Шабров Н.Н. - Метод конечных элементов в расчётах деталей тепловых двигателей (1061803), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Эти требования в виде эвристических (е) Г Рис. 2.5. Изменение функций форм одномерного симплекс-элемента Рис. 2.4. Линейная интерполяция рсгиения и его вариации для одновременного сим- плекс-элемента критериев сходимости сформулированы в работе [121 и сводятся к следу|ощим двум соотношениям: ~, 'й," — 1, (2.47) а=1 У„'~ (Ар) = — 6 й (сг, р =- 1,..., т), (2,48) где и — число узлов конечного элемента; Аа — узловая точка конечного элемента; у а — символ Кронекера.
Первое соотношение (2.47) выражает отсутствие деформаций в случае перемещения элемента как жесткого целого. Второе соотношение (2.48) устанавливает тот факт, что функция формы Л'„ (е) в узле сс равна единице, а в остальных узлах — нулю. Это проиллюстрировано на рис. 2.5 для одномерного си,аплеке-элемента. Функции формы двухмерных и трехмерных симплекс-элементов, полученные ранее, удовлетворяют соотношениям (2.47) и (2.48).
Непрерывность. Настало время исследовать корректность равенства П= ~П<'~, (2.49) е поскольку все наши рассуждения при выводе уравнений равновесия системы в форме МКЭ строились на обоснованности равенства (2.49). Это равенство справедливо, если границы раздела между элементами пе дают никакого вклада в энергию П. Исследуем, каким требованиям гладкости должен удовлетворять интерполяциоппый полипом для соблюдения упомянутого выше условия. Рассмотрим функционал Лагранжа на примере двух конечных элементов, разделенных очень тонким слоем толщиной Лх, кото- 27 рый должен быть учтен в определяющих величину П интегралах.
В этом слое происходит плавный переход между равными значениями искомой функции ер в смежных элементах. Из рис. 2.б видно, что прежде чем потребовать отсутствие вклада в П от переходного слоя, нужно потребовать непрерывности производных на порядок меньше, чем те, которые входят в выражение для функционала П. В этом слу® чае высшие производные, входящие в П, будут иметь разрыв первого рода. Тогда при Лх — О разрыв будет сохраняться конечным и вклад в П исчезнет. 2.4. Е-КООРДИНАТЫ Ранее было показано, что перед формированием системы уравнений МКЭ требуется построить функции формы и вычислить интегралы от матричных функций ф дх для каждого конечного элемента.
При этом вычисления и нужные математические преобразования соотносились к глобальной системе координат, что вызывает некоторые неудобства. Во-первых, для определения функций формы элементов необходимо обращать Ух (е) матрицу Фо . Во-вторых, может случиться, что некоторые интегралы от матричных функций весьма непросто вычислить. Особенно это относится к трехмерным элех ментам. Введение локальной, т. е.
связанной с конечным элементом, нормализованной системы координат позволяет в значительной мере избежать перечисленных выдвух первых производных в тонком ше недостатков. Более того, при использовании локальной системы координат появляется возможность интерполировать не только искомую функцию, но также и форму конечного элемента. Л-координаты — это локальные нормализованные координаты для элементов треугольного и тетраэдального типов (рис. 2,7). 28 Они подробно описаны в работах (8, 191.
Отметим здесь кратко необходимые для дальнейшего сведения. Двухмерные Е-координаты определяются тремя относитель- ными координатами Е„Е„Еа. Каждая координата представляет собой отношение расстояния от выбранной точки треугольника до одной из его сторон к высоте, опущенной на эту сторону из про- тиволежащей вершины (рис. 2.7). Например, для точки В ко- ордината Е, будет Е1 — — в/Й.
1! Сдругой стороны, Е-коор1а динаты можно определить 1 6 как отношение площадей треугольников, па кото- 4 Ю рые разбит конечный эле- ,! мент точкой, к общей пло- .! щади элемента. Так, например, координата Е1 Рнс 27 Лнухмерные Е-координаты точки В на рис. 2.7 определяется через отношение площадей следующим образом: Е,=- А,!А, где А — площадь элемента, а А, — площадь треугольника Вф. В связи с этим определением Е-координаты называют еще коорди- натами площади. Для Е-координат справедливы соотношения з Е Е.=1; (2.50) Е„(Вв) = б„а (и, р =- К, !, Уг). (2.51) Из (2.50) следует, что Е-координаты линейно зависимы, Свойства Е-координат, которые даются соотношениями (2.50) и (2.51), позволяют представить их как функции формы треугольного сим- плекс-элемента й!! Е1~ йо Е21 ':~м Еи (2.52) или 1 Е, = — —,„(а, + Ь,.х+ с;у); ! (2.53) Еа = — — „, (а~+ Ььх+ с~у) 1 Если решить соотношения (2.53) относительно х и у, то можно по- казать, что х Е1хх + Еаху' ~ Езхд у Е1у! + Еау) + Еауй' (2.54) 29 а(Ь)с! Е;Е,ЕздА~ ) = ( +Ь+ с+2)(2А(') А (е) (2.55) и по поверхности двухмерного симплекс-элемента (2.56) где А(') — площадь элемента; Ы'(е) — длина стороны, вдоль которой вычисляется поверхностный интеграл.
Трехл(еряьк У-координаты определяются четырьмя относительными координатами Е„Е„ЕЗ, Е,. Каждая координата в данном случае представляет собой отношение расстояния от выбранной точки тетраэдра до одной из его граней к высоте, опущенной на эту грань из противолежащей вершины (рис. 2.8). По аналогии с двухмерными Е-координатами трехмерные Е-координаты можно определить как объемные координаты, т. е. как отношение объемов тетраэдров, па которые разбит конечный элемент точкой, к общему объему элемента. Например, из рис.
2.8 видно, что 11 (1~(е) Рис. 2.В. трехмср 1с е где )'(') — объем элемента, а коорданаты объем тетраэдра с вершинами в точ- кахВ,1,1,Й. Для объемных Е-координат также справедливы соотношения (2.50), (2.51), в которых а, р = 1, 1, й, Е Это свойство позволяет представить их как функции формы тетраэдального симплекс- элемента, т. е. (2.57) зо Соотношения (2.54) иллюстрируют, как при помощи Е-координат можно интерполировать форму элемента по его узловым точкам. Соотношения (2.54) линейны относительно Е-координат, следовательно, они определяют треугольник с прямолинейными сторонами и вершинами в точках интерполяции. При вычислении интегралов по объему или поверхности элементов от матричных функций типа тех, которые даются соотношениями (2.14) (2.17), целесообразно перейти к Е-координатам.
Тогда элементы подынтегральпой матричной функции будут являться степенными полиномами от Е-координат. Имеют место формулы для интегрирования по площади Если соотношения (2.57) решить относительно х, у, г, которые входят в выражения для У~' (и = 1, 1, й, 1) (2.43), то получим х =- ~,х; + 1.,х, + 1,х,. + 1.,х,; у=11у,+~- у~+г.у +~у,; (2.58) з = ~.1з;+ Е.2з~+ Е.зА~, + Ь~з~. Соотношения (2.58) интерполируют при помощи функций формы Е, (и — 1, ..., 4) форму линейного тетраэдального элемента по его узловым точкам. Здесь также при вычислении объемных интегралов вследствие замены переменной элементы подыптегральной матричной функции будут являться степенными полицомами от ~-координат.
Справедлива формула для интегрирования по объему а ь с~с -(е) а Ь.с ~~ оо а!Ь!с!сй ~ 1~'~~зЕ'4 1" ' =( -~- Ь + с Р с1+ З)~ 61 г(е) где Рч'> — объем элемента. (2.59) 2.6. СООТНОШЕНИЯ МКЭ ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА В ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Как известно, в теории упругости под плоской задачей подразумевают две сходные в смысле математической постановки задачи.
Это задачи о плосконапряженпом и плоскодеформированном состоянии. Рассмотрим операторные соотношения МКЭ на примере задачи о плоской деформации. В задачах и-мерной теории упругости (п = 1„ 2, 3) поле перемещений представляет собой векторную функцию. Интерполяционные соотношения МКЭ для задач теории упругости должны учитывать эту особенность. В этой связи следует отметить, что для аппроксимации векторных величин форма интерполяционного соотношения (2.9) сохраняется и при использовании двухмерного симплекс-элемента можно написать г и 1ио = 1ЕгА~ ЕР~ ЕР)г) ~~ (2.60) где Г1 01 ч(') =- аи 1); Е, =-- ~ 2 Здесь и — проекция вектора перемещений на ось х; и — проекция вектора перемещений на ось у. Функции формы Л'„(и = 1, 1, А) даются соотношениями (2.33) или (2.52).
В качестве неизвестных узловых значений выбираются компоненты вектора перемещений в узловых точках. Форма соотноше- 31 ния (2.60) накладывает определенное требование на структуру вектора ч('1 узловых значений конечного элемента. Этот вектор должен быть организован следующим образом: и; ч(е) = (2.61) В дальнейшем при построении матрицы жесткости К~'~ двухмерного конечного элемента в плоской задаче теории упругости нам потребуется матрица градиентов В'>, которая дается соотношением (2.11).
Поэтому определим матричный дифференциальный оператор Р для плоской задачи в виде 0= (2.62) Тогда для матрицы градиентов Вно получим д — О дх В(е1 == [Е,М; Е,.Л'~ Е,Л'д]. Введем обозначение — 0 О дд д (2.63) д ду Подставим в (2.63) выражение для У„из (2.33) и получим — 0 г а„+ б,,х+ с,ху ' О О а„+Ь,„х+с у 12А'~ В (е) 0 ду д д ду дх д ду д дх д 0 ду д д ду дх После выполнения дифференцирования окончательно получим Ь (2.64) с„Ь„ Матрица Гука Н в задаче о плоской деформации будет иметь вид Х вЂ”,2лл Х О Н =- е 1+2(л О (2.65) О (л где Х, 1л — постоянные Ляме. Матрица жесткости К(') конечного элемента дается соотношением (2.14), которое в данном случае плоской задачи приводится к виду В,' Н (В, В( Вл)(')г(().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
