Шабров Н.Н. - Метод конечных элементов в расчётах деталей тепловых двигателей (1061803), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.10). Введем в рассмотрение радиус-вектор 1х точек, принадлежащих рассматриваемой стороне элемента, К = — хе, + уе,, (2.82) где е~ и е, — единичные орты координатных осей (рис. 2.10). Имеют место следующие соотношения: х-=Е,х;+ Е,,х„; ~ у — Е~у~ ~ Езу~. Е-координаты в соотношении (2.83) линейно зависимы, т. е. Ее + Ез = Выразим Ее через Е, и получим х = (1 — Е,,) х, -'- Е„.х~; у=(1 — Е) у,+Еу (2.84) На основе (2.83) и (2.84) видно, что имеется уравнение прямой линии, заданное в параметрической форме. В роли параметра выступает Е,.
Дифференцируя радиус-вектор К по параметру Е„ получим уравнение вектора касательной т (рис. 2.10) дй = (х, — х,) ее+(ук- у;) е,. (2.85) Уравнение для нормали п, (рис. 2.10) с учетом соотношения (2.85) запишется так т Х (е Х е ) е~ (У~ — У;) — ее (х~ — х.) ~ т Х (ех Х ее) ~ (,'(х — х.)е + (у — у )е где ~/ (х~ — х;) --, '(у~ — у,) =Ы;е. Соотношения для направляющих косинусов нормали определяются следующим образом: сов (пп е~) = п~ е~ = (у — у;)/2'ф; соз (п~~ ее) = п~ ' е2 -= (А~ ху)/2 ~~~ (2.8?) То~да на основании (2.87) можно написать выражения для состав- ляющих поверхностной нагрузки на стороне 2';»' (2.88) Составляющие на других сторонах определяются соотношением (2.88) при циклической перестановке индексов.
° Отметим следующее замечание. При выводе соотношения (2.88) мы, используя линейную зависимость 1.-координат, выразили Е, через 1, Иначе говоря, в качестве параметра в параметрическом уравнении прямой выбрали 1.„а не Ее. Это вызвано необходимостью построения внешней нормали, при котором нужно, чтобы направление вектора касательной т совпадало с направлением обхода линии, т. е. от 1' к А. Это, в свою очередь, требует, чтобы параметр в уравнении прямой изменялся от 0 до 1 при обходе линии от узла 1 до узла й. Этому требованию удовлетворяет Е, н не удовлетворяет 1, 40 2.6.
СООТНОШЕНИЯ МКЗ ДЛЯ ТЕТРАЗДАЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА В ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Для трехмерного симплекс-элемента интерполяциопное соотношение для поля перемещений запишется так: (е) (2.89) = [ЕаЛ) ЕзЛ' ЕаЛ)й Еай)) ч') Ц) где и; усе) и, Рис. 2.! 1. Обозначение степеней свободы в узле трехмерного симплекс-элемента Матричный дифференциальный оператор 0 для трехмерной задачи имеет вид д дх 0 О 0 ду 0 О д дт (2.90) ду дх О да д ду 0 о о т~ы') = а<')$3; Е, = О 1 0 0 0 1 Здесь а, и, и) — проекции вектора перемещений соответственно на оси х, д, г (рис. 2.11).
Функции формы )т'„(а = г', ), й, 1) даются соотношениями (2.43) или (2.57). Неизвестными перемещениями также являются компоненты вектора перемещений в узловых точках. Вектор узловых переменных и<') должен иметь следующую структуру: Тогда для матрицы градиентов В(') получим о о1 О ду 0 В(е) (Е,.Л'; Е,У. Е, Н), Е,Л",).
д — 0 дк ду д д д~ ду 0 д дг Введем обозначение В',) = — РЕзЛ'„, (2.91) где 0 дается выражением (2.90). Подставим в (2.91) выражение для Л'„(а — (', )', й, 1) из (2.43) и, выполняя дифференцирование, получим по аналогии с (2.64) 6 О О 0 с„О О 0 с(„ ! бу(е) ВИ (2.92) с„() „ 0 (1„ с(„0 В; в;- В) в' К (е) Н [В( В( В), В()(о (1о. (2,93) у(е) По причинам, изложенным ранее, рассмотрим подробнее выражение для блока матрицы жесткости КЦ размерностью (ЗХЗ).
На основании (2.93) имеем Каа = ~ Вй НВа сЬ у(е) (а, Я= Е, (, й, Х). (2.94) 42 Матрица Гука Н в трехмерной задаче теории упругости дается выражением (2.7). Для матрицы жесткости К(" трехмерного симплекс-элемента, размерность которой (12Х12), можно написать Подставляя в (2.94) соотношения для В(', Вр(", Н из ~(2.92) и (2,7), получим (е] кар = Хьаер+)с'еае(р "са р+""~а~р > (е+2(с) а е(р+М Ьр+)сс ср >Ьиср+)ес Ьр () +2)е) сиср+]еь Ьр+]'е(акр )'е(иср+)ссае(р (е+2)е) Ьиьр+(есиср+]ее(ие(р >.сиьр+аьиср ~~) ХСиь +) Ь„гр ас х ЬВ(е(е] (2.95 Проинтегрируем выражение (2.95) и для удобства программирования представим элементы матрицы блока Ки('р в форме, аналогичной (2.69) > ЬиЬр + рЬиЬр ).Ьаср + ](саЬр льас(р + )се1иьр $~йр = ХсаЬр + аЬаср ) саср + )(саср )сае4р + )се(аср + 36Е'(е) ) е(аьр + )(Ьае(р Ыаср —,- )(сас(р > с(ие(р + )(е(ае(р Р, (Ьиьр + саср + с(ас(р) о о -Е- о )с (Ьаьр 1- саср + "ас(р) о х о о 1( (ЬаЬр + сиср + е(ае(р) Х ) ° 1 (2.96) 361'(~) По аналогии с (2.70) определим для трехмерного симплекс- элемента двухмерный массив ВЕ ВЕ = с( с; сь с( 1 (2.97) с(( с() Щь с(( который предназначен для хранения ненулевых элементов матрицы градиентов В(').
Сопоставляя представления элементов матриц блоков Кар из (е) (2.69) и (2.96), видим, что подпрограмма 5Т1ЕГ совершенно без изменения годится для вычисления элементов матрицы блока Ки('р) трехмерного симплекс-элемента. Формальным параметрам ХОР, ВЕ, РЕТ будут соответствовать число степеней свободы в узле трехмерного симплекс-элемента, массив ВЕ, определенный соотношением (2.97) и Ре) — объем конечного элемента. 11о сравнению с плоской задачей все циклы в подпрограмме ЯТ1гг удлиняются на единицу, что соответствует добавлению новой строки и нового столбца в блоке Кир и нового слагаемого при вычислении (е) диагональных элементов блока. Все замечания относительно структуры матрицы жесткости двухмерного симплекс-элемента и способа ее хранения, высказанные при рассмотрении плоской задачи, остаются справедливыми и 43 Рис.
2. (2. Организация хранения матрицы жесткости трехмерного сим- плекс-элемента сортировки блока матрицы Кф трехмерного симплекс-элемента в одномерный массив ЯЕ. Фрагмент программы вычисления симметричной части матрицы жесткости К(') плоского элемента, приведенный на стр. Зб, используется без изменения для вычисления симметричной части матрицы жесткости трехмерного элемента. Для решения задач трехмерной термоупругости по аналогии с (2.72) введем матрицу-столбец ао') начальных деформаций конечного элемента с температурой Т~'~' (е) во (2.98) ~)7'(е). О 44 в данном случае. Во-первых, вычисляются только те блоки К„а, (е) которые составляют симметричную часть К( ), т.
е. с( ~ (3. Во-вторых, симметричная часть матрицы жесткости К(') хранится в виде одномерного массива ЯЕ по строкам 1рис. 2.12). Следовательно, и здесь требуется каждый вычисленный блок К(ха) сортировать в одномерный массив 8Е по соответствующей подпрограмме. Подпрограмма РКМЯЕ также годится совершенно без изменения для Воспользовавшись соотношением (2.Б), можно записать для трехмерного симплекс-элемента В; В; Гее ОТ(е) сЬ.
(2.99) ). (е) в' О Рассмотрим подробнее выражение для блока вектора Г,о (е) Гено)., =- ~ В(.' Нво<(о. )е(е) (2. 100) Подставим в (2.100) выражения В(', Н и ео из (2.7), (2.92) и (2.98) и проинтегрируем в предположении постоянства Т(') Получим ()„ Гео (,) Е (е) (1 — 2т) Г)Т ое (2.101) В случае линейно изменяющейся температуры в пределах элемента по аналогии с (2.75) можно записать интерполяпионное соотношение для Т(') в виде (2. 102) Т() =11., ~.е 7-е 7..) Подстановка (2.102) в (2.99) и вычисление интеграла при помощи формулы интегрирования (2.59) дает ()„ (2.1ОЗ) д где Т 4 (7) + Т, + Т, + Т,). Приведенный па стр.
37 фрагмент программы для вычисления вектора узловых сил Г,.' годится без изменения и для трехмерного симплекс-элемента с тем лишь отличием, что теперь РЕТ =- Р'), а двухмерный массив ВЕ определен для трехмерного симплекс- элемента в (2.97). 45 1 1 0 0 Т. Т; Т Т Вектор узловых сил Г~н'~, статически эквивалентный действию объемных сил 6, определяется по (2.17). Для трехмерного сим- плекс-элемента Е,Л('; Е,Л),. ЕзЛ'), ЕаЛ(, 6„(1и. (е(е) Для блока вектора Гц„можно записать (е) 6„1.„0 0 е',)=-) еее.
6е е,= ~ е /.. е )е(е) 6 )е(е) 0 О 1 Интегрирование по объему в случае постоянства в элементе дает 6, 6„(1о. 6, объемных сил 6 ( (е) 4 (2.104) 6, Для определения вектора узловых сил Г( ', статически эквивалентных действию распределенных по поверхности сил, пред- Рис. 2.13. К определению вектора единичной нормали к поверхности трехмерного конечного элемента положим, что поверхностная нагрузка Р действует на грань с т', = О. Тогда в соответствии с (2.16) можно записать Е3Л~( Е.„Л'; ЕаЛ)а ЕаЛ~( Ре Ру ((о), — Ре (2.105) А (е) 1 где А) ' — площадь треугольной грани тетраэдра, для которой г., =0.
Если распределенная нагрузка равномерная, то вычисление интеграла в (2,105) упрощается и с помощью формулы интегрирования для треугольника легко показать, что 03 Е,-7., ЕЗ7.„. Ез1 4 (2. 106) где О, — нулевая матрица размерностью (ЗХЗ), В том случае, когда поверхностная нагрузка изменяется по линейному закону, при вычислении интеграла в (2.105) удобно по аналогии с (2.80) воспользоваться следующим интерполяциопным соотношением: Р~ = [Е,.1.2 Е,,1., Е,,Е,1) Р~е р) Ре Ру Р (2.107) где обозначено Рк р„= — Р„(а = ), К 1). Ре ее Подставляя (2.107) в (2.105) и применяя формулу интегрирования для треугольника, получим Е,.~, Р,) Гр' —— Ез~-з [Е./~ Е,(.а ЕзМ г[о) Р), А(') Е,1,, 2Е,. Е, Е,. р; — Е, 2Е, Е,, р„ Е,.
Е,. 2Е, р, (2.108) <"ледует отметить, что при интегрировании в (2.106) и (2.108) объемные Ь-координаты соответствуют двухмерным 7.-координатам. Определим направляющие косинусы внешней нормали к поверхности элемента, на которой задано давление Р. Для определенности рассмотрим элемент на рис. 2.13, на одну из граней которого А)~ ) действует давление Р. Ясно, что направляющие косинусы нормали необходимы для вычисления составляющих распределенной нагрузки на оси глобальной системы координат. Введем в рассмотрение радиус-вектор К точек, принадлежащих Л)'), К =- хе1+уе, + ге,„ (2.109) 47 где е,, е...
е, — единичные орты координатных осей (рис. 2.13). Далее для А",) имеют место соотношения х =- 1 дх; + 1~х)' ) 1 (хь' У 1-)д + 1-~У )(. 1-здь 1(а( ) 1 2а) + 1-заlг~ (2.110) где Ь), Ь,, 1., — двухмерные 1-координаты треугольника А)'. (о Поскольку на грани А~" конечного элемента (рис. 2.13) объемная Л-координата Л4 —— -- О, то в (2.110) осуществлен переход к двухмернь)м Л-координатам. Используя свойство линейной зависимости Л-координат, выразим координату Л, через 1, и 1.а. Получим х — — х( '— (х; — х;) 1., — ' (х„— х;) 1.З; д =- д; + (д; — д;) 1.2+ О(~ -- у;) 1 „-; г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
