Шабров Н.Н. - Метод конечных элементов в расчётах деталей тепловых двигателей (1061803), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В значительной мере этот недостаток ощущается при анализе трехмерных векторных полей. Применение итерационных методов позволяет полностью использовать свойство разреженности матриц, поскольку алгоритмы этих методов не порождают новых ненулевых элементов и структура матрицы сохраняется. Одно из главных достоинств итерационных методов в сочетании с МКЗ заключается в том, что они допускают организацию алгоритма решения, при которой опускается операция формирования глобальной матрицы системы уравнений МКЭ. Это обстоятельство имеет большое значение при использовании конечных элементов с большим числом степеней свободы и послужило одной из причин развития градиентных методов при конечно-элементном анализе (25). К недостаткам итерационных методов относятся плохая или медленная сходимость для плохо обусловленных задач. Плохая обусловленность матрицы системы уравнений МКЗ встречается в разной степени и вызывается разными причинами.
Одна из них — большие различия в жесткостях структурных компонентов в неоднородной конструкции, Неудобство итерационных методов также состоит в том, что для больших задач требуется большое число обращений к периферийной памяти ЗВМ. 8.2. МЕТОД ХОЛЕЦКОГО Метод Холецкого является прямым методом решения системы линейных алгебраических уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей. Существуют два варианта метода Холецкого, один из которых имеет второе название, известное в литературе как метод квадратного корня.
Не останавливаясь на анализе метода квадратного корня, перейдем к обсуждению второго варианта метода Холецкого, принятого здесь в качестве основного прямого метода решения систем уравнений МКЭ. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений К13=Р, (8.1) где К вЂ” симметричная, положительно определенная матрица, Для матрицы К справедливо следующее представление: К = ЕР1.', (8.2) где 1 — нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали; 0 — диагональная, положительно определенная матрица. 126 Выражением (8.2) определяется так называемый процесс декомпозиции матрицы К в тройное матричное произведение. Предположим сначала, что матрица системы уравнений полная и плотная.
Тогда алгоритм для вычисления элементов нижней треугольной матрицы Ь и диагональной матрицы 0 будет представлен следующими формулами (22!: !' — ! К!,! Км Е К!п!!и (8.3) и=-! К!! = «.А; (8.4) ! †! 1! = Ки — ~.", Кь1;., (8.5) где К!и 1!з д! — элементы матриц К, Ь и 0 соответственно; К!; — вспомогательные переменные, введенные с целью сокращения числа промежуточных умножений (221; у = 1, ..., (! — 1).
Как видно, в этом варианте метода Холецкого отсутствует операция извлечения квадратного корня. Работа алгоритма сводится к последовательному выполнению д! шагов, где Л' — порядок решаемой системы уравнений. К началу выполнения !-го шага уже определены в соответствии с (8.3) — (8.5) элементы матриц Ь и 0 исключительно до с-й строки. Вычисления на с-м шаге декомпозиции матрицы К сводятся к определению ! — 1 вспомогательной величины К„в соответствии с (8,3) и дальнейшему пересчету их на основании (8.4) в элементы матрицы Ь с одновременным накоплением суммы в (8.5).
!-я строка матрицы Ь, элементы которой подлежат определению на !-м шаге декомпозиции, называется активной строкой, а !-я строка той же матрицы, элементы которой уже определены к началу !-го шага декомпозиции, называется пассивной строкой. Из (8.3) видно, что для определения промежуточных величин К!,. в !-и активной строке не требуется знания аналогичных величин в предыдущих пассивных строках.
В связи с этим вычисление значения элементов матрицы Ь можно размещать на месте соответствующих элементов матрицы К. После завершения процесса декомгозиции находится решение системы уравнений (8.1). На основании представления (8.2) система уравнений (8.1) запишется так: ЬОЬ'Ь1 = Г. Для удобства решения системы уравнений в форме вспомогательный вектор 7 (221 РЬ'Ы = 7. Тогда система уравнений (8.6) распадается на две пений: Ь7= г; Ь'Ь( = 0 "7, (8.6) (8.6) вводится (8.7) системы урав- (8.8) (8.9) !27 (8.1 1) последовательное решение которых дает решение основной системы (8.1). В связи с тем, что матрица 1. треугольного типа, то первое уравнение системы (8.8) содержит одну неизвестную д,, которая сразу же может быть найдена. Второе уравнение системы (8.8) содержит две неизвестных д, и д„одна из которых д, определена в первом уравнении.
Следовательно, второе уравнение содержит опять одну неизвестную, которую можно найти простой подстановкой. Г1родолжая этот процесс дальше, до У-го уравнения, можно найти промежуточное решение 7. Решение системы уравнений (8.8) называется в литературе прямым ходом. Анализируя процесс решения системы уравнений (8.9), можно заметить, что он соответствует описанному выше, с той лишь разницей, что выполнение его осуществляется в порядке обратного просмотра уравнений начиная от У-го к первому, Решение системы уравнений (8.9) называется в литературе обратным ходом. Алгоритм для вычисления компонент решения на прямом и обратном ходе дается следующими формулами [221: ! — ! д; = Е! — ~ 1!„д„(! = 1, ..., У); (8.10) а=.- ! Л' и; ==- — ' — ~ 1,!и! (! =.
Л', ..., 1). 1! и=!+! " Из (8.10) и (8.11) видно, что промежуточное решение У и окончательное 11 можно размещать на месте правой части системы уравнений (8.1). Приведенный здесь алгоритм метода Холецкого должен быть пересмотрен с учетом принятой ранее профильной схемы хранения элементов глобальной матрицы К системы уравнений (8.1). При этом необходимо учесть, что суммирование в (8.3), (8.5), (8.10) и (8.11) следует начинять с первого ненулевого элемента в строке. Компоненты суммы в (8.3) представляют собой произведения двух элементов матрицы, находящихся в разных строках, но в одном столбце.
Поэтому суммирование в (8.3) нужно начинать с первого ненулевого элемента той строки, в которой ему соответствует больший номер столбца. Очевидно, что профили матриц К и Е совпадают. В практике инженерных расчетов часто бывает необходимым выполнять анализ работоспособности конструкции при различных вариантах нагружения.
В этом случае глобальная матрица системы уравнений не изменяется от варианта к варианту и процедура декомпозиции может быть выполнена один раз. Решение нестационарных задач с постоянным шагом по времени также приводит к системе уравнений с неизменной матрицей, но с различными правыми частями. В связи с этим удобно определить функциональную структуру алгоритма решения системы урав1с8 ВОВ1(ООТ11вЕ 5СРЕС ()ЧРР,ВО,Р Р1МЕг'5!ОЫ г РР(1),ВСЕ(!),Рй(!) РО 100 1=1,511 К 1С=-1-1-1 — 14РР(1) 1Г (1.ЙТ.1) 1С=!С+Р)РР(1- — !) РО 200 3=!С,! !С--,!+ ! — МРР(Л) 1Г (3.6Т.1) ЛС=,)С+р)Р13(а — 1) 1=3 — 1 М -1С 1Г(ЗС.ОТ.
1С) М=ЗС ХРЕ= (ЧРР(1) — (1 — 3) Х= 50(5)РЕ) 1Г(1.ЕЯ.З) 00 ТО 210 1Г(1.— М) 310,320,32И 326 РО ЗИИ Х=М,Ь МР1= а(РР(1) — (! — )Ч) ЗИИ Х=Х вЂ” 50()ЧР1) е 50()4РЗ) 31И' 50(КРЕ)=-Х 00 ТО 2ИИ 216 1Г(1.— М)416,420,426 426 РО 400 Ы- М,1 Р(Р1= МРР(1) — (! — 5)) У= 30(ХР1) Я=У:в РО(1)) 50(~Р1)=г 400 Х==Х вЂ” У в Е 410 1Г(Х) 430,440,430 446 %К)ТЕ(3,566) 1 ВТОР 430 Р О(!) = 1.,~Х 20И СОМТ1ХГЕ 100 СОМ Т!%)Е 506 ГОРМАТ (!Н1,15Х,'ДИАГОНАЛ э!4,'РАВЕН НУЛЮ') КЕТО!!)Ч ЕХР 0,)ЧЬЕ) ЬНЫЙ ЭЛЕМ ЕНТ )Ч=З' Подпрограмма 8СОБС предназначена для определения элементов нижней треугольной матрицы Ь и диагональной матрицы ь! из (8.2).
Бходными данными подпрограммы являются массив адресов диагональных элементов МРЬ1, массив 86 для хранения профиля матрицы К и параметр ХЬК, соответствующий порядку системы уравнений. Выходными данными подпрограммы являются массив Яй, где размещен профиль найденной матрицы Ь, и массив Т)Св, в котором хранятся элементы диагональной матрицы Р. Чтобы начать суммирование в (8.3) с первого ненулевого слагаемого для каждой из двух строк 1 и Л матрицы К, определяются номсра столбцов первых ненулевых элементов 1С и )С.
Таким об- 5 1пабров н. н. 129 пений двумя программными модулями, первый из которых реа- лизует процесс декомпозиции матрицы в произведение вида !8.2), а второй реализует прямой и обратный ход в соответствии с (8.10) и (8.1 1). разом цикл по столбцам Л на 1-м шаге декомпозиции в подпрограмме ЯССЕ(: получается укороченным, Рис. 8.1 иллюстрирует один из шагов процесса декомпозиции матрицы при профильной схеме хранения, структура которого определена конечно-эле- Рис. 8.1.
Схема вычислений на шестом шаге деком- позиции по методу Холецкого дР0~~3 5 13 151 Рис. 8.2. Компоненты преобразования матрицы по методу Холец- кого и организация хранения исходной матрицы ментным представлением стержневой системы на рис. 8.2, моделирующей перенос теплоты, 31)ВКОСЬ)Т1г(Е ЯСНО(.(ИРЭ,ЯЙ,ОО,ГО,)Ч( Е) шмВ:ч81ом 1чР(э(Ц,ЗО(Ц,Ьс1(Ц,РО(Ц 110 100 )ВИВТ=1,2 ОО ТО(110,!20),ЫБТ 110 ЭО 200 1= 1,1Ч) Я М= 1+ 1 — 1Ч ЭЭ(1) 1Р(1.ОТ, Ц М=М+КРР(1 — Ц 1.=- 1 — 1 1Е(1.— М) 20И,31И,310 130 310 ОО 300 К=-М,(. Ь(РЕ=-Ь)Р1)(1) — (1 — К) 300 ГО(1)=ГС(1) — ЬО(ЯРЕ) е ГО(К) 200 СО(х(Т1х)УЕ ОО ТО 130 120 1)О 400 1=!„К1.Н 14=1+)Ч1 Р— 1 М= 14+ 1 — х)РГЗ(11) 1Г(~~.ат.1) М=М+)ЧРТ1(М вЂ” 1) 1.= )Ч вЂ” 1 1Г(1.— М) 400,410,410 410 ОО 500 К=-М,1 )чРе - мР0(14) — (ь) — К) 500 ГО(К)=ГО(К) — БО()ЧРЕ) х ГО(Ч) 400 СОГ4Т1)ЧУЕ 130 ЙО ТО(140,100),1Ч5Т 140 ОО 600 1=-1,)Ч(.К 60И Гй(1)=ГО(1) х БО(1) 100 СОЬ)Т1Ч13Е КЕТ1'КМ ЕЧО Подпрограмма ЯСЯОЬ служит для реализации прямого и обратного хода в соответствии с (8.10) и (8.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
