Метод конечных элементов (МКЭ) (1061795), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Рис. 31

Выполним методом конечных элементов расчет системы, изображенной на рис.31. Как уже отмечалось, МКЭ - метод, ориентированный на использование ЭВМ. Объем вычислений при реализации этого метода, как правило, значительно превышает объем вычислений, который приходится проделывать при расчете систем с использованием классических методов строительной механики. Поэтому использование МКЭ при расчетах вручную имеет смысл только в учебных целях для лучшего усвоения учащимися процедуры метода.

Сечения всех стержней системы заданы одинаковыми и характеризуется жесткостью на растяжение - сжатие EF=10⁶ КН и жесткостью на изгиб EI=4010⁶ КНм². Как известно, при силовых воздействиях распределение усилий в стержневых системах зависит от распределения жесткостей, а не от их абсолютных величин. Поэтому, для удобства расчетов будем задавать EF=1КН и EI=40 КНм². Полученные в результате расчета усилия от этого не изменятся, а полученные в результате расчета перемещения нужно будет уменьшить в 10⁶ раз.

Заменим исходную стержневую систему конечно-элементной моделью, узлы и элементы пронумеруем (рис.32).

Рис. 32

Рис. 33

Рис. 34

Перейдем от исходной нагрузки к узловой. Закрепим узлы конечно-элементной схемы от смещений, найдем реакции во введенных связях и построим эпюру изгибающего момента в стержнях системы, т.е. решим задачу 1 (рис.33). Поскольку внешняя нагрузка действует только на элемент 2, достаточно рассмотреть только этот элемент (рис.34). Воспользовавшись табличным решением (табл.11.1), построим эпюру изгибающего момента и определим усилия, действующие со стороны элемента на узел (рис.34). На стержнях остальных элементов эпюра моментов будет отсутствовать. Во введенных связях будет действовать только одна реакция- горизонтальное усилие в узле 1, равное 18,75 КН.

Рис. 35

Перейдем теперь к решению задачи 2. Узловая нагрузка определяется как реакции во введенных связях в задаче 1, взятые с обратным знаком. В нашем случае в качестве нагрузки будет фигурировать только горизонтальное усилие в узле 1 (рис.35). Следовательно, вектор внешней нагрузки Р будет следующим:

.

Теперь построим матрицы жесткости всех элементов системы. Вопрос построения матриц жесткости был подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приведем только построенные матрицы жесткости в глобальной системе координат³:

, ,

,

.

Следующим шагом является формирование глобальной матрицы жесткости в соответствии с формулой (11):

.

Составим теперь систему разрешающих уравнений (10) метода конечных элементов:

.

Поскольку на перемещение узла 2 по направлению 2 наложено ограничение, в эту систему внесем необходимые изменения:

.

Решив полученную систему линейных алгебраических уравнений, получим вектор узловых перемещений:

.

Напомним, что истинные перемещения в системе будут в 10⁶ раз меньше полученных.

Далее, необходимо определить усилия, действующие на каждый элементы системы со стороны узлов, для чего воспользуемся формулой (2):

,

,

Компоненты полученных векторов представляют собой усилия, действующие на узлы элементов. На данном этапе следует выполнить промежуточную проверку равновесия элементов и узлов под действием этих сил и внешней узловой нагрузки (рис.36).

Рис. 36

Теперь, зная приложенные к узлам элементов усилия (рис.36), построить эпюру изгибающих моментов в стержнях системы не составит труда (рис.37).

Рис. 37

На этом решение задачи на действие только узловой нагрузки (задачи 2) заканчивается. Для построения окончательной эпюры моментов необходимо сложить решение этой задачи (задачи2) и решение задачи 1 (рис.38).

Рис. 38

Далее, как обычно, остается построить эпюры поперечного и продольных усилий, а также выполнить статическую и деформационную проверки. Эти операции читателю предлагается проделать самостоятельно.

1 Математические основы метода были впервые сформулированы Р.Курантом в 1943г., а термин “конечный элемент” впервые был введен Р.Клафом в 1960 г.

2 К числу наиболее популярных в нашей стране в настоящее время программных комплексов, предназначенных для выполнения прочностных и других расчетов, относятся западные комплексы ANSYS, NASTRAN, ABACUS, COSMOS, STAAD, украинский комплекс SCAD, отечественные комплексы MicroFE, СТАДИО. В последнее время конечно-элементные комплексы становятся составными частями систем автоматизированного проектирования, позволяющими автоматизировать весь комплекс разнообразных проектных операций и расчетов, выполняемых на всех стадиях проектирования и строительства сооружения.

3 Построение матриц жесткости при выполнении учебных заданий по методу конечных элементов может быть выполнено с помощью входящей в состав настоящего учебника программы “Библиотека плоских стержневых конечных элементов”, разработанной кафедрой строительной механики и теории упругости СПбГТУ.

Характеристики

Список файлов книги