Норенков И.П. - Автоматизированное производство (1054022), страница 34
Текст из файла (страница 34)
!"#$%!#&'&($"!))$*+($*,#&($"!)&*905@!"! 3%!#*%!#&F*:,$*$I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&Mмышленности. В развитых машиностроительных САПР используют как 2D, так и 3D моделированиедля синтеза конструкций, представления траекторий рабочих органов станков при обработке заготовок, генерации сетки конечных элементов при анализе прочности и т.п.В 3D моделировании различают модели каркасные (проволочные), поверхностные, объемные(твердотельные).O)"%)+*)9 /#-$45 представляет форму детали в виде конечного множества линий, лежащих наповерхностях детали.
Для каждой линии известны координаты концевых точек и указана их инцидентность ребрам или поверхностям. Оперировать каркасной моделью на дальнейших операцияхмаршрутов проектирования неудобно, и поэтому каркасные модели в настоящее время используютредко.!#($",*#+&*)9 /#-$45 отображает форму детали с помощью задания ограничивающих ее поверхностей, например, в виде совокупности данных о гранях, ребрах и вершинах.Особое место занимают модели деталей с поверхностями сложной формы, так называемыми+%7450&7"*./' 0#($",*#+&9/'.
К таким деталям относятся корпуса многих транспортных средств(например, судов, автомобилей), детали, обтекаемые потоками жидкостей и газов (лопатки турбин,крылья самолетов), и др.U23$/*.$ /#-$4' отличаются тем, что в них в явной форме содержатся сведения о принадлежности элементов внутреннему или внешнему по отношению к детали пространству.В настоящее время применяют следующие подходы к построению геометрических моделей.1.
Задание граничных элементов — граней, ребер, вершин.2. O'*$/)&'1$+%'; /$&#-, согласно которому задают двумерный контур и траекторию его перемещения; след от перемещения контура принимают в качестве поверхности детали.3. !#6'='#**.; 0#-,#-, в соответствии с которым рассматриваемое пространство разбивают наячейки (позиции) и деталь задают указанием ячеек, принадлежащих детали; очевидна громоздкостьэтого подхода.4. Представление сложной детали в виде совокупностей 2)6#(., B4$/$*&#( E#"/. (БЭФ) и выполняемых над ними теоретико-множественных операций.
К БЭФ относятся заранее разработанные моделипростых тел, это, в первую очередь, модели параллелепипеда, цилиндра, сферы, призмы. Типичными теоретико-множественными операциями являются объединение, пересечение, разность. Например, модельплиты с отверстием в ней может быть получена вычитанием цилиндра из параллелепипеда.Метод на основе БЭФ часто называют /$&#-#/ %#*+&"7%&'(*#; 8$#/$&"''. Это основной способ конструирования сборочных узлов в современных САПР-К.В памяти ЭВМ рассмотренные модели обычно хранятся в векторной форме, т.е.
в виде координат совокупности точек, задающих элементы модели. Выполнение операций конструирования такжевыполняется над моделями в векторной форме. Наиболее компактна модель в виде совокупности связанных БЭФ, которая преимущественно и используется для хранения и обработки информации об изделиях в системах конструктивной геометрии.Однако для визуализации в современных рабочих станциях в связи с использованием в них растровых дисплеев необходима ")+&$"'6)='9 — преобразование модели в растровую форму. Обратнуюоперацию перехода к векторной форме, которая характеризуется меньшими затратами памяти, называют ($%&#"'6)='$;. В частности, векторизация должна выполняться по отношению к данным, получаемым сканированием изображений в устройствах автоматического ввода.K.4/.-8+A.,7+.
/45.D+. Важной составной частью геометрических моделей является описание поверхностей. Если поверхности детали — плоские грани, то модель может быть выражена достаточно просто определенной информацией о гранях, ребрах, вершинах детали. При этом обычно используется метод конструктивной геометрии. Представление с помощью плоских граней имеет местои в случае более сложных поверхностей, если эти поверхности аппроксимировать множествами плоских участков — полигональными сетками. Тогда можно поверхностную модель задать одной из следующих форм:1) модель есть список граней, каждая грань представлена упорядоченным списком вершин (циклом вершин); эта форма характеризуется значительной избыточностью, так как каждая вершина по&.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*+($*,#&($"!)&*915@!"! 3%!#*%!#&F*:,$*$I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&Mвторяется в нескольких списках.2) модель есть список ребер, для каждого ребра заданы инцидентные вершины и грани.Однако аппроксимация полигональными сетками при больших размерах ячеек сетки дает заметные искажения формы, а при малых размерах ячеек оказывается неэффективной по вычислительнымзатратам.
Поэтому более популярны описания неплоских поверхностей кубическими уравнениями вформе Безье или I-сплайнов.Знакомство с этими формами удобно выполнить, показав их применение для описания геометрических объектов первого уровня — пространственных кривых.+ - 0 B .F 6 9 0 . . Геометрическими объектами нулевого, первого и второго уровней называют соответственно точки, кривые, поверхности.В подсистемах МГиГМ используются параметрически задаваемые кубические кривыеx(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx ,(3.48)y(t) = ayt3 + byt2 + cyt + dy ,32z(t) = azt + bzt + czt + dz ,где 1 і t і 0. Такими кривыми описывают сегменты аппроксимируемой кривой, т.е.
аппроксимируемуюкривую разбивают на сегменты и каждый сегмент аппроксимируют уравнениями (3.48).Применение кубических кривых обеспечивает (соответствующим выбором четырех коэффициентов в каждом из трех уравнений) выполнение четырех условий сопряжения сегментов. В случаекривых Безье этими условиями являются прохождение кривой сегмента через две заданные концевыеточки и равенство в этих точках касательных векторов соседних сегментов. В случае I-сплайнов выполняются условия непрерывности касательного вектора и кривизны (т.е.
первой и второй производных) в двух концевых точках, что обеспечивает высокую степень “гладкости” кривой, хотя прохождение аппроксимирующей кривой через заданные точки здесь не обеспечивается. Применение полиномов выше третьей степени не рекомендуется, так как велика вероятность появления “волнистости”.В случае формы Безье коэффициенты в (3.48) определяются, во-первых, подстановкой в (3.48)значений t=0 и t=1 и координат заданных концевых точек P1 и %4 соответственно, во-вторых, подстановкой в выражения производныхdx/dt = 3axt2 + 2bx + cx ,dy/dt = 3ayt2 + 2byt + cy ,dz/dt = 3azt2 + 2bzt + cz ,тех же значений t=0 и t=1 и координат точек %2 и %3, задающих направлениякасательных векторов (рис.
3.27). В результате для формы Безье получаемx(t) = TТMGx,y(t) = TТMGy,(3.49)Тz(t) = T MGz,где TТ = ( t3, t2, t, 1) — вектор-строка, матрица M представлена в табл. 3.11,Gx — вектор координат S,i точек P1, %2, %3 и %4, аналогично Gy, Gz — векторыкоординат Syi, Szi тех же точек.В случае I-сплайнов аппроксимируемая кривая делится на n участков,выделяемых последовательными точками P0, P1, P2,…Pn. Участок между парой соседних точек Pi и Pi+1 аппроксимируется I-сплайном, построенным с использованием четырех точек Pi-1, Pi, Pi+1, Pi+2.
I-сплайн на-1/6участке [Pi, Pi+1] может быть представлен выражениями, аналогич1/2ными (3.49),x(t) = TТMGx,y(t) = TТMGy,z(t) = TТMGz,&.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*+($*,#&($"!)&*%+,. 3.27.Кривая БезьеM:BD+=: 3.))-13-313-630-33001000M:BD+=: 3.)21/2-1/21/6-11/20-1/201/201/62/31/60925@!"! 3%!#*%!#&F*:,$*$I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&Mдля которых матрица E имеет иной вид и представлена в табл.
3.12, а векторы Gx, Gy, Gz содержат соответствующие координаты точек Pi-1, Pi, Pi+1, Pi+2.Покажем, что в точках сопряжения для первой и второй производных аппроксимирующего выражения выполняются условия непрерывности, что требуется по определению I-сплайна. Обозначим участок аппроксимирующего В-сплайна, соответствующий участку [Pi, Pi+1] исходной кривой, через [Qi, Qi+1]. Тогда для этого участка и координаты , в точкесопряжения Qi+1 имеем t=1 иdx(t)/dt|t=1 = [3t2,2t,1,0]*M*[xi-1,xi,xi+1,xi+2]T = [3,2,1,0]*M*[xi-1,xi,xi+1,xi+2]T = (xi+2-xi) / 2;d2x(t)/dt2|t=1 = [6t,2,0,0]*M*[xi-1,xi,xi+1,xi+2]T = [6,2,0,0]*M*[xi-1,xi,xi+1,xi+2]T = xi-2 xi+1+ xi+2.Для участка [Qi+1, Qi+2] в той же точке Qi+1 имеем t=0 иdx(t)/dt|t=0 = [0,0,1,0]*M*[xi, xi+1,xi+2, xi+3]T = (xi+2-xi) / 2,d2x(t)/dt2|t=0 = [0,2,0,0]*M*[ xi, ,xi+1,xi+2, xi+3]T = xi-2 xi+1+ xi+2,т.е. равенство производных в точке сопряжения на соседних участках подтверждает непрерывность касательного вектораи кривизны.
Естественно, что значение xq координаты x точки Qi+1 аппроксимирующей кривой на участке [Qi, Qi+1]xq = [1,1,1,1]*M*[xi-1,xi,xi+1,xi+2]T = (xi+4 xi+1+xi+2) / 6равно значению xq, подсчитанному для той же точки на участке [Qi+1, Qi+2], но значения координат узловых точек xq и xi+1аппроксимирующей и аппроксимируемой кривых не совпадают.Аналогично можно получить выражения для форм Безье и I-сплайнов применительно к поверхностям с учетом того, что вместо (3.48) используются кубические зависимости от двух переменных.E.-451 + :D@48+-/1 /:I+0042 @8:H+7+ (345@4-497+ 7 9+?<:D+?:=++). К методам машинной графики относят методы преобразования графических объектов, представления (развертки) линийв растровой форме, выделения окна, удаления скрытых линий, проецирования, закраски изображений.!"$#2")6#()*'9 8")E'1$+%', #23$%&#( выполняются с помощью операций переноса, масштабирования, поворота.Перенос точки из положения % в новое положение * можно выполнять по формулам типаCxi = Pxi + ∆,i,где ∆,i — приращение по координате xi.
Однако удобнее операции преобразования представлять вединой матричной формеC = P M,(3.50)где M — преобразующая матрица. При этом точки C и P в двумерном случае изображают векторамистроками 1×3, в которых кроме значений двух координат, называемых при таком представлении однородными, дополнительно указывают масштабный множитель W. Тогда перенос для случая 2D можновыразить в виде (3.50), где M есть табл. 3.13, а W = 1.Для операций масштабирования и поворота матрицы M представлены в табл. 3.14 и 3.15 соответственно, где mx, my — масштабные множители, ϕ — угол поворота.M:BD+=: 3.)3M:BD+=: 3.)4M:BD+=: 3.)5100mx00cos ϕsin ϕ00100my0-sin ϕcos ϕ0∆,1∆,21001001Удобство (3.50) объясняется тем, что любую комбинацию элементарных преобразований можноописать формулой (3.50).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
