Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Если заряд свободно вложен в корпус, продольные инерционные силы воспринимаются специальными опорными устройствами; если заряд скреплен с корпусом, инерционные силы передаются непосредственно на корпус двигателя, В свободно вложенном заряде давление газов создает почти равномерное сжатие, обычно не приводящее к неприятным последствиям, Заряд, скрепленный с корпусом двигателя, можно рассматривать как нагруженный внутренним давлением толстостенный сосуд. Давление газов вызывает в нем сложное неоднородное напряженное состояние, которое может привести к разрушению заряда. Для крупногабаритных зарядов твердого топлива существенным оказывается действие собственного веса. Под влиянием этой силы в процессе длительного хранения и транспортировки заряда из-за ползучести твердого топлива может нежелательно измениться геометрия заряда. На процессе работы двигателя могут отразиться три основные вызываемые перечисленными нагрузками причины: 1) деформация заряда твердого топлива, происходящая в нем как во время хранения, так и в рабочем режиме и изменящая номинальную геометрию заряда„ например проходное сечение внутреннего канала; 2) увеличение поверхности горения в результате разрушения, растрескивания заряда, вызываемого действующими в нем напряжениями: 3) разрушение заряда в конце работы двигателя вследствие потери устойчивости под действием инерционных сил и перепадов давлений (в основном, для свободно вложенного заряда).
Основной задачей при изучении механического поведения заряда твердого топлива является определение его напряженно-деформированного состояния. Для заряда неосесимметричной формы — это сложная трехмерная задача деформирования твердого тела, имеющего типичные для полимера свойства. Задача существенно усложняется из-за того, что в зависимость напряжение — деформация входит время, Поэтому для решения должны быть заданы начальные и граничные условия. В общем случае решение такого типа задач с учетом реальных свойств твердого топлива возможно только на мощных ЭВМ с использованием методов конечных элементов в сочетании с шаговыми мето- дами решения. Лишь в некоторых частных случаях могут быть получены сравнительно простые аналитические решения.
В качестве примера наиболее простого аналитического решения приведем решение задачи о напряжениях и деформациях в заряде твердого топлива, скрепленном с корпусом двигателя и имеющем форму кругового цилиндра. Топливо будем считать работающим упруго; такое упрощение свойств реального топлива возможно при определении напряжений, вызываемых быстро нарастающим давлением при запуске двигателя, и при низких температурах, когда вязкоупругими свойствами топлива можно пренебречь. Для решения этой задачи восполь— зуемся результатами решения плоской задачи теории упругости в полярных координатах (см.
я 2.3). Особенности крепления торцов заряда твердого топлива учитывать не будем и заменим реальРис. 14.10 ный двигатель упрощенной схемой (рис. 14.10). Обычно модуль упругости материала корпуса двигателя на несколько порядков больше, чем мо- . дуль упругости твердого топлива; поэтому на первом этапе решения при определении напряженно-деформированного состояния заряда деформациями корпуса можно полностью пренебречь и принять его абсолютно жестким (221. В этом случае при осесимметричном нагружении заряд твердого топлива, изображенный на рис.
14.10, находится в условиях плоского'деформированного состояния (е, = О). Воспользовавшись уравнениями (2.30) и (2.31), запишем и= '11' ~А,(1 — 21~)г~- ~'1 (14.38) Е к 1 и а, = А, — А,lг', аз = А, + А,/г'. (14.39) Здесь Е и м — модуль упругости и коэффициент Пуассона твердого топлива; и — радиальное перемещение; а„и аз — радиальные и окружные напряжения. Произвольные постоянные А„А, определяются из граничных условий при значениях текущего радиуса г = г, и г = г,.
Из закона Гука при з, = 0 следует а, = 2рА,. (14.40) Приведенные зависимости положим в основу определения напряженно-деформированного состояния в заряде твердого топлива, вызванного давлением газов работающего двигателя и изменением его температуры. Напряжения и деформации, вызванные в заряде давлением газов, На внутренней поверхности заряда прн г = г, сжимающее радиальное напряжение а„равно давлению газов р„а на внешней поверхности заряда при г = г,, равно нулю радиальное перемещение и, поскольку деформациями камеры мы пренебрегаем, т. е.
граничные условия будут: а,(г,) = — р;, и(г,) =О. (14.41) Определив из этих граничных условий произвольные постоянные А, и А, из формул (14.39) и (14.40), находим: и'"+ 1 — 2р (14.42) и~+1 — 2р а, =- — 2р, и~+ 1 — 2р, — где т = где,, Отсюда, в частности, следует, что на внутренней по верхности заряда при г = гд окружные напряжения ое = р, (1 — т' — 2р)/(1 + т~ — 2р). (14.43) В отношении полученного результата можно высказать два замеча- ния. Во-первых, при малых значениях отношения т окружное на- пряжение аз на внутренней поверхности заряда оказывается растяги- вающим, что может послужить причиной разрушения заряда; во-вто- рых, окончательные результаты чрезвычайно чувствителны к значе- нию коэффициента Пуассона твердого топлива.
Обычно заряд, прочно скрепленный с корпусом двигателя, выполняют из смесевого эластич- ного топлива [22), значение коэффициента Пуассона которого р м 0,5. А как видно из формул (14.42), при т~~ 1 и р ~ 0,5 напряжения в заряде могут резко изменяться при малых изменениях значений р. Температурные напряжения и деформации в двигателе со скреплен- ным зарядом.
Будем считать, что при температуре 1~ напряжения в за- ряде равны нулю. Определим, какие напряжения и деформации воз- никнут в заряде, если температура заряда и корпуса двигателя изме- нится и станет равной 1. Для этого опять воспользуемся решением уп- ругой задачи для толстостенного цилиндра. Как и в предыдущем слу- чае, корпус двигателя считаем абсолютно жестким (его размеры изме-, няются только за счет температурных удлинений), Но в отличие от предыдущего случая силовое удлинение заряда е, не равно нулю, а определяется разностью температурных удлинений топлива и мате- риала корпуса двигателя.' е, = (а„— а) (д — 1,), (14.44) где а и а„.
— температурные коэффициенты линейного расширения соответственно топлива и материала корпуса двигателя. Используя обобщенный закон Гука и зависимости (14.39), нетруд- но найти радиальные и окружные удлинения в заряде: е„= ~Ад (1 — 2р,) — — ~ — ре,; 1+р Г А~1 г~ (14.45) ее = 1(Ад(1 — 2р)+ — '~ — ре„ 1+рГ А,1 а также осевое напряжение: о, = Ее, + р (о„+ ае) = Ее, + 2рАд. (14.46) 879 Для определения констант А, и А, в данной задаче имеем два граничных условия: внутрен(1яя поверхность заряда не нагружена и, следовательно, на ней гт„=О, а на наружной поверхности заряда полные окружные удлинения топлива равны температурным окружным удлинениям корпуса двигателя, т.
е. граничные условия данной задачи: о, (г,) =- О; ге (га) -,'— я (г — го) = ~к (И вЂ” го), (14.47) откуда находим г ~ (1 (о) (огк — ог) . о Агг = т'-'; 1 — 2)г ~ (" — ~о) ( гк — сг) о (14 48) лог+ 1 — 2!г и подсчитываем напряжения в заряде о„= В (1 — гг/г'); ае = В (1+ гИ'); о, = В (1+ и~) (14.49) где В Е (! — 1о) (Як — а) то-г-1 — 2р, Приведенных зависимостей достаточно для определения напряжений и деформаций в заряде твердого топлива для тех случаев, когда коэффициент линейного расширения материала корпуса двигателя имеет одно и то же значение в осевом и окружном направлениях. Полученное решение легко скорректировать и для различных значений температурных коэффициентов в осевом и окружном направлениях.
Коэффициент линейного расширения топлива значительно превышает коэффициенты линейного расширения тех материалов, из которых изготовляют корпуса двигателей. Поэтому наиболее опасные растягивающие напряжения будут возникать в заряде при охлаждении двигателя, когда 1( 1о. При этом наибольшими будут окружные напряжения у внутренней поверхности заряда (при г = г,): ое=~ с Е (1 го) (огк гг) (14.50) то+ 1 — 2р, Представляют практический интерес и значения радиальных напряжений на наружной поверхности заряда (при г = г,), которые могут привести к отслоению заряда от корпуса при охлаждении двигателя: ( о)( к ) (1 2) (14.51) то-!-1 — 2)г Оценка работоспособности заряда твердого топлива производится как по допускаемымперемещениям, таки по допускаемым напряжениям.
Типичный примср расчета по допускаемым перемещениям— определение изменения геометрии заряда, вызванное ползучестью топлива под действием собственного веса во время хранения или перепадами давлений и инерционными нагрузками в момент старта ракеты [17). При пониженных температурах топливо становится хрупким (пластическпе деформации отсутствуют); разрушение, растрескивание заряда может в результате резкого увеличения поверхности горения привести к взрыву всего двигателя. Поэтому при температуре ниже так называемой температуры стеклования расчет заряда твердого топлива следует производить по допускаемым напряжениям, учитывая концентрацию напряжений [171. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ / Основные понятия вврнвционного исчисления Прежде чем излагать основы вариационного исчисления, приведем необходимые сведения из математического анализа и линейной алгебры.
Приращение функции нескольких переменных 1 = 1 (к,, к„..., к„) может быть подсчитано с помощью ряда Тейлора: д'1 Лк;Лк +..., дк; дк1 где Лк„Лк„..., Лк„— приращения независимых переменных к,, к,, ..., к„; частные производные берутся в рассматриваемой точке. Функция имеет минимум, если ее значение в рассматриваемой точке меньше значений во всех достаточно близких точках, т. е. если Л1 => О при любых достаточно малых приращениях независимых переменных. Необходимым условием минимума функции является равенство нулю ее первого дифференциала, что эквивалентно равенству нулю всех ес первых частных производных в рассматриваемой точке д1 д1 д1 =О.
(2) дкд дкя дк„ Это условие не является достаточным условием минимума. Для того чтобы функция имела минимум, кроме условия (2) в рассматриваемой точке должно еще выполняться условие 2=! 1=1 при любых комбинациях приращений независимых переменных, т. е. условие положительной определенности второго дифференциала. Это условие выполня- ется тогда и только тогда, когда дг1 — )О, дк2 дк, дк2 д21 дк2 >О;...; дк, дкд дкд дкп д21 дк, дк„ д21 дк„' д21 дк„ дкд д21 дкдд дкя 381 д21 дк2д д21 дх2 дк, д21 дкз д21 дкд дкз д21 дк2 Если хотя бы одно из неравенств обращается в равенство, то для выяснения характера поведения функции в рассматриваемой точке в разложении (1) необходимо учесть и исследовать следующие слагаемые, содержащие производные более высокого порядка. !'чм: ив в мм Аналогично формулируются условия максимума функции в точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
