Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Независимо от знаков второго и высших дифференциалов все точки, в которых.выполняется условие (2), называются с т а ц и о н а р н ы м и т о ч к ам и, а значения функции в них — с та ци о н а р н ы м и з н а ч е н и ям и. В стационарной точке второй дифференциал может оказаться ни положительно, ни отрицательно определенным; в такой стационарной точке функция не имеет ни минимума, ни максимума. Это так называемая т о ч к а м и н и м а к с а. Обобщение задачи нахождения стационарных значений и экстремумов функции при нахождении стационарных значений и экстремумов определенных интегралов рассматривается в вариационном исчислении. Рассмотрим, например, определенный интеграл ь Ф=~ Р(х, у, у', у") йх, а где у = — — у (х).
При фиксированных пределах интегрирования и заданном подынтегральном выражении Р (х, у, у', у') значение определенного интеграла зависит от конкретного выбора функции д =- у (х). Переменные величины такого типа, значения которых определяются выбором одной или нескольких функций, называются функционалами. Понятие вариации имеет в вариационном исчислении такое же фундаментальное значение, как н понятие дифференциала в дифференциальном исчислении. В а р и а ц и е й функции у = д (х) называют допустимое по условиям данной задачи малое изменение этой функции. Вариация функции д обозначается бд. Аналогично вводят понятия вариаций первой и высших производных функций; обозначают их соответственно бу'„бу' и т.
д. Заметим, что (бу)' = бу', т. е. символ вариации 6 можно выносить за знак дифференцирования. При варьировании функции д = у (х) и ее производных изменяется значение функционала Ф. Приращение функционала ЬФ можно представить в ' виде, аналогичном выражению (1): АФ= ЬФ+ — бзФ+..., 1 2! (е) где ь 1 дР дР , дР бФ= ~ — бу+ —, бу'+ —, бд" бх; ~ ду дд' ду' а ь Р Р дзР дзР дзР 6'Ф = — (бу)в г — (бу')'-1- — (бу')э+ ,) 1 ду' ду ' дд' д'Р дзР д'Р +2, бубу'+2 „буду" +2, „бд'бу" 4х, 882 Величина 6Ф, аналогичная первому дифференциалу функции нескольких переменных, является главной линейной относительно вариаций функции и ее производных составляющей приращения ЛФ и называется и е р в о й в а р и аци е й функционала Ф. Величина б'Ф аналогична второму дифференциалу функции нескольких переменных; эта величина носит название в т о р о й - в ар и а и и и функционала Ф.
Основная задача вариационного исчисления формулируется так: среди всех допустимых но условиям данной задачи функций найти такую функцию д =- = у (х), которая доставляет заданному функционалу экстремальное значение. Р / дР дР бР ~ дР ~ь дР 1ь бФ = ) ~ — бу+ —, бу'+ — бу») 4х= —, ду ~ + — бу'1 + ,) ~ ду ду' ду» ) ду' ~а дд» 1а а Р7дР б дР б дР + 1 ~ — бу — — —, бу — — — » бд' бх= ,) ~ ду бх ду' дх ду" а ь а Откуда следует, что условие стацнонарности бФ = О выполняется при всех до- пустимых вариациях искомой функции, если, во-первых, дР 4 дР оз дР— — — —,+ — — = — О, (11) ду бх ду ' бха ду' во-вторых, при х = а и х = Ь должны выполняться условия: ( дР б дР бу=О, т.
е. у задано, либо ~, — — — 1=0; ~ ду' бх ду" / д Уравнение (11) называется уравнением Эйлера. В данном примере, когда функ- ционал зависит от второй производной искомой функции, это уравнение имеет четвертый порядок и выражения (!2) дают те четыре граничных условия, какие могут быть заданы при х = а и х = Ь. В общем случае, когда функционал за- висит от производных искомой функции до т-го порядка включительно, уравне- ние Эйлера имеет порядок 2т и соответствующее число граничных условий. Все сказанное может быть обобщено на функционалы, зависящие от несколь- ких функций одной или нескольких независимых переменных. Так, например, если задан функционал ь Ф=) Р(х, и, о, и', о', и', о») бх, (13) а дР бу'=О, т. е.
у' задано, либо — =О. (12) д» ЗВЗ Необходимым условием экстремума функционала является равенство пулю его первой вариации: бФ=О, (9) Условие бФ=О называют условием стационарности ф у н к ц и о н а л а. Это условие, как и равенство (2) для функции нескольких переменных, является необходимым условием максимума или минимума функционала. Как видно из выражения (б), стационарное значение функционала будет минимумом, если вторая вариация функционала является положительно определенной, т.
е. если при любых допустимых по условиям задачи вариациях выполняется условие бзФ) О, (10) Аналогично формулируется условие максимума функционала. Из условия стационарности (9) может быть получено дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять искомая функция, доставляющая стационарное значение функционалу, а также те граничные условия, которым она может быть подчинена.
Для этого, последовательно интегрируя выражение для первой вариации функционала (7) по частям, избавимся от вариаций производных искомой функции под знаком интеграла: где и = и (х), о = о (х), то его первая вариация определяется выражением, ана- логичным выражению (7): ь с.с дР дР дР , дР ', дР ЬФ= ~ ~ — Ьи+ — бо+ —, Ьи'+ —, бо'+ „би" + ,) ~ ди до ди' до' ди"з а дР + — бэ" с!х. . (14) до" Действуя так же, как и в предыдущем примере, можно показать, что функции и = и (х) и о = о (х), доставляющие стационарное значение функционалу, т.
е. обеспечивающие выполнение условия ЬФ = О, должны удовлетворять сссстеме уравнений Эйлера дР с( дР сР дР— — — —,+ — — =-01 ди с(х ди' дх' ди' (15) дР с( дР дв дР 1 О до дх до' дх' до" и соответствующим граничным условиям. Если функционал зависит от функции нескольких независимых переменных, условие стационарности приводит к уравнениям в частных производных. Так, если задан функционал ди ди д'и д'и дви Ф= Р х,у,и, —,—, —,, —,, — 11с(хс)у, (16) 'дх ' ду ' дха ' дув ' дхду ! то уравнение Эйлера имеет вид дР д дР д дР дэ дР ди дх ди ду ди + дха д'и + дэ дР дэ дР (! 7) Если на функции, от которых зависят исследуемые функционалы, наложены некоторые дополнительные условия, то задача поиска экстремума называется задачей на у с л о в н ы й э к с т р е м у м.
Например, можно сформулировать задачу так: найти функцию у = у (х), доставляющую стационарное значение функционалу (5) и удовлетворяющую дополнительным интегральным условиям. ь ) сс; (х, у, у', у") дх= — дс, где д! — заданные константы; (= 1, 2, ..., а. Решение этой задачи можно получить с помощью метода множителей Лагранжа, отыскивая условия стационарности вспомогательного функционала ь Ф*=~Рв (х, у, у', у") дх.
Р Здесь ь Р'=Г(х, у, у, у")+ ~ ).! О; (х, у, у, У.), з=! где Х; — неизвестные постоянные (множители Лагранжа). При заданных граничных условиях для определения й множителей Лагранжа Х! и искомой функции у = у (х) используют Й условий связи (18) и уравнение Эйлера вспомогательного функционала дд" д дР* дз —, + (21) ду дх ду' дхз дг* =О ду" (24) ПРИЛОЖЕНИЕ П Основные определения матричной алгебры М а т р и ц е й называется прямоугольный массив чисел или алгебраичес.
ких символов, расположенных по строкам и столбцам. Система линейных уравнений аыХ + атз'г'+ а,зЯ = Ьт, амХ+ аззУ+ аззЕ = Ьз аззХ + азз~ т азат = Ьз может быть записана в компактном виде (А] (Х) = (Ь), где !А) — квадратная матри)!а, имеющая три строки и три столбца: ам а!з а!з (А] — — аго азз аз аз, азз азз Для функционалов, зависящих от нескольких функций, возможны задачи на условный экстремум прн дополнительных конечных или дифференциальных связях, накладываемых на искомые функции.
Пусть, например, задача сформулирована так: найти условие стационарности функционала ь ц!= ~г (х У! Уз У! Уз Уз У,",...,) пх, (22) если и искомых функций подчинены дополнительным уравнениям Оу(х, ут, уз, уы уг уз уз> ° .)=О„ (23) где !' = — 1, 2, ..., Й. Число этих дополнительных уравнений, конечно, должно быть меныпе числа искомых функций, т. е, й с- п. Такую задачу тоже можно решить с помощью метода множителей Лагранжа, отыскивая условия стациопарности вспомогательного функционала (!9), где теперь э Ь =Р (хю дг~ уз у! > уз~ уз~ уз ...)+ ~~~ Хз (х) Оу 1=! При заданных граничных условиях и искомых функций у! = у! (х) и й функций Х~ = — Х) (х) определяются из системы уравнений Эйлера и й дополнительных уравнений связи (23).
Аналогично выглядит метод множителей Лагранжа и в тех задачах на условный экстремум, когда искомые функции зависят от нескольких переменных. (Х~ и (Ь) — матрицы-столбцы или векторы: Х ь, (х[= у, (ь~= ь, Я Ьз Правило перемножения матрицы на вектор следует из вышеприведенных соотношений. Отсюда же можно получить произведение вектора-строки иа вектор-столбец н вектора-столбца на вектор-строку: Х (ат а2 пД У =- ат Х+ аа '1'+ аз 2, к 121 ат Х ат У а1 Х а2 ((ХУЛ)= аа Х а2 У а2 Л 113 аа Х аз У аз У Приведенные зависимости показывают, что матричное произведение не коммута- тивно: (а) (Х) ~ (Х) (а~. Матрицы одинаковой размерности, у которых число строк и столбцов то же самое, можно складывать.
При этом суммируются соответствующие члены матриц. Т р а н с п о н и р о в а н н о й называется матрица, у которой столбцы заменены строками и наоборот, Например, 1212 1213 "Ы Я31 31т 22 п23 ~ [А1 ~12 ~22 32 аы ,А~ =- а,д П31 П32 Пзз а 13 а23 а33 Транспонированными могут быть также вектор-столбец и вектор-строка: Х т Х =(хю[, (хю[т= у Я' Я Транспонированное произведение матриц [[А1 щ~т = щт [А(т Записанную выше систему уравнений при известных коэффициентах матрицы [А[ можно решить относительна Х, У, Л нли вектора (Х[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
