение уравнения (3.1) при граничных условиях (3.4) эквивалентно нахождению минимума функционала = — ) (Х„( ) +Х,( — ) —.,( — ) — КТ') — ~ЦТсЬ+ ~юг(я ~ ~6( —,Т вЂ” Т ) Тс!э. (3.5) с сл Введем в рассмотрение матрицу-столбец градиентов температуры, которая дается соотношением угад Т = дТ ду дТ дг = 0Т, (3.6) И матрицу коэффициентов теплопроводности в виде л.
о о олу о о о л, (3.7) Здесь 0 — матричный дифферснциальный оператор; д дх д ду Для изотропного тела коэффициенты в матрице Н заменяются скаляром Л: Лх = Лу = Лг. Тогда с учетом соотношений (3.6) и (3.7) функционал (3.5) запишется так: )( = — ~ ра(1 Т'Н дга(1 Т сЬ вЂ” — ~ есТ' сЬ вЂ” ~ ЯТ сЬ + + 1()Т(15 -,- 1 пт(~ Т вЂ” Т )с1 . (38) с с„ Выражение (3.8) является исходным в общей процедуре МКЭ. Разобьем тело, ограниченное объемом $~, на конечные элементы и пронумеруем узловые точки. Получим х=- Х х", е где у(') = — ~ ига(1 Т(е)'Н дгас1 Тоо сЬ вЂ” — ~ Т(е)ЙТ(е) (1о— 1 ) — т~ 2 ) (е) (е(е) — Т()(.) сЬ ~- ~ Т(е)уй+ — ~ 6Т(е)Т(')сЬ вЂ” ~ Т()йТ с(з, (е) (е) (е) (е) С)е или дга(1 Т(') = В(е)а(') $1, (3.1 1) (3.91 По аналогии с (3.9) запишем интерполяционную формулу для температуры в конечном элементе Т(е) Я(е)а (е) ( ) (3.10) где 1.1 — глобальный вектор узловых температур.
Далее вектор градиентов температуры в элементе с учетом представления (3,10) будет дга(1 Тоо = ОХ(е)а(е)11, где В(') — 1)М(') введено для обозначения матрицы градиентов Подстановка соотношений (3.10) и (3.11) в (3.9) дает — 1('а(е)' ~ 1(1(о'д До )- 1Уа(е)' ~ Ы(~>'д Д» —,'- (е) с" 11'а(е)' ~ 1Ч()'й(')Ь сЬа(')%) — Б'а(')' ~ Ь1(е)7)Т„сЬ. 13.12) (е) с),') Обозначим Р(е) ~ 1 ~(о'1,1(е)й (е) (3.14) Р(е) ~ 1~1(е)'1,1(е)1~ у(Е) 13.15) Р (е) ~ 1)1(е) '~ Р(о ~ 11(е) ' с(') (е) (3.17) (3.18) Здесь Р(', Р)(,', Р)((' — соответственно матрицы теплопроводности, конвекции и поглощения конечного элемента; Г(), Г», Гь (е) (е) (е) векторы узловых тепловых сил, обусловленных действием соответственно внутренних источников теплоты, распределенной по поверхности С, теплового потока д и тепловой конвекции на поверхности С),.
Минимизация функционала )( приводит к уравнению б)(= ~ у"60 = О. д д() ~~~ е Б силу произвольности И) имеем (3.19) 59 Х = — 1)'а(')' ) В(')'НВ(') Доа(')1) — — 0'а(')' ~ Х(')М'М <Ьа(')1)в 2 р(Е) ) (е) Подставляя в (3.19) выражение для у(') из (3.12), после соответствук)щих преобразований получим ~„'а(" (Р(',— Р)(; — Р~~') аьо11 — ~,'а~ч'(Гьч Г(') ' Г(')) (3.20) е Р Введем по аналогии с (2.19) н (2.20) глобальные матрицу теплопроводности и вектор тепловых узловых сил всей системы: 3.2. СООТНОШЕНИЯ МКЭ ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Интерполяционное соотношение для температуры Т(') в двухмерном плоском симплекс-элементе запишется так Т(е) (Лг Лг Лг 1 (е(е) (3.24) где т (') =- а (') $.).
Функция формы Л(„(а = (', ), А) дается соотношениями (2.33) или (2.52). Вектор значений узловых температур ч(е) имеет вид Т; зе(е) = Т; Т), Для матрицы градиентов В(') можно в данном случае написать: д дх В(е) = (А(, Л(; Л'~) = (В) В, В),). ду По аналогии с (2,63) введем обозначение д дх д ду В„ (е) (3.25) 60 Р = ~ а(') (Р(' + Р~(,' — Р~~~ ~) а(", (3.21) е Г = ~,' а(') (Г~~~е) -'— Г~Е' + Г~~ ').
(3.22) е Тогда уравнение (3,20) с учетом (3.21) и (3,22) будет представлено Ри=г. (3.23) Матричное уравнение (3.23) представляет собой уравнение теплового баланса или теплового равновесия в узлах в форме метода конечных элементов, которые записаны в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений температуры в узлах. Подставим в (3.25) выражение для Лг„из (2.33) и после дифферен- цирования получим д дх [()а + бах + саф = ( ~ [ . (3.26) Ва д ду Матрица теплопроводпости конечного элемента размерностью (3 Х 3) дастся соотношением (3.14), которое в данном случае приводится к виду В; (') В; Н [В; В; Вь](' (1(), в' (3.27) е) (е) где н [' Рассмотрим блок матрицы теплопроводности, который имеет размерность (1 Х 1), т.
е. выражается в скаляр, поскольку в каждом узле имеется одна степень свободы. Итак, „) Рсаа '— ' е) Ва Н Ва ([о). (е) ) (е)' (е) л(') (3.28) р(е~ ( Подставляя в (3.28) выражения для Н и В,',", получим р се) сР/ 1 са)) (/) х Ьас))() + Хусайна) ( ), (3.29) Выражение (3.29) легко программируется, но прежде отметим следующее. Матрица теплопроводности Р, симметрична, поэто(е) му будем придерживаться принятой ранее стратегии программирования, т. е. вычислять симметричную часть матрицы и хранить ее в виде одномерного массива (рис. 3.1). Откажемся здесь от использования подпрограммы сортировки элементов матрицы в одномерный массив, поскольку речь идет о сортировке всего лишь одного числа, а не блока матрицы, и это проще сделать сразу вслед за вычислением элемента матрицы соответствующим оператором Фортрана.
Введем в рассмотрение одномерный массив С, в котором хранятся коэффициенты теплопроводности материала, (3.30) 61 Ниже приведен фрагмент программы вычисления элементов симметричной части матрицы Р(') и их размещения в одномерном массиве ЬЕ РО !И 11.=1,(ЧРЕ 1.— 11. э (11.— 1)12 РО ! И ) 1.= 1,11. Я =И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
