Шабров Н.Н. - Метод конечных элементов в расчётах деталей тепловых двигателей (1061803), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1. Для формирования профиля матрицы К1в1 должен быть организован цикл по базовым конечным элементам. Такой цикл легко организовать при помощи двух вложенных циклов по участкам разбиения вдоль осей ~ и т). Затем при вычислении симметричной части матрицы базового конечного элемента следует обратиться к фрагменту программного модуля, приведенного на стр.
78, предварительно сформировав массивы глобальных Д "1 Рис. 7.4. Порядок нумерации узлов линейного (а) н квадратичного (б) конечных элементов в пределах сетки макроэлемента координат узлов элемента ХРЕ и т'РЕ, массив узловых значений температур ТРЕ и массив глобальных номеров узловых точек элемента )х(Ъ'Е. Следует учесть важное замечание. В принятом алгоритме обход узловых точек сетки макроэлемента осуществляется слева направо по строкам и сверху вниз по столбцам сетки (рис.
7.4), а локальная нумерация узлов четырехугольного конечного элемента производится начиная с левого нижнего узла против часовой стрелки. Для обеспечения соответствия между номерами узлов сетки и узлов конечного элемента вводятся два одномерных массива )х)Ъ'1 и ХЧ2 соответственно для конечного элемента первого и второго порядка. Элементами этих массивов являются локальные номера узлов конечных элементов, упорядоченные в соответствии с принятым направлением обхода узлов сетки (рис. 7.4). Далее приводится фрагмент программного модуля для формирования массивов ХРЕ, УРЕ, ТРЕ, ИЪ'Е. ЭД ТЛ МЪ'1 14,3, 1,2 ', е (чЧ2 74,7,3,8,8,1,5,2! МХ= )АХ+ ! 1Г ()ЧРЕ.ЕЯ.8) МХ=2 е (4Х + 1 00 2ИИ (41= 1, ЧУ 1Г (ЯРЕ.Е©8) ОО ТО 2!И МУР— 1'х ! МУ 1.
=- !ч 1-т- 1 ОО ТО 22И 121 210 МУР=--2э(Х! — !)+1 МУ1=2 э Х1+1 220 РО 200 Х1=1,ХХ 1Г(ХРЕ.ЕЯ.8) 00 ТО 230 МХГ=- ХЗ МХ 1=- ХЛ+ 1 ОО ТО 240 230 МХГ=2 э (Х.! — 1)+1 МХ 1.=2 э ХЗ+ ! 24И ХРЕ =- И РО ЗИИ 1=МЪГ,МУ1- Х=1 — 1/2 э 2 РО 350 Л=МХГ„МХ1. М=З вЂ” Й2 э 2 1Г (ХРЕ.ЕЯ,8.АХР.Х.ЕЯ.И.АХР.М.ЕЯ.И) ОО ТО 350 ХР1.= ХР1.+ ! 1Г (ХРЕ.ЕЯ.8) ОО ТО 350 ХРМ=ХУ1(ХР1.) ХРГ=(1 — !) э МХ+Л 60 ТО 370 36И ХРМ= ХЖ2(ХР1 ) ХРГ=(! — 1) э МХ+Я вЂ” 172 з ХХ 1Г (Х ЕЯ 0) ХРГ=ХРГ+ХХ вЂ” З72 370 ЧЧЕ(ХРМ)=ХХ1.(ХРГ) ХРЕ(ХРМ)=ХБ (ХРГ)1, У РЕ(ХРМ) = ЮЗ (ХРГ) ТРЕ(ХРМ) = ТЬ (ХРГ) 350 СОХТ1Х13Е ЗИИ СОХТ1Х()Е Подпрограмма ЕКМЯЯ предназначена для формирования профиля матрицы макроэлемента с размещением его в массиве 8Я.
ЮВАО(1Т1ХЕ ГЯМББ(ХРГ„ХРЕ,ХЧ1,ХРА,ЗЕ,ЬЗ) Р!МЕХЯ10Х ХЧ1.(!),ХРА(!),ЬЕ(1),83(1) РО !И 11 — 1,ХРЕ РО 1И К=1,ХРГ 1Е=-ХРГэ(11.— 1) )-К 1З=ХРГ ~ (ХУР(11) — !)+К ХСВ=ХРГ РО 20 .11. — 1,11. 1Г (1Ь.ЕЯ.Л1.) ХСВ=К РО 20 1.= 1,ХСВ ЛЕ=ХРГ э (31.— 1)+ 1. ЛЯ= ХРГ э (ХЧ1.(З 1) — !).+ 1. ХР1.— --!Е « (1Š— !)/2+ЗЕ 1Г (15 — 35) 30,40,4И 30 ХР6= Х РА(З 8) — (3 3 — 1Я) ОО ТО 50 40 ХРО=ХРА(15) — (1Я вЂ” ЛБ) 50 ББ(ХРО)=--55(ХРО)+БЕ(ХР1.) 20 СОХТ1Х()Е 10 СОХ Т1Х(1Е ВЕТЕР,Х ЕХР Обращение к подпрограмме ГВМУ следует сразу после завершения формирования массивов РЕ и ЯЕ, в которых хранятся 122 соответственно вектор узловых сил и симметричная часть ма- трицы жесткости или теплапроводности базового конечного эле- мента.
Выходными параметрами подпрограммы ГКМББ являются одномерный массив 5Я, 7 В 9 15 ггг [г~яГг гз ггг Ггтг Г~дг ~] ЧЕг 1 71 1Ф ИВ 1В 151 Л7В 711 1Б' В 2 5 4 5 Б 7г'И 'г'ВМ 2 км) ю Рис. 7.5. Организация формиронания глобальной матрицы при сегмент- ном хранении профиля 2. После окончания шага в цикле по макроэлементам доступная оперативная память преимущественна занята массивом ЯБ и ее перед началом обработки следующего макраэлемента требуется освободить. Освобождение памяти происходит в результате пересылки элементов массива с~5 в соответствующие сегменты массива Ьб, где хранятся элементы профиля матрицы системы уравнений МКЭ, Как отмечалось ранее, работа с сегментами 123 7 г 5 г в в ,и 12 75 1й гв 1В ВР 1 1 2 2 РВ У Я 1г' 2В 22 ге дл гг5 55 В7 75 вв 11гг1 7.4.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛОБАЛЬНОГО ВЕКТОРА РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО ПОВЕРХНОСТИ НАГРУЗКИ Концепцию макроэлементов можно распространить на вычисление глобального вектора распределенной по поверхности нагрузки. Для наглядности изложения в качестве распределенной нагрузки возьмем функцию теплового потока о и рассмотрим пример на рис. 7.2. Если закон изменения теплового потока близок к полиномиальному, то для его задания на поверхности макроэлемента можно воспользоваться одномерными функциями формы (7.2) где Π— значение функции теплового потока в точках интерполяции, Грань макроэлемента, а также распределение температуры на этой грани можно также интерполировать при помощи одномерных функций форм х = ~, Л~б Д) хб; б ~= Е~Ч ($)Уб1 Т= ~У,Д)Т,.
(7.3) Порядки функции форм в формулах (7.2) и (7.3) не обязаны совпадать, Для задания места действия и закона изменения нагрузки вводятся два двухмерных массива МВР и ЧВР. Массив МВР содержит информацию о месте действия нагрузки, а массив ЧВР содержит значения нагрузки в точках интерполяции. Пятый 124 требует обращений к периферийной памяти ЭВМ, число которых желательно уменьшить. Очевидно, число обращений к периферийной памяти будет минимальным, если осуществлять пересылку элементов профиля матрицы макроэлемента К'в> по строкам начиная с первой. Для этого требуется ввести дополнительный одномерный массив ХХТ глобальных номеров узлов сетки макроэлемента, элементы которого упорядочены в порядке возрастания.
Из простого примера (рис. 7.5) видно, что пересылка элементов профиля матрицы макроэлемента из массива Ь5 в соответствующие сегменты массива Ыл на основе данных массива МКТ требует трех обращений для последовательного вызова 1, 2 и 3 сегментов в оперативную память, в то время как пересылка на основе данных из массива МКО требует четырех обращений для вызова 1, 3, 2 и 3 сегментов.
элемент каждого столбца массива МВГ содержит номер макро- элемента, на поверхности которого задана нагрузка. Каждому макроэлементу соответствует определенный порядок обхода его узловых точек, в результате которого неявно задается нумерация сторон этого макроэлемента. Следовательно, для идентификации стороны макроэлсмента, на которой задана нагрузка, можно использовать любое целое, не равное нулю число, расположенное в строке массива МВг с номером, совпадающим с номером стороны. В качестве значения этого числа удобно выбрать адрес соответствующего столбца в массиве Ъ"ВГ. Глава 8 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ МКЭ 8.1.
О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ МКЭ Как было показано ранее, решение задач методом конечных элементов сводится к решению систем алгебраических уравнений. Линейные задачи порождают линейные системы уравнений. Число уравнений в этих системах может достигать нескольких тысяч, поэтому выбор и организация алгоритма решения системы уравнений МКЭ имеют болыпое значение для эффективности практических расчетов. Характерной особенностью матриц рассматриваемых здесь систем уравнений является то, что они всегда симметричны, положительно определены и имеют редкую заполненность.
Высокие порядки, а также свойство разреженности матриц систем уравнений МКЭ делают невозможным эффективное применение стандартных методов решения, разработанных для полных и плотных матриц. Развитие МКЭ стимулировало появление новых и усовершенствование классических методов решения задач линейной алгебры с учетом процедуры дискретизации в МКЭ [211. Основные тенденции в развитии методов решения больших систем уравнений с редкими матрицами сводятся к использованию свойства редкой заполненности для сокращения числа арифметических операций и уменьшения времени обмена данными между оперативной и периферийной памятью ЭВМ, С уменьшением времени обмена данными тесно связана проблема организации хранения данных в периферийной памяти.
Современная литература изобилует различными предложениями решения этой проблемы ~21, 421. Организация хранения данных и стратегия программирования во многом зависят от выбора метода решения системы уравнений. Анализ прямых и итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений МКЭ показывает, что они имеют различные возможности и потенциальные преимущества 125 друг перед другом при рассмотрении больших копечно-элементных структур. Прямые методы имеют то преимущество, что число арифметических операций, необходимое для получения решения, всегда конечно и может быть оценено заранее, Их недостаток состоит в том, что они лишь частично, правда в разной степени, используют свойство редкой заполненности матрицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
