Чигарев А.В. - ANSYS для инженеров (1050686), страница 31
Текст из файла (страница 31)
213). Предположим, что воображаемое сечение плоскостью ХО'г' делит тело на два объема — К1 и ~'з. Можно условно отбросить один из объемов, заменив его действие соответствующими усилиями на поверхности сечения. В нашем случае в окрестности с площадъю Лэ шобой точки А поверхности сечения действуют сила, величиной ЛР, и момент, величиной ЛМ . Будем предполагать, что направление нормали в точке А и направление действия силы ЛР совпадают (в общем случае это не так). Кроме того, положение системы координат выбрано так, что направление вектора нормали н к поверхности сечения (гранина объема 1'з) в данном случае совпадает с единичным направляющим вектором е, оси ОХ. Рис. 213.
Сечение твердо~о тела с прнложсннымн нагрузками 251 Тогда можно определить вектор напряжений, действующих в точке А вдоль нормали хс В соответствии с частными предположениями, сделанными выше (см. рис. 213), получаем, что в данном случае и„= а,. Таким образом, определяется напряжение, действующее на площадку, перпендикулярную оси ОХ. Отметим, что если напряжения положительные, то в данной точке тела происходит растяжение вдоль выбранной нормали, а если отрицательные — то сжатие. Напряжения в точке в направлениях вдоль осей ОУ, 02 глобальной системы координат определяются аналогично. Однако следует отмегить, что в пространственном случае, для удобства вокруг точки А, находящейся в объеме тела, вырезается прямоугольный параллелепипед, грани которого перпендикулярны осям глобальной системы координат, а ребра параллельны им и имеют малые длины грие.
214). Прн этом нормальные напряжения гнапряження, действующие перпендикулярно выбранной грани) обозначаются и д (в АЯКУЧО обозначается З„„,е„„), где индекс (постфикс) указывает в плоскости, перпендикулярно какой оси глобальной системы координат действует данное напряжение, например и (в АЯКУЧΠ— ЯХ). Касательные напряжения обозначаются пнад,„ы „„д,„щ (в АЯКУЧО обозначается Яд, е,„,ъ,„„з„жа). Оии действуют уже не перпендикулярно, а в плоскости выбранной грани.
При этом первый индекс указывает грань параллелепипеда, в которой действует касательное напряжение. Эта грань перпендикулярна указанному первым индексом 1постфиксом) направлению глобальной системы координат, а второй уточняет направление, параллельно которому на выбранной грани действует напряжение, например п„(в АХНУ — ЯХХ) (рис. 215). Учитывая условие симметричности и;. = и,, получаем для любой точки А твердого тела 6 компонент тензора напряжений: п„„,пэт,аж,п,,„пж.п „. Либо, обозначив оси координат хь хм хз по- лучнм следующие компоненты: а~ мазз, пзз,п1з,пзз,пз~ . 252 Рнс. 214. Выбор элементарного прямоугольного параллелепипеда с центром в точке А твердого тела Без этих элементарных сведений трудно перейти к объяснению физических законов взаимосвязи деформаций и напряжений. Понятие о тензаре деформаций Если рассмотреть элементарный прямоугольный параллелепипед, находящийся в равновесии только под действием приложенных к его двум противоположным граням нормальных напряжений (например о ), то его длина в направлении действия нагрузки изменится по сравнению с размером до приложения нагрузки (увеличится, если приложенные напряжения являются растягивающими, или уменьшится, если напряжения — сжимающие).
Это явление называется деформированием, а мера изменения размера — деформацией. Деформации определяют, в частности, относительное изменение размеров параллелепипеда вдоль осей системы координат и часто обозначаются в литературе е,е,е„. Например, е =М,„/Ь„, где 2.,— длина ребра параллелепипеда в направлении действия нагрузки до момента ее приложения, а М,, — изменение длины ребра в указанном направлении после приложения нагрузки (см. рис. 215). В А1чЯт"Я для деформаций используется обозначение ЕР„,о„„, где постфикс указывает 253 Рис. 215.
Элементарный параллелепипед с приложенными к его граням нагрузками на физическую модель, в которой данные деформации исследуются, а направление указывается отдельно. Кроме того, изменение прямых углов параллелепипеда под действием нагрузки обычно обозначается через ету еж с „, . В последнем случае индексы указывают в какой плоско- сти происходит сдвиг. Замечание! Отметим, что в АНЗт8 обозначение деформаций не зависит от направления (для одной н той же физической модели совладают полностью), а направление в лостлроцессоре описывается отдельной фразой.
Аналогично компонентам тензора напряжений получаем шесть компонент тензора деформаций: с, с, с„, а,, е„„ем. Обозначив оск координат хо хп хз, получим следующие компоненты: е~ ь сзь сзз, сп, сзз, ен. Основные физические законы деформироваиии твердых тел Для решения задачи механики твердого тела необходимо установить физическую связь между деформациями н напряжениями, учитываюшую особенности поведения материала детали (твердого тела), находящегося под воздействием внешних нагрузок. 254 Модель линейного деформирования при постоянной температуре.
Общие сведения Традиционно наиболее широко используемой моделью является модель упругого линейного деформирования материалов (закон Гука). В рамках этой модели решается подавляющее большинство конструкторских задач. Объясняется это тем, что после снятия нагрузки любая деталь должна приобрести первоначальную форму. Это является залогом ее работоспособности в дальнейшем. Традиционно пояснение особенностей деформирования твердых тел осуществляется на хорошо известной зависимости напряжений от деформаций для цилиндрических образцов при одноосном растяжении. В рассматриваемом случае диаграмма имеет наиболее простой вид (рис.
216). Стрелками указывается направление изменения напряжений при увеличении (стрелка сверху) и уменьшении (стрелка снизу) деформации. Как видно из рисунка при упругом деформировании, деформация является обратимой, т.е. после снятия на|рузки деформация полностью исчезает. 6 Вернемся к рисунку параллелепипеда с приложенными напряже- 4' лиями (см. Рис. 215). В рассматриваемом случае связь деформаций и напряжений в любом направлении системы координат подчиняется линейному закону.
Дополнительно предположим, что при деформации вследствие действия на гранях только р Равномерно распределенных нормальных напряжений прямые углы элементарного параллелепипеда не искажаются. Рис. 216. Зависимость напряжений от деформаций при одиоосном растяжении образца 255 В разделе, посвященном решению задач твердого тела, рассматриваются следующие физические модели деформирования: ° Линейное деформирование (упругость).
° Нелинейное деформирование материала (нелинейная упругость, пластичность). Прикладывая поочередно одинаковую нагрузку к двум противолежащим граням, можно определить величины деформаций (удлинений) в трех взаимно перпендикулярных направлениях. При этом будем предполагать, что касательные напряжения оказывают влияние только на изменение углов прямоугольного параллелепипеда, а пе его двину.
Тогда; ° Если деформации (уддинения) равны во всех направлениях прн одинаковой величине равномерно распределенных нормальных напряжений, то говорят, что тело является изотропным. ° Если деформации (удлинения) равны только в двух направлениях, то говорят, что тело имеет плоскость изотропин. ° Если нормачьные деформации различны по всем направлениям, то говорят, что это ортотропное тело (или тело, имеющее три плоскости упругой симметрии).
Однако, когда существует направвенне, при котором касательные напряжения, действующие на любых гранях параллелепипеда, оказывают вднянне не только на изменение углов прямоугольного параллелепипеда, но н на изменение длины в каком-либо направлении, илн наоборот, нормальные нагрузки оказывают влияние на деформации сдвига, то говорят, что это анизотропное тело. Запись обобщенного закона Гука в пространственном случае не отличается от одномерного, если использовать тензорную форму (т.е.
запись с использованием векторов и матриц): и; =Е;.ц ви, где и,. — тензор (вектор) напряжений, ам — тензор (вектор) деформаций, Е; ы — тензор (матрица) модулей упругости. Тензор модулей упругости по форме напоминает симметрическую матрицу 6-го порядка (6 столбцов на 6 строк). Она содержит коэффициенты упругое~и, описывающие деформацию в соответствующем направлении. Условие симметричности тензора относительно главной диагонали матрицы имеет следующее выражение: Еды = Еыб. Обобщенный закон Гука можно обратить, выразив деформации через напряжения, тогда а;, =В;ыпи, где В, ы — тензор упругих податливостей.
256 Внимание! Только для упругого изотропного тела коэффициенты тензора не зависят от ориентации выделенного параллелепипеда относительно системы координат. Вид тензора и, соответственно, количество независимых коэффициентов, которые должен определить инженер для решения поставленной задачи, существенно зависят от того, какая физическая модель твердого упругого тела рассматривается. Разделы, касающиеся выбора физических моделей линейной деформации твердого тела (изотропной, ортотропной или анизотропной) и ввода их числовых значений, расположены в папке Е1ааайс. Ее составляющие становятся доступны пользователю при использовании следующего пункта в окне Пегасе Масекйа1 Мойе1 Ве)тачйок (рис. 217).
мааекйа1 Мос1е1е Ача11а2з1е > Зскцсацка1 > Ейпеак > Е1аасйс Рнс. 217, Выбор раздела„касающегося определения свойств линейных материалов Озатралные материалы. Пункт главного меню Исходя из вышесказанного, деформацию (удлинение) в любом направлении параллелепипеда из изотропного материала определяет один модуль Юнга (еХ в обозначениях АЪЗУЯ), а деформацию в поперечном направлении при растяжении/сжатии — коэффициент поперечной дефор- 257 мации Пуассона (РЕЕТ в АХэУэ — главный коэффициент Пуассона). Изменение же прямых углов параллелепипеда при приложении касательных усилий определяет модуль сдвига (ОХТ), вычисляемый через модуль упругости н коэффициент Пуассона: ЕХ/ (2 (1+ЕоХТ) .
Таким образом, решая задачу для изотропных тел, достаточно задать пару постоянных: модуль Юнга (ЕХ) и коэффициент поперечного расширения Пуассона (РЕЕТ). Это можно сделать с помощью пункта в окне гзеТ1пе Иасек1а1 Мое)е1 Ве)зач1онз Иакек1а1 Мобе1в Ача11а)э1е > Яскиссика1 > ЕЕпеак > Е1авт1с > 1воскор1с При его использовании появляется окно (.1пеак 1воскор1с Ркореке1ев Ток Манек1а1 НшвЬек ... (рис. 218)„в котором следует определить требуемые значения (ЕХ, РЕЕТ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
