Иванов Ю.А. - Принцип возможных перемещений (1061789), страница 2
Текст из файла (страница 2)
δ rA и δ rB . Величина δ rA =R δγ . Расстояние XBв донный момент времени равноXB=Rcos γ + l 2 − R 2 sin 2 γ .8Величину возможного перемещения точки В определим по формулеδ XB =∂xδγ ,∂γтогдаδ X B = ( R sin γ +R 2 sin 2γ2 l 2 − R 2 sin 2 γ)δγ .Возможные перемещения точки В совершаются вдоль оси OX.I.2. Идеальные связиСуществуют наиболее часто встречающиеся в механике виды связей:поверхность, абсолютно жесткий стержень и гибкую нерастяжимую нить.Эти три вида связей, различные по своей физической природе, имеютодно общее аналитическое свойство.ПРИМЕР 3► Пусть связью для i - й материальной точки системы является идеальногладкая поверхность.
Известно, что реакция такой связи направлена понормали от поверхности (рисунок 3).Рисунок 3Сообщим точке Mi возможное перемещение δ ri (принимая во вниманиенепроницаемость вещества связи). Угол между реакцией связи ивозможнымперемещениемменяетсявпределах0 ≤α ≤π2.Тогдаэлементарная работа, производимая реакцией связи Ni на возможныхперемещениях, будет неотрицательна δ Ai = Niδ ri ≥ 0 .9nДля всех точек системы δ A = ∑ Niδ ri ≥ 0 .i =1Знак неравенства имеет место в том случае, когда возможноеперемещение таково, что оно снимает точки системы со связи.Связь, которую точки системы могут покинуть при сообщении имвозможныхперемещений,называетсяодностороннейилинеудерживающей.Рассмотренная поверхность является примером односторонней связи.Если на данную несвободную точку наложить ещё одну связь, то точкабудет с двухсторонней связью.Связь, которую точки системы не могут покинуть при сообщении имвозможных перемещений, называется двусторонней или удерживающей.► Пусть связью для точки является абсолютно жесткий стержень (рисунок 4.)Рисунок 4Сообщим точке М возможное перемещение δ r и найдем элементарнуюработу реакции N на этом перемещении: δ A = Nδ r = 0 .
Иначе говоря, стержень является двусторонней связью.► Рассмотрим гибкую нерастяжимую нить, на которой подвешенаточечная масса-шарик (рисунок 5).Рисунок 510Нить допускает все перемещения, кроме тех, которые её удлиняют.Сообщим шарику возможные перемещения δ r1 или δ r2 , при которых нитьостается натянутой, тогда δ A = Nδ ri = 0 , (i=1,2).Сообщим шарику возможное перемещение, при котором нить не будетнатянута, тогда δ A = Nδ r3 > 0 .
Следовательно, все рассмотренные связиобладают одним общим свойством: работа, производимая этими реакциямина возможных перемещениях, неотрицательна. Это позволяет объединитьфизически различные связи в единый класс идеальных связей.Связи называются идеальными, если сумма элементарных работ,производимых их реакциями на возможных перемещениях точек системы,неотрицательна:nδ A = ∑ N iδ ri ≥ 0 ,(i= 1, n ),(1,3)i =1где п - число материальных точек в системе.Знак неравенства имеет место только при сообщении точкам системывозможных перемещений, освобождающих их от односторонних связей.Примерами идеальных связей могут являться:1.
абсолютно гладкие поверхности;2. абсолютно гладкие линии (направляющие);3. идеальные шарниры и подшипники (без трения);4. нерастяжимая. абсолютно гладкая нить;5. абсолютно твердый стержень;►абсолютно твердая шероховатая поверхность при качении по нейабсолютно твердого тела без скольжения.В реальных условиях не существует абсолютно гладких, ни абсолютнотвердых тел, так что работа реакций на любом возможном перемещении вовсех возможных случаях отрицательна. В тех практических случаях, когдаработа сил реакций связей ничтожна мала по сравнению с работой другихприложенных и ею можно пренебречь, и точностью, достаточной дляпрактики, эти связи можно отнести к категории идеальных связей. Когда жеработа сил трения связей не мала и ею нельзя пренебречь, то эти силыусловно относят к числу активных сил.I.3.
Принцип возможных перемещенийПринцип возможных перемещений удобен тем, что при рассмотрениисистемы с идеальными связями их реакции не учитываются и необходимооперировать, только активными силами.Принцип возможных перемещений формулируется, следующим образом:для того, чтобы материальная система, подчиненная идеальным связямнаходилась в состоянии покоя, необходимо и достаточно, чтобы суммаэлементарных, работ, производимых активными силами на возможныхперемещениях точек системы, была неположительная:11∑Fi⋅ δr ≤ 0,(1.4)где Fi - действующая активная сила, приложенная к i -й точкемеханической системы.Знак неравенства в соотношении (1.4) имеет место в том случае, когдасреди наложенных связей есть, односторонние, а среди возможныхперемещений есть перемещения, освобождающие точки системы от связей.Выражая элементарную работу активной силы Fi через её проекциина координатные оси, получаем выражение видаn∑(X δ x +Yδ y + Z δ z ) ≤ 0 ,iiiii(1.5)ii =1где Xi, Yi, Zi- проекции силы Fi на осикоординат;δxi , δy i , δz i - проекции возможного перемещения δ ri на те же оси.Если условимся рассматривать только такие возможные перемещения,которые не освобождают точки системы от связей, тогда соотношения (1.3),(1.4),и (1.5) равны нулю.В обобщенных координатах элементарная работа на возможномперемещении системы равнаsδ A = ∑ Qvδ qv ,(1.6)i =1где Qv - обобщенная cила соответствующей обобщенной координаты qv .Обобщенные силы определяются как коэффициенты при δ qv в выражении(1.6) или по одной из следующих формул:n∂ ri∂x∂y∂zQv = ∑ Fi= ∑ ( X i i + Yi i + Z i i ) ;∂qv i =1∂qv∂qv∂qvi =1n(1.7)n∂AQv = v =∂qv∑ Fδ Siivcos( Fi , ri )i =1,δ qv(1.8)где δ Av -элементарная работа всех активных сил, действующих насистему, получившую возможное перемещение, при которомизменяется только данная У -я обобщенная координата.Для консервативных систем обобщенная сила равнаQv = −∂П,∂qv(1.9)где П - потенциальная энергия системы.Принцип возможных перемещений в обобщенных координатах (дляголономных систем) выражается следующим образом:Qv = 0 ,( v = 1, S ),Если ввести понятие возможных скоростейδVi=то вместо (1.4) получим12δ ridt,(1.10)n∑i =1FδiVi≤ 0,(1.11)Принцип возможных перемещений позволяет решать все задачи наравновесие тел совершенно иными методами, чем это делалось в статике.Преимущество его оказывается особенно значительным в тех случаях,когда мы имеем дело с системой нескольких абсолютно твердых тел и супругими стержневыми системами.Если требуется определить какую-либо реакцию идеальной связи, топрименяя принцип освобождаемости от связей, следует отброситьсоответствующую связь и заменить её искомой реакцией.
При вычисленииэлементарной работы сил к активным силам надо добавить эту реакциюсвязи. Такой метод решения задач на равновесие систем твердых телявляется чрезвычайно эффективным, так как искомая реакция связинепосредственно определяется из составленного уравнения равновесия, чтопозволяет исключить составление и решение системы уравненийравновесия, известных из статики.2 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬРЕШЕНИЯ ЗАДАЧАлгоритм выполнения :1. Определить число степеней свободы системы.2.
Указать на расчетной схеме все действующие активные силы.3. При необходимости определения реакций связей используется принципосвобождаемости от связей, для этого мысленно необходимо отброситьсоответствующую связь, заменяя её искомой реакцией, которая включаетсяв разряд активных сил.4. При наличии неидеальных связей надо добавить соответствующие силытрения к числу активных сил.5.
Указать на расчетной схеме одно из возможных перемещений системы.6. Составить сумму элементарных работ всех активных сил на указанныхвозможных перемещениях точек их приложения; выразить затем величиныэтих перемещений через независимые возможные приращения обобщенныхкоординат, т.е. записать принцип возможных перемещений в обобщенныхкоординатах.7. Решив составленные уравнения, определить искомые величины.133 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПРИМЕР IВ химической промышленности при разделении суспензий используетсярамный пресс-фильтр с различным исполнением зажимного устройства,которое может быть ручным, электрическим и гидравлическим. Рассмотримсхему ручноё винтовое устройство (рисунок 6).В горизонтальном пресс-фильтре при вращении рукоятки А винт Bсообщает поступательное перемещение чередующимся прямоугольнымплитам и пустотелым рамам.
Определить зависимость между вращающиммоментом M, приложенным к рукоятке A ,и модулем силы F. При этом шагвинта равен h. Это значит, что при одном обороте винт перемещается вгоризонтальном направлении на расстояние h.Рисунок 6 – Эскиз винтового прессаМеханизм с одной степенью свободы, подчиненный идеальным связям,находится под действием активной силы F и вращающего момента M.Например, ось X вдоль геометрической оси винта. Дадим возможноеугловое перемещение δλ рукоятке А и, следовательно, винту B сообщаемпоступательное перемещение δχ .B этом случае принцип возможныхперемещений приведет к выражениюM δγ − F δχ = 0 .Для определения зависимости δχ от δγ выразим x через γ .
Так как приодном обороте винт перемещается на h, а при повороте на γ переместитсянарасстояниеX,котороеопределяетсяизпропорции2π γ=hx.hhγ , вычислим вариацию δ x =δγ . Подставляя найденное2π2πвыражение δ x через δγ , получимhG(M − F)δγ = 0 , где δγ ≠ 0 tgγ 1 = 1 tgγ 22πG2Получим x =14Следовательно, M = Fh.2πПРИМЕР 2.В гидравлическом прессе, изображенном на рисунке 7,Рисунок 7 - Эскиз гидравлического прессаперпендикулярно к рычагу OA в точке A действует сила F . Площадьлевого I поршня равна S1, площадь правого П правого – S2. Определимвеличину усилия Q , сжимающего тело M, если OA=a, OB=b.
Трениемпренебречь.РЕШЕНИЕСистема имеет одну степень свободы S=1 и находиться в равновесии поддействием двух активных сил F и Q . Примем за обобщенную координатуq1 = Ω - объем вытесненной жидкости из полости I в полость П. Дадимсистеме возможное перемещение рукоятке AO- δ S A в сторону действиясилы F , при этом поршень из цилиндра I вытесняет бесконечно малыйобъем жидкости δΩ в полость П, что приведет к малому смещению поршняП вверх на величину δ SM . Жидкость считается не сжимаемой.Применяя принцип возможных перемещений, запишемFδ S A − Qδ S M = 0 .Выразим возможные перемещения точек A и M в зависимости от δΩ .Воспользовавшись подобием треугольников построенных на рычаге AO,15abможно записать δ S A = δγ b .
Так как шток BC является абсолютно жестким,тоδ S c = δ Sbabи δ S A = δ Sc =a 1δΩ ,аb S1подстановки в основе уравнение получимQ=1δΩ , тогда в результатеS2aF Q(− )δΩ = 0 , таким образом,b S1 S 2δ SM =aS 2F.bS1ПРИМЕР 3Дифференциальная передача состоит из двух шестерен I и Ш, которыемогут вращаться вокруг общей неподвижной оси O, и бегающей шестерниП, приводимой в движение водителем OA. К водилу приложена пара сил смоментом M0.Определить моменты M1 и M3 пар сил, которые надо приложить кшестерням I и Ш, чтобы уравновесить механизм. Радиусы колес I и Шравны соответственно r1 и r3. механизм расположен в горизонтальнойплоскости. Трением пренебречь.Рисунок 8 – Модель дифференциальной передачиРЕШЕНИЕСистема имеет две степени свободы S=2 и находиться в равновесии поддействием трех пар сил (задаваемых сил) с моментами M0, M1 и M3.
Примемза обобщенные координаты q1 = γ 0 - угол поворота водила и q2 = γ 1 - уголповорота шестерни I. Сообщим системе возможные перемещения δγ 0 и δγ 1в сторону, определяемую действием пары с моментом M0. При этомшестерня П получает угловое перемещение δγ 2 , а шестерня Ш – угловоеперемещение δγ 3 . Направления этих перемещений зависят от δγ 0 и δγ 1 .16Согласно принципу возможных перемещений имеемδ A( M 0 ) + δ A( M 1 )δ A( M 3 ) = 0или M 0δγ 0 + M 1δγ 1 + M 3δγ 3 = 0(3.1)При этом предполагается, что пары сил с моментами M1 и M3 стремятсяповернуть соответствующие шестеренки в направление угловыхперемещений δγ 1 и δγ 3 .Введем в рассмотрение возможные угловые скорости ω i =δδγ idtТогда вместо (3.1) получимM 1ω1δ M 1ω1δ M 3ω3δ = 0 .Угловая скорость ω3δ зависит от ω0δ и ω1δ .(i=0,1,2,3),(3.2)Установим эту зависимость, пользуясь формулой Виллиса:ω1δ − ω0δr=− 2 ;δδr1ω2 − ω0ω2δ − ω0δ r3=,ω3δ − ω0δ r2Перемножая эти равенства, получимrr3отсюда ω3δ = ω0δ (1 − 1 ) − ω1δПодставляяω1δ − ω0δr=− 3 ,δδr1ω3 − ω0r1;r3этизначенияв(3.2),получимr1 δr1 δ M 0 + M 1 (1 + ) ω0 + ( M 1 − M 3 )ω1 = 0r3 r3Здесь ω0δ и ω1δ - взаимно независимые величины в силу независимости δγ 0и δγ 1 .Поэтому можно считать:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
