Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 45
Текст из файла (страница 45)
2!.! Решение Заданная двухшарнирная арка при расчете ее по недеформированному состоянию по методу сил имеет степень статической неопределимостн, равную единице. Поскольку первым этапом расчета по деформированному состоянию при решении задачи методом последовательных приближений является обычный расчет по недеформированной схеме, применяем основную систему, в которой эа неизвестное берем распор арки. (рис. 2!.1,в), Каноническое уравнение метода снл будет иметь вид: Ьп в,+гв, =О. Определение коэффициентов канонического уравнения производится по формулам перемещейий с учетом изгибающего момента и продольных сил: ' =~1 — "';,'*'~1 — "-'"=Р~ +ч1' " й""".
в 1 ) Е ссовва в -Я вЂ” ''а+У~ — ''а-~~ х~ ".".. МдМваг + Еус сов* а + Еуа савв а Вычисление интегралов, входящих в формулы перемещений, может быть осуществлено по формуле Симпсона, если известны значения моментов и продольных сил в отдельных точках оси арки. При четном числе участков формула Симпсона имеет вид: т1 г1г = — ~т] + 4 (в1, + в1 + . + в1„,) + и +'1Ц.+'4+ +'1-)+Ц1 Где и = 5» —. В сов к В нашем случае 3» — вйутрейййЕ силы М, или М~, 5 — внутренйие силы Ме или Ме-, (М или М)  — жесткость Е! или Ег" (ЕЗ=Е!с сова, а ЕР = ЕЕп соз в; а =- угол наклона касательной к оси арки..
Лля определения внутренинх снл необходимо вычислить координаты точек оси арки, значения э1вох и сов и. Лля этой цели разбиваем арку на части, горизонтальные проекции которы 0=8 м (рис. 21.1, б). Уравнение оси арки, очерченной по квадратной параболе пр! расположении начала координат на левой опоре, имеет вид: у = — (! — г)г, 47 !и 877! у' = 1я а = — ( — — г~. !и ! 2 По у'=!да производится вычисление япа н соза: 18а з)па =; сова = )т'1+1аиа )' 1+!яка Вычисленные по указанным формулам значения у, у', з!па, соз а, созг а приведены в табл.
21.1. Таблица 2!.! № точки оок' Ьно ! !оок «! ам Гч м Изгибающий момент и продольная сила в основной систсче о! единичной силы, приложенной в направлении Х! (рис. 21.!,г), в общем виде записываются следующим образом: Мт = — 1у; йт! = 1соза. Сжимающая продольная сила считается положительной. Внутренние силы от нагрузки в основной системе: на участке дк М «У г —— 2 О <г(— 2 й?,.!!, = (ӄ— ч?г)япа; 378 д 1 2 3 5 5 7 8 9 и 7? 7 'э 0 8 !6 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 0 2,933 5,333 7,2 8,54 9,333 9,6 9,333 8,54 7,2 5,333 2,933 0 0,400 0,333 0,267 0,200 0,133 0,067 0,000 — 0,067 — 0,133 — 0,200 — 0,267 — О, 333 — 0,400 0,37140 0,31593 0,2579? 0,19607 0,13!83 0,06685 0,00000 0,06685 О,!3183 0,19607 0,25797 0,31593 0,3?!40 0,92850 0,94876 0,96618 0,98039 0,99!28 0,99780 1,0000 0,99780 0,99128 0,98039 0,96618 0,94876 0,92850 0,8621 0,9001 0,9335 0,9612 0,9826 0,9956 1,0000 0,9956 0,9826 0,96!2 0,9335 0,9001 0,862! СО "3' В СО СЧ О с ф 343 чвъ Я Я й о й Ж ъ съ вс 3 4 ОЪ СЧ СЪ С'Ъ О ОЪ СЧ О ОЪ О СО С4 С, с "Ч ОС О ОЪ ф О В со С- О ! 3 СО СЪ о О 4' С'3 3 СО СО ОЪ ф Я Й со я о сО СЪ Л ОЪ СО 3О 3.
С3 СЧ СЧ О С СЧ ! ! !Ч О С4 С4 3 3 34 СО О съ в СО Д 3 3 Й Ч' ОЪ СЧ '4' Ч' СЧ ОЪ '3' 3О ОЪ О СО * 4- СЧ 3 ° СО О В О о СЪ йс 3 СО В СО 3 3О СО сО СО 3 СО С О С4 СЧ СО О СЪ СО В СО С 3 СО '3' Ф Ж 3 Я О О ОЪ с'Ъ О Я ОЪ о СЧ О Ч' СЧ С О О . О СО Сс СО '3' О СЧ3 ОЪ Я Я Я О СЧ С'Ъ ИЪ СО Я! СЧ СЧ С4 С3 В СЪ С'Ъ СЧ СЪ о — с- сО В О ОЪ ОЪ о о о о о о о ъ Я о ъ о съ ч о сч 3 ОЪ СО СЧ О С Ъ СО СО «Ъ СЧ СЪ ОЪ О СЧ О С СО СЬ В ОЪ СО 4- НЪ СЧ О ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! о со СО с сс о щ оО 3 сс о всс о ъ ~ СЧ О Ч О СО ~ СО ОЪ С\ 4 % сО 334 4 СЪ СО СО С'4 3' 3О ОЪ ОЪ ОЪ о о о 4О СЪ СЧ СЧ 3' 3 Я О СЧ СЧ СО С 3 О сс в СЧ ОЪ В о о на участке — <г<! Мрнн — — !7 (! — г); 2 75' = — 1' 3!па.
р !и! — в Значения внутренних сил, вычисленных по приведенным формулам, даны в табл. 21.2. Вычисление Ьп и Л,р произведено по формуле Симпсона, величины В,т) = ~а ~ для которой приведены в табл. 21.2 0055 ц (графы 7, 8, 9, 10) Вс — жесткость арки в ключе: ЕУс б = Е!с б!!и! + ЕТс б!и! = 4829 6959+ 4,8006 = 4834,4965; Е70 Л = Е(с Л!и' + Е/с Л!!и! = 1 158 975 883 + 61 267 = — 1 158 914,616. Распор при учете в Л,р и О„М и Л! равен. 7(, — — — 1р — — 1 ! !589!4'6!6! 239718 г бп 4834,4965,' Момент и продольная сила в заданной системе, определенные в результате расчета по недеформированной схеме, вычислены по выражениям М=М,Х,+М Л! = У, Х, + й!р и даны в табл.
21.3. Таблица 213 № точки И. т Проверка правильности вычисления Х1 и значений М и й! в сечениях арки производится принятым в методе сил способом .380 в ! 2 3 5 б 7 8 У !в !! !2 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 0 320,91 513,58 578,03 5!2,81 322,71 2,71 †3,29 — 5!1,19 †5,97 †5,42 †3,09 0 276,06 262,81 252,25 244,43 239,74 238,12 239,72 242,4 243,96 244,43 243,99 242„59 240,41 ~~ в'на.с ~'~с — се*-с. Вычисление интегралов в данном примере произведено !ю формуле Симпсона (результат контроля не приводится).
Имея значения М и Лс' из расчета по недеформированному ссп стоянию, определяем деформированное состояние первого приближения. Определение вертикальных перемещений точек оси арки мол жег быть произведено различными приемами. Наиболее просто перемещен%я могут быть определены при помощи упругих гр)- зов, общее выражение которых при учете М и 11! (влияние (с на перемещение мало и им в данном случае можно прснебрсчь) пм! ет вид (см. (19.31)): )Р— ~ с)ппан 1 2 чаев„) 2 чапан 1 .!сн сан 6Е/„. Фна Сна ! С.!-1 1л! Ел!ел ЕЕпран с-1- ! с !гпра а (к и пран ЕЕпран с — 1 — — )я а„"" Е '!сн с с где м'рр'"и / а прап "!1Л вЂ” 1! /прав сГ соп ппран — и плен Г д сев ./с!!» 11п соа аасн Мп!"н.Г ас„, /прап сс спи апра! Ф О с с)!!р Зяг лев м)!,+„„г илр! <Х инна лев лев ГД+16п ел+1 где с — момент инерции какого-либо сечения арки, слв — длина какой-либо горизонтальной проекции участка арки; л„,сь„а — моменты инерции К й+1 сечений арки; г(», Йд~,— длины горизонтальных проекций К !1+1 участков арки; Мр, 11Гл — момент н пРоДольнаЯ сила в сечении и от воздействия пи Направление положительных упругих грузов — вверх.
Для рассматриваемого примера формулы для упругих гру- зов. учитывая, что л' =л'с, 1лп=г(, л'л = лсг СОЗ ал', /-'~ == Рс соа аа и данные табл. 2!.1, будут: 6ЕУс 1 lс О саа~ аа /с О сала а С М С + 1 Уа.!Яаа У а .а/от !и аа ~ 8 ! М„,„4Мпи Ма„, Ело соа а ~ 6Е/с ( 0,82! 0,9001 0,93351 1 ( 0,267 0,400 окончательно Ф'и„ = ', ( — 1,1599 М„„ — 4,4438 М„„ — 1,0712 Ма„,) + ~~с + 7 (О 276/!/ат — 0,431Д/о )! 67с К„„. 5' — ( — 1,1109 Мь„— 4,2848 М ° — 1 0403 Ма ) + + — Е/ (0,204 Л/аи, — 0,351 Х!,и); Е/с (Г'аи, н т.
д. Г!о формулам упругих грузов вычислены упругие грузы !Рл для определения деформированного состояния первого приближения (берутся значения М и Л" из расчета по недеформировапному состоя!оно) . Величины упругих грузов !!7а приведены в табл. 21.4. Таблица 2!.5 Таблица 21.4 /а та и;и и-ас/са 1О ае/см О / 2 3 4 5 О 7 8 Э /О /1 /2 — 26,3552 — 42,1122 — 46,3622 — 40,!7!8 — 24,2835 — 0,2247 23,8828 39,9375 46,0518 41,8291 26,1941 / 3 4 О 7 8 У /// // /г — 2,6681 — 4,4606 — 4,9846 — 4,2329 — 2,454 — 0,0754 — 2,3056 4,188 4,8673 4,3664 2,624 Эпюра вертикальных перемещений оси арки 1зпюра прогибов у1) получена как зпюра фиктивных моментов от упругих грузов Ж'а.
Фиктивная система н зпюра у! дана на рис. 2!.2,а,б. По найденным значениям у! вычислены приращения момента в сечениях арки ЛМ1=Х1у1, изменения У от деформации осп арки малы и нми можно пренебречь. Если к моменту М, найденному при расчете арки по недеформированпому состоянию, прибавить ЬМ1, то получим момент М, первого приближенна. Изменение момента в сечениях арки вызовет дополнительную деформацию оси арки и новое изменение момента.
Произведя вторичное вычисление упругих грузов от ЛМ1, определим дополнительные вертикальные перемещения оси арки у, и ЛМа =- Х, Юа. Момент втоРого пРиближепиа Ма=М1+ \Ма Всчичины УПРУ- гих гРУзов 1Рта1 ДлЯ опРеДелениЯ 17а вычислены по тем же фоР- мулам, что и йра, и приведены в табл. 21.5. Фиктивная система и эпюра уа приведены на рис. 21.2, г,г. Результаты вычислений момента ЛМ1, в сечениях арки от деформации сс оси и значения моментов первого и второго приближений М, и Ма, а также значения 1и' даны в табл.
2!.б. Таблица 21.6 Л1 мент итм Прикол,- оти еи . т и № точки м П ирибииие- иие м, 1 крмб!и ке. ЬМ,— х, и иие ом,=к,р, 0 3,38 5,83 6,74 5,87 3,55 0,34 — 2,88 — 5,3 --6,23 — 5,49 †-3,21 О О 0 1 8 2 16 0 356,17 574 07 647,34 672,86 358,!4 4,0! †3.!3 ( †5,99 ! †6,33 †5,37 — 353, 7 0 276,06 262,81 252,25 244,43 239,74 238,12 239,72 242,4 243,96 244,43 243,99 0 31,88 54,66 62,57 54,18 31,88 0,96 — 29,96 — 52,5 — 61,13 ' — 53, 46 — 3! .4 0 320,91 513,58 578,03 512,81 322,71 2,71 †3,29 — 511,19 — 573,97 — 510,42 — 3!9,09 О 0 352,79 бтб8,24 640, б 566,99 354,59 3,67 †3,25 †5,69 — 635, 1 †5,88 †3,49 0 3 24 4 32 5 40 6, 48 7 56 64 У 72 10 80 !1 88 12 96 242,59 240,41 383 Из данных, приведенных в табл. 21.б следует, что в четверти пролета моменты второго приближения превышают моменты, полученные при расчете по недеформированному состоянию на 12%, а в середине пролета на 48% .
Однако значительное изменение малых абсолютных значений .момента в середине пролета незначительно меняет величины нормальных напряжений в сечении. Я четверти пролета нормальные напряженна по нижней кромке сечения превышают почти на 10% напряжения, определяемые из расчета по недеформированному состоянию. Рассмотренный пример расчета арки по деформированному состоянию показывает, что при расчете по недеформпрованному состоянию возможны значительные ошибки при определении величин внутренних снл и напряжений, и подчеркивает необходимость рассчитывать конструкции с учетом дсформапии систем под нагрузкой ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Глава 1.
Введение (д-р техн. наук проф. В. А. Киселев)...... 4 Глава 2. Кинематический анализ и общие методы определения реакций связей плоских статически определимых систем (канд. техн. наук доц. И. Ю. Цеей) .........:: .:::::: 8 Глава 3, Расчет статически определимых балок и плоских рам на подвиясную нагрузку 1'ст. препод. М. В, Овсянникова) . . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
