Сагдеева Ю.А., Копысов С.П., Новиков А.К. - Ввеление в метод конечных элементов (1061801), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . dN x[4]0dN y[1]0dN y[4] .= 0dN y[1] dN x[1] . . . dN y[4] dN x[4]3.8 Вычисляем локальную матрицу жесткости∂N4∂xTk = k + det(J)weights[j]BNDBN .3.9 Если заданы поверхностные, объемные и узловые силы соответствующие интегралы также надо внести в элементный векторправых частей согласно формуле (18).Определение расчетных величин в элементах (п.
6) . Для вычислениянапряжения и деформации в узлах элементов ux1 ∂u uy1 εxxσxxεxx ∂x .. εyy = ∂u=Bu=B,σ=Dεyy .NNyy∂y . ∂u∂uεxyσε+ux4 xyxy∂x∂yuy4В цикле по элементам:331. Определяем координаты узлов текущего элементаДля i = 1 до 4 {xi = mesh[si , 1]; yi = mesh[si , 2]. }2. Определяем значения решений в узлах элементаДля i = 1 до 8 { ti = u[numbers[i]]}.3. В цикле по узлам элемента3.1 Формируем BN для текущего узла (п. 3.2-3.7). Отличие от вычисления BN для матрицы жесткости состоит в том, что раньшеякобиан и производные вычислялись в точках квадратур Гаусса,а теперь они вычисляются в узлах элемента.3.2 Вычисляем деформацию в узле как произведение матрицы BN1BN t, где ne — число элементов, которымна вектор t: εloc = neпринадлежит данный узел.
Напряжение σloc = Dεloc .3.3 К глобальному вектору деформаций ε и напряжений σ добавляем узловую деформацию и напряжение для текущего узлаε = ε + εloc , σ = σ + σloc .10Примеры задач1. Решить методом Ритца уравнение y 00 − x = 1, y(0) = y(1) = 0 сбазисными функциями φ1 (x) = x(x − 1) и φ2 (x) = x2 (x − 1).
Найти точноерешение, сравнить графически.2. Пусть известна величина давления p в узловых точках элемента pi =40Н/см2 , pj = 34Н/см2 , pk = 46Н/см2 . Координаты узлов i(0, 0), j(4, 0.5),k(2, 5). Найти значение давления в точке B(2, 1.5).3. Заданы узловые перемещения для двумерного треугольного элемента: u2i−1 = 2 мм, u2i = 4 мм, u2j−1 = 4 мм, u2j = 5 мм, u2k−1 = −1 мм,u2k = −1 мм.
Определите компоненты перемещения в точке (10, 10). Координаты узлов (в миллиметрах) указаны в круглых скобках i(0, 0), j(20, −5),k(8, 20).4. Вычислите интеграл ZNi Nj Ni Nj Nk dl,lijNkгде lij — длина стороны линейного треугольника между узлами i и j, a Ni ,Nj и Nk – функции формы.345. Координаты узлов треугольного элемента A(0, 0), B(6, 0), C(3, 3).Записать координаты точек A, B, C, и точки D(3, 0) в L-координатах.6. Пусть МКЭ сформирована следующая система уравнений 3 21u112 1 0.5 u2 = 2 .1 0.5 2u33Известно, что u3 = 4.
Записать систему после внесения граничного условия(сохранить симметрию матрицы).11Примеры заданий к лабораторным работамВсе отчеты должны содержать условия задачи, краткую теоретическую часть, краткий алгоритм, результаты работы программы и выводы.Лабораторная работа №1. ОДНОМЕРНЫЙ МКЭ.Решить дифференциальное уравнение методом конечных элементов (с линейными базисными функциями), разбивая область на n и 2n элементов(сетка равномерная); n = 5 + N ; N — номер варианта.Уравнения: четные варианты: y 00 − 2N y = 1 y(0) = 0, y 0 (1) = N ;нечетные варианты: y 00 + 2N y = 0 y(0) = 0, y 0 (1) = N .В отчете привести переход от дифференциальной постановки к интегральной, а также вывод элементной матрицы жесткости и элементного вектора правой части, записать общий вид глобальной матрицы системы и вывод точного решения.
Вывести в отчете полученную конечноэлементную СЛАУ для n элементов. Нарисовать на одной диаграмме графики решения на двух сетках и точного решения. Для сетки с n элементами вывести решения в виде таблицы со столбцами: номер узла, координатаузла, точное решение, решение МКЭ (сетка n элементов), решение МКЭ(сетка 2n элементов), абсолютная погрешность решения в узлах сетки.
Вывести среднеквадратическую ошибку для двух сеток.Лабораторная работа №2. ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.Рассматривается двумерная задача о стационарном распространении теплана областях (по вариантам, см. рис. 7).Вариант 1. Пластина: x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1]. Толщину принять равнойединице.
Материал: коэффициент теплопроводности Dxx = Dyy = 10. Награницах 1 и 3 поверхность пластины теплоизолирована. На границе 2 поддерживается постоянная температура T = 20 град. На границе 4 поддерживается постоянная температура T = 10 град.35333241242411Рис. 7: Сетки для задачи теплопроводностиВариант 2. Пластина: x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 2]. Толщину принять единичной. Материал: коэффициент теплопроводности Dxx = Dyy = 15. На границах 1 и 3 поверхность пластины теплоизолирована. На границе 2 задантеплообмен с окружающей средой с коэффициентом теплообмена h = 10,температура окружающей среды T∞ = 20 град. На границе 4 поддерживается постоянная температура T = 5 град.Результаты работы программы (температуру) вывести в текстовый файлsolution.res в следующем виде:N узла Температура1t12t2 .
. .Лабораторная работа №3. ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.Рассматривается двумерная задача теории упругости (плоско-напряженное состояние) для пластины: x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1]. Толщина пластины равна единице. Определить перемещения u = (ux , uy ) в узлах сетки,определить деформации и напряжения в элементах и узлах элементов ивывести их в файл.Вариант 1. Материал пластины: модуль Юнга E = 106 , коэффициентПуассона ν = 0.3. При x = 0 пластина жестко закреплена (ux = uy = 0). Наповерхности x = 1 на пластину действует растягивающая поверхностнаясила px = 22000 Н/м2 .Вариант 2. Внутри пластины включение квадратной формы. Материал матрицы: модуль Юнга E = 5 · 106 , коэффициент Пуассона ν = 0.25.Материал включения: модуль Юнга E = 2 · 107 , коэффициент Пуассонаν = 0.25.
При x = 0 пластина закреплена по направлению y: uy = 0. Приy = 0 пластина закреплена по направлению x: ux = 0. На поверхности36yyxxux=uy=0ux=0uy=0Рис. 8: Сетка для Варианта 1Рис. 9: Сетка для Варианта 2DÀabp1BCРис. 10: Задача Ламеx = 1 на пластину действует сжимающая поверхностная сила px = −8 · 104Н/м2 .Лабораторная работа №4.
ЗАДАЧА ЛАМЕ (Задача Ламе о толстостенной трубе под действием давления.)Пусть имеется труба, длину которой мы можем считать такой большой,что можно не обращать внимания на явления, происходящие у концов трубы. Труба находится под действием равномерного внутреннего давления p1и равномерного внешнего давления p0 , внешний радиус трубы обозначимчерез b, а внутренний радиус трубы через a, причем предполагается, чтоa b.Ось z направим по оси трубы. Ввиду большой длины трубы и равномерного распределения давления, мы можем рассматривать задачу Ламе, какдвумерную задачу (плоско-деформированное состояние). Известно анали-37Рис.
11: Сетки для задачи Ламетическое решение (известны перемещения и напряжения) задачи Ламе вцилиндрических координатах. Перемещениеur = Ar +B,rA=p 1 a2 − p 0 b 2,2(λ + µ)(b2 − a2 )B=(p1 − p0 )a2 b2,2µ(b2 − a2 )где λ, µ — константа Ламе и модуль сдвигаλ=νE,(1 + ν)(1 − 2ν)µ=E.2(1 + ν)Напряжения в случае p0 = 0 имеют видB1a2a2 b 2B1, σθθ = A1 − 2 , A1 = p1 2, B1 = −p1 2,22rrb −ab − a2где σrr , σθθ — радиальные и кольцевые напряжения.
Напряжения в декартовой и цилиндрической системе координат связаны соотношениямиσrr = A1 +σxx = σrr cos2 θ + σθθ sin2 θ,σyy = σrr sin2 θ + σθθ cos2 θ.Задание. Решить задачу Ламе для сетки из четырехугольных элементов для данных E = 1, ν = 0.3, p = 10−2 E, a = 0.2м, b = 1м. Полагаем модуль Юнга величиной нормированной и безразмерной.
Задачу решить длятрех сеток (рис. 11): а) равномерная сетка с числом элементов N = 100, б)мелкая равномерная сетка с числом элементов N = 400, в) мелкая сетка сосгущением к центру с числом элементов N = 400. Использовать формулычисленного интегрирования (квадратуры Гаусса) 2-го порядка. Сравнитьперемещения и напряжения с точным на линии y = 0 (построить графикиперемещений и напряжений).38Литература[1] Segerlind L. Applied finite element analysis. — Second edition. — JohnWiley and sons, 1984. — 427 pp.[2] Szabo B., Babushka I. Finite Element Analysis.
— New York: John WileyandSons, 1991. — 368 pp.[3] Zienkiewicz O. C., Taylor R. The finite element method. — Fifth edition. —Butterwoth-Heinemann, 2000.[4] Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975. —542 с.[5] Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. — М.:Мир, 1986. — 318 с.[6] Коннор Д., Бреббиа К.
Метод конечных элементов в механике жидкости. — Л.: Судостроение, 1979. — 264 с.[7] Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.: Наука, 1981. — 416 с.[8] Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений счастными производными.
— М.: Мир, 1981. — 504 с.[9] Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.:Физматгиз, 1970. — 512 с.[10] Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. — М.:Мир, 1981. — 304 с.[11] Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир,1979. — 392 с.[12] Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир,1977. — 349 с.[13] Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. — М.:Мир, 1991. — 504 с.[14] Шабров Н. Н.
Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловыхдвигателей. — Л.: Машиностроение, 1983. — 212 с.39Юлия Альбертовна Сагдеева, Сергей Петрович Копысов,Александр Константинович НовиковВВЕДЕНИЕ В МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВМетодическое пособиеПодписано в печать 18.03.11. Формат 60 × 84 1/16.Печать офсетная.
Усл.печ.л. 2,75. Уч.-изд.л. 2,76.Заказ №. Тираж 30 экз.Издательство «Удмуртский университет»426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
