Метод конечных элементов (МКЭ) (1061795), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Для элемента, содержащего несколько узлов, связь между вектором узловых перемещений U в глобальной системе осей координат и вектором узловых перемещений U` в локальной системе осей координат осуществляется при помощи квазидиагональной матрицы направляющих косинусов C^(e) элемента, составленной из матриц направляющих косинусов входящих в элемент узлов:

Например, для элемента, изображенного на рис.9, выражение (4) будет выглядеть следующим образом:

или

.

Легко убедиться, что это равенство соответствует уравнениям, связывающим перемещения в локальной и глобальной системах осей координат:

,

,

,

,

.

Повторив те же рассуждения для усилий, действующих на узлы элемента, получим аналогичную (4) зависимость между векторами усилий, действующих на элемент, построенных для глобальной системы координат R^(e) и для локальной системы координат R`^(e):

Усилия, действующие на узлы элемента и узловые перемещения связаны зависимостью (2). Запишем ее также и для локальной системы осей координат:

Заменим в (6) вектора усилий и перемещений согласно зависимостям (4) и (5): и умножим получившееся равенство слева на матрицу , т.е. на матрицу, обратную матрице направляющих косинусов элемента: . Сопоставляя это выражение с (2), получим зависимость, связывающую матрицы жесткости, построенные в глобальной и локальной системах координатных осей: . Известно, что у матрицы направляющих косинусов С^(е) обратная матрица совпадает с транспонированной матрицей. Поэтому, окончательно получаем:

Итак, если матрица жесткости элемента построена в локальной системе осей координат, то по формуле (7) можно получить из нее матрицу жесткости элемента в глобальной системе осей координат.

Примеры построения матрицы жесткости элемента.

Рис. 16

Построим матрицу жесткости элемента на рис. 16. Пусть L - длина элемента, EF - жесткость стержня на растяжение-сжатие, EI - жесткость стержня на изгиб.

Рассматриваемый элемент имеет 5 степеней свободы - две степени свободы в узле 1 и три в узле 2. Соответственно, матрица жесткости элемента имеет размер 55 и блочную структуру:

.

Как известно, каждый столбец матрицы жесткости элемента представляет собой усилия, действующие на элемент в узлах при единичном смещении по направлению какой-либо степени свободы. Поэтому, для построения любого столбца матрицы жесткости элемента следует задать единичное смещение по направлению соответствующей степени свободы элемента и найти усилия, действующие при этом на его узлы. Выполнив последовательно эту операцию для всех степеней свободы элемента, по столбцам построим всю матрицу жесткости элемента.

Закрепим от смещения все узлы рассматриваемого элемента (рис.17). Тогда, задавая единичное смещение в одной из опорных связей, наложенных на полученную систему, мы обеспечим отсутствие перемещений по направлению остальных связей. Реакции в опорах при этом будут представлять собой искомые усилия.

Рис. 18

Рис. 17

Первый столбец матрицы жесткости рассматриваемого элемента представляет собой усилия в узлах элемента при единичном смещении узла 1 по направлению 1. При этом на элемент со стороны опорных связей будут действовать только усилия по направлению 1 (рис.18), вызывающие его сжатие, причем усилие в узле 1 совпадает по направлению с осью 1, а в узле 2 оно направлено в обратную сторону. Величина этого усилия будет равна . Действительно, продольное усилие N, возникающее в стержне при его растяжении или сжатии, связано с продольной деформацией (относительным удлинением) посредством закона Гука: . При отсюда имеем . Таким образом, с учетом знака элементы первого столбца матрицы жесткости элемента будут равны:

.

Рис. 19

Для построения второго столбца зададим единичное смещение в узле 1 по направлению 2 (рис.19). Для данной задачи существует известное табличное решение (см.табл.11.1), на основании которого путем рассмотрения равновесия вырезанных из элемента узлов (рис.19) определяются элементы второго столбца матрицы жесткости элемента:

.

Рис. 20

Теперь зададим единичное смещение узла 2 по направлению 1 (рис.20) и построим третий столбец матрицы жесткости элемента. В этом состоянии элемент будет испытывать продольное растяжение. Повторяя рассуждения аналогичные сделанным при построении первого столбца матрицы жесткости, получим:

.

Рис. 21

Для построения четвертого столбца матрицы жесткости зададим единичное смещение узла 2 по направлению 2 (рис.21):

.

И наконец, для построения пятого столбца матрицы жесткости зададим единичное смещение узла 2 по направлению 3 (рис.22):

Рис. 22

.

Итак, матрица жесткости рассматриваемого элемента принимает вид:

.

Как и следовало ожидать, построенная матрица оказалась симметричной, а элементы, стоящие на ее главной диагонали, оказались положительными. Проверка выполнения этих условий - одно из средств контроля правильности построения матрицы жесткости.

Рис. 23

Рассмотрим теперь Г-образный элемент (рис.23). Будем считать, что жесткости обоих стержней элемента равны. Ограничимся построением для него только пятого столбца матрицы жесткости, предоставив построение остальных столбцов читателю.

В данном элементе два жестких узла, следовательно, элемент имеет шесть степеней свободы, а матрица жесткости элемента имеет следующую блочную структуру:

.

Рис. 24

Элементы интересующего нас пятого столбца матрицы жесткости представляют собой усилия, действующие на узлы элемента при единичном смещении узла 2 по направлению 2. Для их определения нужно найти опорные реакции в стержневой системе, полученной при наложении связей по напрвлению всех степеней свободы элемента (рис.24), при единичном смещении ее верхней опоры по направлению 2.

Данная задача три раза статически неопределима ( ) и один раз кинематически неопределима ( ), следовательно, для ее решения выгоднее использовать метод перемещений. При этом, как обычно в методе перемещений, будем пренебрегать продольными деформациями стержней по сравнению с их изгибными деформациями.

Рис. 25

Основную систему метода перемещений образуем введением в жесткий узел связи, препятствующей его повороту. Потребовав, чтобы при повороте этого узла на величину Z реакция R во введенной связи равнялась нулю, получим задачу эквивалентную исходной (рис.25).

Далее построим основное и вспомогательное состояния основной системы (рис.26). Из равновесия узла (рис.26) находим реакции во введенной связи в основном и вспомогательном состояниях: , . Из уравнения, выражающего условие отсутствия реакции во введенной связи в эквивалентной задаче , находим: .

Рис. 26

Рис. 27

Найдя лишнее неизвестное, можем построить окончательную эпюру моментов (рис.27), пользуясь формулой . По построенной эпюре моментов путем вырезания узлов легко определить действующие в стержнях продольные и поперечные силы, а по ним и реакции в опорах (рис.27). Таким образом, по реакциям в опорах определяются элементы искомого столбца матрицы жесткости:

.

Важно иметь в виду, что продольные деформации в стержнях при определении этих значений не учитывались, поэтому использование построенной подобным образом матрицы жесткости элемента в расчетах будет приводить к погрешностям в решении. В элементах, представляющих собой один стержень (рис.4), учет продольных деформаций проблем не вызывает. Поэтому использование в конечно-элементной схеме только таких элементов позволит получить точное решение задачи, если не учитывать погрешностей округления.

Формирование и решение системы уравнений МКЭ. Определение внутренних усилий в элементах.

Обозначим -внешнее усилие, приложенное к узлу m и действующее по направлению i. Введем для каждого из n узлов конечно-элементной схемы вектор внешних узловых усилий, приложенных к узлу m. Если узел m - жесткий, то , если шарнирный, то .

Рис. 28

Рассмотрим равновесие любого свободного узла (т.е. такого узла, на перемещения которого не наложены связи) конечно-элементной сетки. Пусть это будет узел под номером 2 конечно-элементной сетки, изображенной на рис.28. Будем считать пока, что все узлы этой сетки свободны, т.е. на узлы не наложено связей. Об учете связей речь пойдет далее.

На узел действует внешняя узловая нагрузка, характеризующаяся вектором , передаваемая на элементы, которые соединяются в этом узле. Пусть это будут три элемента под номерами 1, 2 и 3 (рис.28). Усилия, передаваемые на элемент е в узле 2, в соответствии с введенным ранее обозначением образуют вектор Соответственно, со стороны элементов на узел передаются равные, но противоположно направленные усилия. Т.е. со стороны элемента е на узел действует система усилий, образующих вектор . Узел элемента должен находиться в равновесии под действием внешних усилий и усилий, приложенных к узлу со стороны элементов. Следовательно можно записать:

Следует помнить, что данное равенство - матричное равенство и соответствует системе равенств, каждое из которых представляет собой уравнение равновесия усилий, действующих на узел по одному из направлений. Так как узел 2- жесткий, это равенство принимает следующий вид (рис.29):

.

Характеристики

Список файлов книги