Сагдеева Ю.А., Копысов С.П., Новиков А.К. - Ввеление в метод конечных элементов (1061801), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для положительно определенного оператора всегда возможно такое расширение, при котором задача о минимуме функционала энергии имеет решение.Для каждого положительно-определенного оператора можно ввестиэнергетическое пространство.Определение 5.
Пусть L : H → H положительно определенный оператор, действующий в полном гильбертовом пространстве H. Построим новое пространство с элементами из области определения оператораD(L) и скалярным произведением [u, v]L = (Lu, v). Если оно окажетсянеполным, то пополним его. Пополненное пространство HL называетсяэнергетическим.Минимум функционала далее будем искать в энергетическом пространстве.Определение 6. Элемент из энергетического пространства u0 ∈ HL ,доставляющий минимум функционала энергии, называется обобщеннымрешением уравнения Lu = f .Метод Ритца минимизации функционала. Рассмотрим один из методов поиска приближенного решения задачи минимизации. Метод Ритца (Релея-Ритца) состоит в том, чтобы искать минимум функционала ввариационной задаче на конечномерном пространстве Hn .
Элементы v ∈Hn называются пробными функциями. Аппроксимацией Ритца называетсяфункция uh ∈ Hn , минимизирующая F на подпространстве HnF (uh ) 6 F (v),∀v ∈ Hn .Основные шаги метода Ритца:1. Выбор пространства Hn и базиса φi , i = 1, n;nP2. Приближенное решение имеет вид uh =αi φi ;i=13. Коэффициенты αi находятся из условий минимизации функционалаF (uh ) по параметрам αi , которые приводят к СЛАУ∂F (uh )= 0,∂αi7i = 1, nотносительно коэффициентов αi .Аппроксимации, получаемые методами Ритца и Галеркина, тождественны, если оператор симметричен.
Метод Галеркина может использоватьсявне зависимости от того, можно ли найти вариационную формулировку, и,следовательно, имеет более широкую область применения.Матрицы СЛАУ, получаемые в методе Галеркина и методе Ритца, оказываются заполненными, то есть большинство элементов этих матриц отличны от нуля. Решение систем с заполненными матрицами делает обаметода затратными.
Поэтому желательно выбрать базисные функции таким образом, чтобы коэффициенты матрицы и правая часть системы легко вычислялись, а сама система была разреженной. Такой выбор базисныхфункций приводит к методу конечных элементов (МКЭ).2Основные понятия МКЭМетод конечных элементов — это численная процедура решения задач,сформулированных в виде дифференциального уравнения или вариационного принципа. Метод конечных элементов отличается от классическихметодов Ритца и Галеркина тем, что аппроксимирующая функция является линейной комбинацией непрерывных кусочно-гладких финитных функций. Финитные функции отличны от нуля только в заданном интервале.В МКЭ под такими интервалами подразумеваются конечные элементы, накоторые разбивается область V .Термин метод конечных элементов, в действительности, определяетширокий спектр вычислительных технологий в соответствии с некоторыми общими свойствами.
Процесс конечно-элементного анализа включаетопределенную последовательность шагов. Перечислим эти шаги.1. Дискретизация области: построение сетки, задание свойств (материала) элементов. Область, на которой решается задача, аппроксимируется(покрывается) непересекающимися подобластями простого типа, которыеназываются конечными элементами (КЭ). Множество элементов, на которые разбита область, называется конечно-элементной сеткой. Вершины КЭназываются узлами. Узлы предназначены для описания геометрии элемента и для задания компонент решения (неизвестная величина задается в узлах).
Узлы могут быть внешними и внутренними. Внешние узлы лежат награнице КЭ и используются для соединения элементов друг с другом. Также узлы могут располагаться между угловыми узлами. КЭ может иметьи внутренние узлы, такие элементы обеспечивают более точное описаниеискомых функций. Компоненты решения в узле называются степенями8свободы. В зависимости от рассматриваемых задач число степеней свободы в узле различно. Например, если рассматривается задача теплопроводности, в каждой точке ищется одно значение температуры — одна степеньсвободы.
А если рассматривается двумерная задача упругости относительно неизвестных перемещений, то число компонент будет равно двум, таккак перемещение величина векторная u = (ux , uy ). В качестве степенейсвободы могут фигурировать как узловые значения неизвестной функции,так и ее производные по пространственным координатам в узлах. Кроме того необходимо задать свойства материала, из которого изготовленаконструкция или КЭ. Например, для изотропных тел при решении задачтеории упругости необходимо знать такие константы, как модуль Юнгаи коэффициент Пуассона материала, при решении задачи теплопроводности — коэффициент теплопроводности.2. Выбор аппроксимирующих (базисных) функций. Чаще всего базисные функции выбираются в виде полиномов.
Поэтому пространство, на котором ищется решение, является пространством кусочно-полиномиальныхфункций. Базисные функции могут иметь различный порядок: линейный,квадратичный, кубичный и т.д.3. Формирование СЛАУ с учетом вкладов от элементов и узлов, введение граничных условий в систему уравнений.
Например, если задача решается с помощью метода Галеркина (метода взвешенных невязок) формируются интегралы от произведения невязки на весовые функции, которыезатем приравниваются к нулю. Если решается задача в вариационной постановке с помощью метода Ритца минимизации функционала, то СЛАУполучается после приравнивания к нулю производных функционала. Интегралы по области разбиваются на интегралы по элементамZVwl RdV =M ZXe=1wl RdV,Veвычисляются элементные матрицы и элементные векторы, из которых формируются глобальная матрица и вектор правых частей системы.4. Решение системы уравнений.5.
Определение расчетных величин в элементах. Этими величинамиобычно являются производные от неизвестной функции (например, деформации, напряжения, тепловые потоки, скорости).Точное решение дифференциального уравнения при подстановке в этодифференциальное уравнение обращает его в тождество в каждой точке.Решение МКЭ предполагает, что приближенное решение ū будет удовлетворять дифференциальному уравнению в узлах сетки ū(xi ) = u(xi ) = ui .93Одномерный элемент с кусочно-линейнымибазисными функциямиРассмотрим как определяются кусочно-линейные базисные функцийпри решении одномерной задачи на отрезке V = [a, b].
Разобьем этот отрезок узлами x1 , . . . , xn на конечные элементы ek = (xk , xk+1 ), k = 1, . . . , n −1, hk = xk+1 − xk — длина ek (шаг сетки). Каждому внутреннему узлу xiставится в соответствие кусочно-линейная функция Ni (x)0,x 6 xi−1 x−xi−1 , xi−1 6 x 6 xihi−1Ni (x) =xi+1 −x,xi 6 x 6 xi+1hi0,x > xi+1i = 2, n − 1.Для граничных узлов x1 , xn базисные функции имеют вид x2 −x x−xn−1, x1 6 x 6 x2hhn−1 , xn−1 6 x 6 xn1, Nn (x) =N1 (x) =0,x > x20,x 6 xn−1 .Базисные функции на элементе также называются функциями формы.
Например, на рис. 1 представлены функции формы на отрезке [0, 1] для равномерной сетки изPтрех элементов. Аппроксимируемая функция представляется в виде u = αi Ni (x), где коэффициенты αi находятся из решенияiСЛАУ (3).Важнейшими являются следующие свойства функций форм:1. Функция Ni равна единице в узле xi и нулю во всех других узлах.2. Функция Ni отлична от нуля только для элементов, содержащих узелxi .Выясним физический смысл коэффициентов αi .
Рассмотрим один конечный элемент e = [xi , xj ]. На элементе e ненулевыми будут две базисныеx −xiфункции Ni = jhi и Nj = x−x(см. рис. 2, пунктиром показаны частиhiфункций, лежащих вне элемента), поэтомуue = αi Ni + αj Nj = αixj − xx − xiαi xj − αj xiαj − αi+ αj=+x.hihihihiРешение должно удовлетворять уравнению в узлах, то есть ue (xi ) = ui ,ue (xj ) = uj .
Если подставить xi и xj в выражение для ue получим ue (xi ) =10yy101N113N2x231130yx231y101N313N4x231130x231Рис. 1: Базисные функции Ni для области из трех элементовy1NiNjxxixjРис. 2: Базисные функции Ni , Nj элементе [xi , xj ]11αi = ui , ue (xj ) = αj = uj . То есть при таком выборе базисных функций,когда базисная функция равна единице в одном узле и нулю во всех других узлах, неизвестные коэффициентыαi являются значениями функцииPв узлах αi = ui , то есть u = ui Ni (x).i4ПримерРешить уравнение методом конечных элементов на основе метода Галеркинаy 00 + y = 1, y(0) = 1, y(1) = 0.Прежде всего запишем интегральную формулировку для данного уравнения с помощью метода взвешенных невязок, а именно метода Галеркина.Разбиваем отрезок на n − 1 элементов c числом узлов n. Число базисныхфункций равно n. НевязкаR = f − Lȳ = 1 −d2 ȳ− ȳ.dx2Запишем сначала условие равенства нулю невязки в общей формеZ01wl Rdx =Z1wl (1 −0d2 ȳ− ȳ)dx = 0dx2и, интегрируя по частям, понизим порядок производной под знаком интеграла1 Z 1Z 1Z 1dȳ dwl dȳwl−dx+wȳdx−wl dx = 0.ldx 00 dx dx00Понижение порядка дифференцирования под знаком интеграла — обычнаяпроцедура за счет которой можно ослабить требования на гладкость базисных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
