Борисенко В.Е. - Наноэлектроника (Теория и практика) (1051247), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Перенос носителей заряда а низкоразмерных структурах... ходящие за пределами структуры, что связано с наличием у нее контактов, которые следует рассматривать как составную часть самой структуры. Транспортные явления в низкоразмерных структурах и соответствующих электронных устройствах непосредственно связаны с интерференцией многократно рассеянных электронных волн. Их нельзя описать обычными моделями транспорта носителей заряда в твердом теле, основанными на уравнении Больцмана.
Они требуют обязательного учета эффекта квантовой когерентности и будут рассмотрены далее. 3. 7.2. 1. Формалмэм Ландауэра-Бюттаагера Адекватный подход к описанию вольтамперных характеристик низкоразмерных структур был предложен Бклтикеромгп на основе более ранних работ Ландауэрае1. В рамках формализма Ландауэра — Бюттааера (ЕапдаиегВигггусег)оггпа1гзт) перенос носителей заряда в низкоразмерных структурах описывается в терминах прошедших и отраженных электронных волн. Электрический ток в проводящем канале, расположенном между двумя контактами с электрохимическими потенциалами р, и )гз может быть представлен в виде 1 = — ~ Т(Е)~ Т(Е -)г, ) -У(Š— )г з )1 с(Е, (3.! .2) где е — заряд электрона; )г — постоянная Планка; У(Е) — так называемая прозрачность канала или функция передачи (!гапзппзз(оп йзпс(1оп); ЯŠ— )гг) — функция распределения Ферми — Дирака для электронов в первом и втором контактах соответственно.
Интегрирование производится по всему диапазону энергий электронов (Е) с учетом разрешенных энергетических состояний в проводящем канале. Выражение (3.1.2) называют форчпулойЛандауэра. Проводимость многополюсника определяется числом каналов, которые доступны для носителей заряда, инжектированных к нему из контактов и допускающих прохождение электронных волн с произвольными фазами. Это схематически проиллюстрировано на рис. 3.4 с помощью многоконтакпюго устройства, представляющего собой низкоразмерную структуру, соединенную с несколькими независимыми источниками электронов. Я. Сапггаиег, арада( чапа!гоп ог сппепгз апо Вема г)пе го (оса(аео зсапега 1п гпе(а!1)с сонг)псгог, 1ВМ 3.
Кез. ()еч. 1(6), 223-231 (1957). лг. Жи!(гег, Ропг-гепп!па) рпазе-сопегепг сопоосгапсе, РЬ)з. Кеч. (.еп. 57(14), 1761-1764 (! 9вб). 205 , У М» Рнс. 3.4. Многоконтактное устройство, представляющее собой низкоразмерную структуру, соелиненную с несколькими независимыми источниками электронов Каждый источник характеризуется определенным химическим потенциалом р, Ток инжектируемых из з'-го источника электронов равен Не все инжектированные электроны поступают в рассматриваемую структуру. Часть их отражается и возвращается обратно в источник, и это определяет величину коэффициента отражения Яг в каждом из подводящих каналов.
Электрический ток в г-м канапе включает в себя составляющие, вызываемые электрическими токами других каналов, что описывается коэффициентом передачи Та из у-го канала в г'-й. С учетом этого результирующий ток в 1-м канале составляет А, = — „~(1-Л,.)рг -~Т„р, . 2е~ /М (3.1.6) Если теперь предположить, что каждый подводящий канал является многомодовым, т. е. в нем имеется Лг, занятых электронами подзон, то более общее выражение для тока в таком канале запишется в виде: /г = — ~()у, -)т,)рг -ХТер, 2е~ й~ ' (3.1.7) зг =2ез,.
(з/нг/ззЕ)Ьр,, (3.1.3) где е — заряд электрона; уг — скорость электронов; с(нз/с(Š— плотность электронных состояний в проводящем канале г-го контакта; ззрг = р, — ре; р, — самый низкий химический потенциал в одном из подключенных источников электронов; множитель «2» учитывает вырождение электронов по спину. Для одномерной структуры (квантового шнура) з/и, /с(Е = 1/(/гр, ). (3.1.4) Таким образом, инжектируемый источником в 1-й канал ток равен з', =(2е//з)Ьр,. (3.1.5) 206 Гл а »а 3.
Перенос носителей заряда а низкоразмерныл структурам... Здесь р,. = е ко где 1'з — напряжение, приложенное к 1-му контакту. Предполагается, что источники одинаково насыщают электронами все каналы до соответствующей каждому каналу энергии Ферми. Электроны, отраженные и переданные в различных модах лз и и, должны быть учтены путем суммирования по всем этим модам: Л,. =1Л,. „, Тк = '~~Та (3.1.8) Здесь йз включает все электроны моды т, отраженные в моду л (аналогично для Тд). Сохранение полного тока, инжектированного из 1-го канала и равного сумме токов, покидающих устройство через другие каналы, с учетом правила сложения для коэффициентов отражения и передачи имеет вид: Я, + ~ Тк = ззГ, . (3.1.9) з з Выражение (3.1.7) называется формулой Ландауэра — Бютдппкезза для проводимости устройства с множеством контактов.
В некотором смысле его можно рассматривать как закон Ома для низкоразмерных структур. Эта формула полезна при качественном объяснении различных экспериментальных данных. Она неплохо работает при описании «открьггых» структур, в которых распространяются невзаимодействующие электронные волны, а взаимодействия приводят только к сдвигу фаз с течением времени. В квантовых точках, где важна энергия носителей заряда, эта формула обычно не работает, исключая специальные случаи. При отличных от нуля температурах квантование проводимости удается наблюдать до тех пор, пока величина тепловой энергии /сдТ не станет сопоставима с энергетическим зазором между ближайшими модами.
Чтобы расширить область применения многоканальной формулы на отличные от нуля температуры, нужно учесть зависимость коэффициентов передачи от температуры. Моделирование переноса носителей заряда в реальных трехмерных системах требует применения более сложных подходов. Один из них основан на использовании функций Грина. Знание функции Грина позволяет вычислить амплитуды передачи и отражения электронных волн, которые составляют 8-матрицу (матрицу рассеяния) системы и согласуются с представлениями о распространении электронных волн в рамках модели Ландауэра — Бютгнкера.
Кроме того, функция Грина устанавливает непосредственную связь с другими моделями переноса носителей заряда, такими как теория линейного отклика на основе формулы Кубо, которая в со- Д 1. Т нсп т носителей да вдаль потенциальных да ье ответствуюших предельных случаях эквивалентна формализму Ландауэра — Бюттикера. Следует отметить, что использование функций Грина при описании транспорта носителей заряда в наноразмерных структурах является достаточно сложной процедурой, но зато дает возможность выйти за рамки простых моделей. В частности, учет различных взаимодействий (таких как рассеяние на фононах) проводится автоматически, хотя и сопряжен с достаточно громоздкими выкладками.
Описание подходов, основанных на функциях Грина мохсно найти в специальной литературе, приведенной в конце данного учебника. 3.1.2.2. Отрицательное еопротизлеиив изгиба Многие важные результаты можно получить, рассматривая низко- размерный проводник с большим числом выводов. Это особенно важно для четырехконтактных структур, используемых для измерения электрического сопротивления материалов четырехзондовым методом (пропускается ток между одной парой контактов, а падение напряжения регистрируется между другой парой).
Предположим, что в четырехконтактной крестообразной структуре, представленной на рис. 3.5, а, ток пропускается от контакта 1 к контакту 4, а падение напряжения измеряется между контактами 2 и 3. Так как для измерения напряжения используются приборы с очень высоким входным сопротивлением, то текуший через контакты 2 и 3 ток можно считать равным нулю. Таким обра- о о л -тоо -и)о -аоо Магнитное поле, мтл Рис. 3.5. Структура для измерения электрического сопротивления материала четырехзондовым методом (а) и зависимость сопротивления структуры от напрязкенности перпендикулярного плоскости структуры магнитного поля (б) 208 Гл а на 3. Перенос носителей за а а низкоразмернмх структурах...
зом, 1, = 1, = 0 и 1, = — 1, = 1, а измеряемое сопротивление равно Яэе ээ () т — $"э)/1, = 171 Обобщенное выражение для определения сопротивления по напряжению между двумя контактами /с и 1, если ток протекает между контактами и и и, получено Бютгикером в виде: )~„ка, =()э/е')'1Т Тм -Т„Т, 1)Р, (3.1.10) где Р— положительная безразмерная величина, определяемая значениями Я, и Тгр Эта величина не зависит от индексов ш, л, эс и !, что означает ее независимость от конфигурации, в которой пропускается измерительный ток и регистрируется падение напряжения. Выражение (3.1.10) широко используется для объяснения магниторезистивных аномалий в наноразмерных структурах. Одним из наиболее интересных следствий формулы (3.1.10) является вывод о том, что сопротивление четырехполюсника, измеренное четырехзондовым методом, не обязательно должно быть положительным.
Измерение сопротивления между любыми двумя контактами, безусловно, дает положительную величину и затраченная при этом энергия выделяется в виде тепла. Однако при использовании четырех контактов, предположения, основанные на законе Ома, могут оказаться неверными. Такая ситуация возникает, например, в структурах, где линии тока изгибаются, проходя по двум наноразмерным шнурам с баллистическим характером переноса электронов. Когда напряжение вблизи изгиба измеряется на контактах 2 и 3, то оказывается, что потенциал на контакте 3 больше, чем на контакте 2. Это противоречит ожиданиям для классического резистора, но хорошо объясняется на основании уравнения (3.1.10), которое для данного конкретного случая принимает вид Я~ззэ =(ут е')'гТэ Тн -Т„Тэ ]Ф (3.1.11) Очевидно, что коэффициенты Т„и Т„соответствуют поперечному переносу в структуре между двумя противоположными контактами, а Т„и Тэе — переносу между двумя соседними областями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
