Сагдеева Ю.А., Копысов С.П., Новиков А.К. - Ввеление в метод конечных элементов (1061801)
Текст из файла
Ю. А. Сагдеева, С. П. Копысов, А. К. НовиковВВЕДЕНИЕ В МЕТОД КОНЕЧНЫХЭЛЕМЕНТОВИжевск2011Министерство образования и науки Российской ФедерацииГОУВПО «Удмуртский государственный университет»Математический факультетЮ. А. Сагдеева, С. П. Копысов, А. К. НовиковВВЕДЕНИЕ В МЕТОД КОНЕЧНЫХЭЛЕМЕНТОВМетодическое пособиеИжевск«Удмуртский университет»2011УДК 519.62(07)ББК 22.193.22я7С 138Печатается по решению учебно-методического совета УдГУЮ.
А. Сагдеева, С. П. Копысов, А. К. НовиковС 138 Введение в метод конечных элементов: метод. пособие.Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет». 2011. 44 с.Методическое пособие предназначено магистрам первого курса математического факультета по направлению «Прикладная математика и информатика», изучающим годовой курс «Проекционно-сеточные методы». Теоретическая часть пособия охватывает разделы курса, читаемые в первомсеместре, содержит примеры постановок задач и лабораторных работ.УДК 517.9ББК 22.161.6c Ю.
А. Сагдеева, С. П. Копысов, А. К. Новиков, 2011c Изд-во «Удмуртский университет», 2011СодержаниеПредисловие6Основные обозначения и сокращения31 Проекционный и вариационный подходы42 Основные понятия МКЭ83 Одномерный элемент с кусочно-линейными базиснымифункциями104 Пример125 Реализация МКЭ в одномерном случае166 Линейный треугольный элемент177 Аппроксимация векторных величин208 Применение треугольных конечныхэлементов в задаче теплопроводности219 Применение четырехугольных конечныхэлементов в задаче упругости2710 Примеры задач3411 Примеры заданий к лабораторным работам35Литература395ПредисловиеНастоящее издание является частью учебно-методических разработок,проводимых на кафедре «Вычислительная механика».
Цель издания —привести краткие сведения о методе конечных элементов, достаточные длярешения задач, на примере ознакомить студентов с этапами решения методом конечных элементов, подготовить базу для выполнения лабораторныхработ по курсу «Проекционно-сеточные методы».В пособии приводятся основные идеи метода и способы их реализации.Оно предназначено для первоначального ознакомления с методом. Материал, представленный в пособии, традиционно входит в учебники и монографий по проекционно-сеточным методам.
Однако в большинстве книг значительное внимание уделяется теоретическому обоснованию. Данное пособие носит практический характер. Имеющиеся в монографиях программыдля метода конечных элементов в основном опираются на язык Фортран.Представленные в пособии алгоритмы для программной реализации метода не привязаны ни к одному из языков программирования.Издание состоит из 11 разделов и списка литературы. В первом разделе кратко изложены проекционный и вариационный подходы к методу конечных элементов, далее рассматриваются основные понятия методаконечных элементов для одномерных и двумерных задач. Подробно показывается пример решения одномерного дифференциального уравненияметодом Галеркина. В разделе шесть описывается линейный треугольныйэлемент и введена естественная система координат.
Далее показано представление векторных величин в методе конечных элементов. Приведеныалгоритмы для программирования метода конечных элементов для одномерных и двумерных (треугольный и четырехугольный) конечных элементов.Пособие содержит образцы постановок лабораторных работ и практических заданий, выполняемых в ходе курса.Методическое пособие может быть использовано при написании лабораторных, курсовых и дипломных работ по методу конечных элементов.6Основные обозначения и сокращенияK — глобальная матрица жесткости (матрица СЛАУ);k e — элементная матрица;Ni — функция формы, базисная функция;u — неизвестная функция; перемещение;φi , ψi — базисные функции;L — линейный дифференциальный оператор;ū — приближенное решение;R — невязка;wi — весовые функции;e — конечный элемент;V — область, на которой решается задача;Γ, S — граница области;ui = u(xi , yi , zi ) — значение функции в узле сетки; Pαi — неизвестные коэффициенты в разложении ū = ni=1 αi Ni ;J — матрица Якоби;Li — L-координаты;T – температура;ε = (εxx , εyy , εxy )T — вектор деформаций в плоском случае;σ = (σxx , σyy , σxy )T — вектор напряжений в плоском случае;u = (ux , uy ) — вектор перемещений.МКЭ — метод конечных элементов;КЭ — конечный элемент;ЕСК — естественная система координат;ЛСК — локальная система координат;СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений.31Проекционный и вариационный подходыПод термином «метод конечных элементов» (МКЭ) подразумеваетсясемейство методов, основанных на проекционных методах решения уравнений или вариационных методах минимизации функционалов.
Более подробно вопросы теории и практики МКЭ можно найти в литературе, представленной в списке в конце пособия. Здесь же приведем ключевые моменты.Проекционные методы. Основные понятия. Поставим задачу оприближенном решении дифференциального уравненияF (u) = 0,(1)где оператор F : E → H и E, H — два бесконечномерных нормированныхпространства. Пусть в пространствах E и H имеются базисы в следующем∞смысле: существуют последовательности {φn }∞n=1 , {ψn }n=1 , такие что длялюбых x ∈ E и y ∈ H найдутся числовые последовательности {αn }, {βn },∞∞PPтакие что x =αn φn , y =βn ψn (под суммой рядов понимается преn=1n=1дел по нормам пространств E или H частичных сумм этих рядов).
Введемпоследовательности конечномерных подпространств En и Hn , натянутыхна первые n векторов, и обозначим через Pn и Qn операторы проектирования на эти пространства (En = Pn E, Hn = Qn H).Суть проекционных методов состоит в замене уравнения (1) приближенным конечномерным уравнениемFn (ū) = 0,(2)где ū ∈ En , Fn : En → Hn , Fn = Qn F . Выбор разных базисов φn , ψn иразных проекторов приводит к разным проекционным методам.В методе Галеркина-Петрова решение уравнения (1) представляется в виде такой линейной комбинации n базисных функций пространстваnnPPEn : ū =αi φi , что функция F ( αi φi ) ортогональна функциям базисаi=1i=1ψ1 ,. .
. , ψn . Если бы функция F (ū) была ортогональна всем функциям базиса H, то в сепарабельных пространствах она должна была бы обращаться в нуль, и тогда функция ū была бы точным решением (1). Посколькувместо бесконечного набора базисных функций мы ограничиваемся толькоn функциями φi и ψi полученное решение будет приближенным. УсловияnPортогональности F ( αi φi ) ⊥ ψj представляют собой n уравнений относиi=1тельно неизвестных α1 , .
. . , αn . Выражая из полученной системы числовыекоэффициенты αi найдем представление ū.4В методе Галеркина пространства En и Hn совпадают, то есть φi = ψi .Запишем общую схему метода Галеркина построения приближенного решения уравнения F (u) = f − Lu = 0 или Lu = f :1. Выбор базиса φi , i = 1, n;nP2. Приближенное решение ищется в виде ū =αi φi ;i=13.
Коэффициенты αi определяются из решения СЛАУ, полученной из условия ортогональности F (ū) = f − Lū к φ1 , . . . , φn(f − Lū, φi ) = 0,СЛАУnX(Lū, φi ) = (f, φi ),αj (Lφj , φi ) = (f, φi ),i = 1, ni = 1, n(3)j=1В литературе встречается другой, «инженерный» подход к проекционным методам.Рассмотрим уравнение Lu = f с граничными условиями M (u) = g. Вметоде взвешенных невязок решение аппроксимируется набором функцийNi (x)nXū =αi Ni (x),i=1где αi — неизвестные числовые параметры, Ni (x) — линейно-независимыефункции из полной последовательности (также требуют, чтобы эти функции удовлетворяли граничным условиям и были нужной степени гладкости).Обозначим невязку уравнения через R = f − Lū.
Поскольку решениеū приближенное, R = f − Lū 6= 0, а для точного решения R = 0. Стремятся, чтобы ошибка равнялась нулю в среднем, полагая равными нулюинтегралы, взятые от невязки с некоторыми весовыми функциями wiZRwi dV = 0, i = 1, n,Vто есть, чтобы равнялось нулю скалярное произведение в пространстве L2(R, wi ) = 0,i = 1, n.Таким образом, снова приходим к системе (3), в которой φi = wi = Ni .
Выбирая разные весовые функции wi будем получать разные проекционныеметоды.5Вариационные принципы. Во многих случаях задачу решения дифференциального уравнения можно заменить равносильной задачей об отыскании функции, сообщающей некоторому функционалу наименьшее илинаибольшее значение. Задачи такого типа называются вариационными.Для некоторых физических задач более естественной является не дифференциальная постановка, а формулировка в виде вариационного принципа. Например, для получения равновесия механических систем требуется минимизация потенциальной энергии системы. Вариационный принципобычно формулируется в виде задачи минимизации интеграла от некоторой функции. Естественный вариационный принцип существует не длявсех задач, но очень часто для одной и той же задачи может быть сформулировано несколько вариационных принципов.
Применение вариационныхпринципов порождает ослабленную формулировку, когда соответствующеедифференциальное уравнение выполняется не в каждой точке тела, а всреднем, то есть в некотором интегральном смысле.Определение 1. Оператор L : H → H (H — гильбертово пространство)называется симметричным, если (Lu, v) = (u, Lv), u, v ∈ H.Определение 2.
Симметричный оператор L называется положительноопределенным, если существует константа C > 0 такая, что (Lu, u) >Ckuk2 .Определение 3. Пусть функционал F : Y → R и Φ(t) = F [y0 + th] —функция вещественной переменной. Если существует производнаяΦ0 (t)|t=0 =dF [y0 + th]|t=0 ,dt∀h ∈ Y,то эта производная называется слабой вариацией или просто вариациейфункционала F в точке y0 и обозначается δV (y0 , h).Теорема 1 (необходимое условие экстремума).
Пусть y0 ∈ Y — точка экстремума функционала F (y) и существует слабая вариация δF (y0 ).Тогда δF (y0 ) = 0.Определение 4. Квадратичный функционал F (u) = (Lu, u) − 2(u, f ) дляположительно определенного оператора L называется функционалом энергии.Теорема 2. Чтобы элемент u0 ∈ D(L) из области определения оператораL доставлял минимум функционалу энергии необходимо и достаточно,чтобы этот элемент удовлетворял уравнению Lu0 = f (причем такойэлемент будет единственным).6Таким образом, для определенного класса операторов задача минимизации функционала и задача решения уравнения Lu = f эквивалентны.Может случиться, что оператор определен на недостаточно широком пространстве, в таком случае задача о минимизации функционала может неиметь решения, которое однако будет существовать, если оператор должным образом расширить.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
