Шабров Н.Н. - Метод конечных элементов в расчётах деталей тепловых двигателей (1061803), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Решение уравнения (2.21) еще не есть окончательное решение соответствующей задачи теории упругости. Далее по известному полю перемещений требуется определить поле напряжений. Это осуществляется цепочкой следующих преобразований для всех конечных элементов: ц(е) Х(г) а(е) 1(. е(е) В(е) ц(е) . а(") = Н (е(') — е®). 2! Вводя здесь по аналогии с рассмотренным ранее примером глобальные матрицу жесткости и вектор узловых сил всей системы, получим К = ~ а(е)'К(е)а(е). (.1 ) 2. 9 2.м. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ*СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ СИМПЛЕКС-ЭЛЕМЕНТОВ (2.22) гр (х, у) = а, + агх + а,у и содержит три неизвестных коэффициента.
Это означает, что двухмерный симплекс-элемент для анализа скалярных полей должен иметь три степени свободы. Очевидно, что треугольник с прямолинейными сторонами и тремя узлами, расположенными в вершинах и содержащими по одной степени свободы, представляет собой двухмерный силтлегсс-элеменггг (рис. 2.1). Соотношение (2.22) в матричной форме запишется гр'г (х, у) = Фг' (х, у) а'", (2.23) где принято обозначение фг'1 (х, у) = [1 х у]; (2.24) ао а, ясно, что одной из основных концепций МКЭ является идея аппроксимации непрерывной функции (перемещение, температура и т.
д.) дискретной моделью кусочно-непрерывных функций, каждая нз которых определена на конечном элементе. Для аппроксимации обычно используются полные или неполные полиномиальные функции различного порядка. Количество коэффициентов аппроксимирующего полинома определяется числом независимых параметров или числом степеней свободы У конечного элемента, посредством которых искомая функция однозначно интерполируется в пределах элемента. () Как будет показано позже, порядок интерполирующего политкома не может быть ниже единицы.
Иначе говоря, самая простая (или симплекс) аппроксимация искомой:; функции~ в ,элементе осуществляется* линейным полиномом. Конечные элементы с такой аппроксимацией симплекс-элемент называются сгглггг геке-элементимгг, В предыдущей главе был рассмотрен одномерный симплекс- элемент с двумя степенями свободы и," и и,"~ в двух узловых точках. Там же были получены для него интерполяционные соотношения в виде функций формы Л'г ' и Лг,' ', представленные соотношениями (1.9). Ниже будут получены интерполяционные соотношения для двух- и трехмерного симплекс-элементов. Для двухмерного симплекс-элемента интерполяционный по- лином для искомой скалярной функции ср имеет вид Образуем вектор узловых значений ч" функции (Р" (х).
Подставляя координаты узлов х(), у() (р =- 1, 1, /г) элемента в соотношение (2.23), получим Ч'~ 1 х( у( ао (Р, = 1 х„у; ат (Рз 1 х), у), а., (2,26) Обозначим 1 х; у; Ф()= 1 х; у; 1 х(, д(, и разрешим соотношение (2.26) относительно вектора а(') . Получим а (е) . Ф (е) ((г) (2.27) Обратная матрица Фо всегда существует для невырожден(е)-' ного треугольника и определяется следующим образом: х~у; — х;д, х,;д; — х;у; Уй У( У( У.( 2А(е) з (2.28) х; — х(, х) — х, х;д„— х,)д, уя — 3!и х), — х; ф (е) о где А(') — площадь треугольника, связанная с определителем матрицы Фо(' соотношением 2,4(е) ( ф(е) ~ (2.29) Для того чтобы площадь треугольника А(') была положительной, необходимо в правой системе координат локальную нумерацию узлов элемента осуществлять против часовой стрелки. Г1ри этом начало обхода может быть произвольным.
Подставим выражение для а(') из соотношения (2.27) в формулу для определения (Р') (х) (2.23) и получим ((:(') (х) =- Ф(')(к) Ф(') ч('), (2.3О) Обозначим Я() =-ф()(х) ф() ', (2.31) где Х(') — матрица функций формы треугольного симплекс-эле- мента Я(е) 11)1(е) 1)1(е) 11(е)1 (2.32) ( ) )г (: учетом соотношения (2.24) и на основе (2,31) получим выра- жениЯ длЯ фУнкций фоРмы Уа ф = 1, 1, Й) конечного элемента Л'~",~ =,„(а(, + 1)ах + сау), (2.33) 23 где пр, Ь(), с() — коэффициенты Р-го столбца матрицы Фо .
Напри(е) -1 мер, для (-го узла имеем а; = х(у„— х„у;; Ь; = у; — у„; с; =- хл — х,. Значения для коэффициентов функций формы в других узлах получаются из (2.34) циклической перестановкой индексов. Итак, получено интерполяционное соотношение для двухмерного симплекс-элемента (р(е) (Х у) Я(е),е(е) (2.35) которое посредством функций формы Уа~) позволяет аппроксимировать искомую функцию в пределах элемента через ее значения Рис. 2.3. Трехмерный симплекс- элемент Рис. 2.2.
Илл~острация приближенного решения для,двух смежных двухмерных симплекс-элементов в узловых точках. Видно, что функции -формы линейны относительно координат. Искомая функция гр изменяется линейно между двумя любыми узлами и непрерывна в местах сопряжения конечных элементов, поскольку через две точки, общие для смежных элементов, можно провести прямую единственным образом. Так, например, на рис. 2.2 показано, что на отрезке, смежном для двух конечных элементов е и е — 1, функция (р будет непрерывна (р(е — ')(х, у) == — ср(')(х, у). Для трехмерного симплекс-элемента интерполяционный полином для искомой скалярной функции (р имеет вид (р(х, у, г) = а,+а,х+ а,у+ а,г (2.36) и содержит четыре неизвестных коэффициента.
Следовательно, трехмерный симплекс-элемент для анализа скалярных полей должен иметь четыре степени свободы. Тетраэдр с плоскими гранями и четырьмя узлами, расположенными в вершинах и имеющими по 2Ф одной степени свободы, представляет собой трехмерный симплекс- элемент (рис. 2.3). Соотношение (2.36) в матричной форме запишется так ((.(е)(х, у, г) = ф(е)(х, у, г) се(е), (2.37) где Ф (е) (х, у, г) =- (1 х у г], (2.38) а се(') — матрица-столбец неизвестных коэффициентов интерполирующего полинома. Образуем по аналогии с (2.26) вектор узловых значений ~е(е) элемента. Получим Я; Ут У)е у) 1 х; 1 х; 1 х„ 1, х) а, (2.39) ),,(е) Обозначим ф (е) о Разрешим (2.39) относительно сс(') и получим соотношение, совпадающее по форме с (2.27).
Обратная матрица Ф(') всегда существует для невырожденного тетраэдра. Запись элементов обратной матрицы Фо(' для тетраэдра в явном виде будет довольно громоздкой и здесь не приводится. В соответствующих программах, реализующих алгоритм МКЗ, обычно пользуются стандартными программами для обращения матриц. Однако в целях общности (е)-1 подхода полезно представить матрицу Фо в следующем виде: а; а) а), а, Ь; 1), Ь Ь( 1 еу(е) е ф (е) (2АО) с, с; с, с, й'; И; д), ~5 где а(п 6(), с)), д() (р = (, 1, К 1) — вычисленные каким-нибудь способом коэффициенты, Р') - — объем тетраэдра. Объем тетраэдра (е) связан с определителем матрицы Фр ' соотношением 6$'(') = / ф(') (, Лля того чтобы объем Ре) тетраэдра был положительным, необходимо в правой системе координат осуществлять локальную нумерацию узлов по следующему правилу.
Если смотреть на тетраэдр из вершины с номером 1, то обход узлов грани противолежащей вершины 1 должен быть сделан против часовой стрелки. Начало обхода может быть произвольным. Далее по аналогии с двухмерным симплекс-элементом имеем (( (е) (х, д, а) = ф(е) (х, д, а) ф(е) ч(е) Обозначим Я(е) ф(е) (Х д З) ф(е) (2.41) где Х(е) — матрица функций форм тетраэдального симплексэлемснта следующей структуры: 11(е) еЛ)(е) Л((е) е,.(е) ег(е)~ (2.42) В соответствии с представлениями (2.38), (2.40) и на основе (2 41) получим выражения для функций Л(~) (~ = (, 1', Й, 1) тетраэдра Л'()'~ =,,) (аа ~- Ь()х+ с(,д+ д()г) (2.43) Так же, как и в случае двухмерного симплекс-элемента, можно записать интерполяционное соотношение для тетраэдра ~(е)(Х, д, г) = Л(е) Ч(е), которое посредством функций формы (2.43) позволяет аппроксимировать искомую функцию в пределах элемента через ее значения в узлах.
Ясно, что искомая функция (р(') изменяется линейно относительно координат и непрерывна на смежных гранях соприкасающихся элементов. 2.3. СВОЙСТВА ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПОЛИНОМА ~6а'а(1о = ~6п'р((з-'- ~6а'6(1о, 5 У (2.45) где 6и — произвольная вариация вектора перемещений и 6а = = 1:)6н. Однако в МКЭ вариации перемещений произвольны только в узловых точках, а в пределах элемента вариации перемещений определяются интерполирующим полиномом 6ее(е) Я(е) 6.(е(е) (2.4б) На рис. 2.4 показано 6п(') для одномерного симплекс-элемента. Таким образом, в МКЭ равенство работ внутренних и внешних сил обеспечивается, вообще говоря, не на произвольных вариациях, а па произвольных вариациях заданной формы.
Поэтому действительный минимум полной потенциальной энергии не может 26 Сходимость. Вариационный принцип Лагранжа, использованньш для вывода уравнений МКЭ в форме (2.21), обеспечивает выполнение условий равновесия только в определенных пределах. Действительное же равновесие будет иметь место только тогда, когда работы внутренних и внешних сил на возможных перемещениях равны при произвольных вариациях перемещений, т. е. быть достигнут ни при каком числс разбиений на элементы, так как задание функций формы ограничивает число степеней своооды системы. Тем пе менее, чтобы гарантировать сходимость решения по МКЭ к точному решению при увеличении числа степеней свободы, необходимо удовлетворить некоторым требованиям, накладываемым на функции формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
