Лекции по ОУ (1050564), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

При каждом фиксированном t – это обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. После его интегрирования получим:xK ( x, t ) =Q 0 (ζ , t )dζ + c(t ) ,Q(ζ,t)a&∫(5.2.7)где a – произвольное число, c(t ) – произвольная функция. Нужна только однафункция K , поэтому можно положить c(t ) = 0 . Теперь подсчитаем функцию R ,соответствующую такой функции K ( x, t ) .

Функцию R найдем из формулы(5.2.5), учитывая (5.2.6). Это будет функция двух переменных x, t :R ( x, t ) =∂K ( x, t )∂K ( x, t )P ( x, t ) +− P 0 ( x, t ) .∂t∂x(5.2.8)Из равенства (5.2.6) следует:∂K ( x, t ) Q 0 ( x, t )=.∂xQ ( x, t )∂K ( x, t )найдем из (5.2.7), используя правило дифференцирова∂tния интеграла по параметру:Производнуюx∂K ( x, t )∂ ⎛ Q 0 (ζ , t ) ⎞⎜⎜⎟⎟ dζ .=∂t∂ζtQ(,t)⎝⎠a∫Подставим в (5.2.8) найденные производные. Получим:89x∂ ⎛ Q 0 (ζ , t ) ⎞Q 0 ( x, t )⎜⎜⎟⎟ dζ ,R ( x, t ) =P ( x, t ) − P 0 ( x , t ) +∂ζQ ( x, t )tQt(,)⎝⎠a∫илиx∂ ⎛ Q 0 (ζ , t ) ⎞Q 0 ( x , t ) P ( x, t ) − P 0 ( x , t ) Q ( x , t )⎜⎜⎟⎟ dζ .+R ( x, t ) =∂ζQ ( x, t )tQt(,)⎝⎠a∫(5.2.9)При каждом фиксированном t вычислим максимум функции R( x, t ) попеременной x , используя необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Будем иметь∂ ⎡ Q 0 ( x , t ) P ( x , t ) − P 0 ( x, t ) Q ( x , t ) ⎤ ∂ ⎛ Q 0 ( x , t ) ⎞⎟⎟ = 0 .⎥ + ⎜⎜⎢(,)∂∂x ⎣Q ( x, t )tQxt⎠⎦⎝(5.2.10)Предположим, что нашли решение x (t ) уравнения (5.2.10), причем∂ 2 R( x (t ), t )< 0 . Это значит, что∂x 2max R ( x, t ) = R( x (t ), t ), ∀t ∈ [0, T ] .x(5.2.11)Пусть функция x (t ) удовлетворяет граничным условиям (5.2.2), (5.2.3).Подставим x (t ) в уравнение (5.2.1) и разрешим его относительно управления:dx− P( x , t )dtu (t ) =.Q( x , t )(5.2.12)Тем самым мы получили допустимую пару ( x , u ) , так как она удовлетворяет условиям (5.2.1) – (5.2.3). Кроме того, мы нашли функцию K ( x, t ) , определенную формулой (5.2.7), при которой выполняется условие (5.2.11), т.е.

условие 10 теоремы 5.1.1. Условие 2 0 теоремы 5.1.1 выполняется тривиально, таккак для рассматриваемой задачи V x (t1 ) = {x1 } . Таким образом, выполняются всеусловия теоремы 5.1.1, значит, построенная пара ( x ,u ) – оптимальная.Мы исходили из предположения, что найденное решение x (t ) уравнения(5.2.10) удовлетворяет граничным условиям, т.е. траектория x (t ) допустима.Рассмотрим случай, когда x (t ) не является допустимой. Решение задачи будемискать в виде минимизирующей последовательности.

Для этого проведем следующие построения.Возьмем произвольные последовательности моментов времениτ s → 0 (τ s > 0) и τ′s → T (τ′s < T ) и на графике функции x (t ) отметим точкиs →∞s →∞x (τ s ), x (τ′s ) (рис. 7). Соединим точку (0, x0 ) с x (τ1 ) прямой l1 , с x (τ 2 ) прямойl 2 … с x (τ s ) прямой l s . Точно так же точку (T , x1 ) соединим с x (τ1′ ) прямой l1′ ,с x (τ′2 ) прямой l 2′ , … с x (τ′s ) прямой l s′ .90Получим последовательность кривых x s (t ) , каждая из которых состоит изтрех кусков:⎧l s , 0 ≤ t < τ s ,⎪x s (t ) = ⎨ x (t ), τ s ≤ t < τ′s ,⎪l ′ , τ′ ≤ t ≤ T .s⎩sПрямые ls , ls′ задаются соответственно уравнениями:x (τ s ) − x0t,τsx (τ′s ) − x1x(t ) = x1 +(T − t ) .T − τ′sx (t ) = x 0 +Каждая траектория в построенной последовательности удовлетворяетграничным условиям (5.2.2), (5.2.3).

Из уравнения (5.2.1) для каждой траектории x s (t ) подсчитаем соответствующее управление:dx s− P( xs , t )dtu s (t ) =.Q( xs , t )x (t )lsl ′sl2l1x (t )l ′1x1x00 τ s τ 2 τ1τ1′ τ′2 τ′stTРис. 7В результате получим последовательность допустимых пар ( x s , u s ) . Покажем, что эта последовательность является минимизирующей для функционала (5.2.4).

Для этого нужно показать, что выполняется условие 10 теоремы 5.1.2.Так как x (t ) – это та функция, на которой достигается максимум R( x, t ) , тодостаточно показать:91TTlim R( x s (t ), t )dt = R( x (t ), t )dt .s →∞∫∫0(5.2.13)0Представим интеграл слева в виде суммы трех интегралов:Tτsτ′sT00τsτ′s∫ R(x s (t ), t )dt = ∫ R(xs (t ), t )dt + ∫ R(x s (t ), t )dt + ∫ R(xs (t ), t )dt .При s → ∞ первый и третий интегралы стремятся к нулю, так как стремятся кнулю промежутки интегрирования, а функция R( x, t ) ограничена.

По построению на промежутках [τ s , τ′s ] xs (t ) = x (t ) , а так как τ s → 0, τ′s → T , то имеетs →∞s →∞место формула (5.2.13), что и требовалось доказать.5.3. Задача оптимального развития экономикиПостроим однопродуктовую модель экономики, которая в каждый момент времени t характеризуется набором переменных: X , Y , C , K , L, J , где X –интенсивность валового продукта; Y – интенсивность конечного продукта; C –непроизводственное потребление; K – объем основных производственныхфондов; L – трудовые ресурсы; J – валовые капитальные вложения.

Переменные X и Y связаны между собой условием баланса:X = aX + Y ,где 0 < a < 1 .Конечный продукт распадается на валовые капитальные вложения и непроизводственное потребление:Y = J +C.Валовые капитальные вложения связаны с приростом основных производственных фондов уравнением (2.4.7) (см.

пример 2, п. 2.4):dK= J − μK ,dtгде μ – коэффициент амортизации.Если обозначим u = C Y – доля непроизводственного потребления, то сучетом всех связей получим следующее уравнение модели:dK= (1 − a )(1 − u ) X − μK .(5.3.1)dtПроцесс, описывающий экономику, представляет собой совокупностьфункцийV = (K (t ), X (t ), u (t ) ) ,92где X , u – управление, K – состояние.Пусть заданы производственные фонды в начальный момент времени:K (0) = K 0 .(5.3.2)Будем считать, что выполняется условиеK ≥ K3 ,(5.3.3)где K 3 – заданный уровень основных производственных фондов. Очевидно,для непроизводственного потребления выполняется условие0 ≤ u ≤ 1.(5.3.4)Будем считать, что размеры валового продукта определяются заданной производственной функцией, зависящей от величины производственных фондов,трудовых ресурсов и времени t , т.е.0 ≤ X ≤ F ( K , L, t ) .(5.3.5)Предполагается, что производственная функция удовлетворяет следующим условиям:1) F ( K , L, t ) > 0 ;∂F∂F∂F> 0;> 0;> 0;2)∂K∂L∂t3) F (O, L, t ) = 0 ; F ( K , O, t ) = 0 ;∂2F∂2F4)< 0;< 0;∂K 2∂L2∂F∂F= ∞ ; lim= ∞;5) limK →0 ∂KL →0 ∂L6) F (λK , λ L, t ) = λF ( K , L, t ), λ ≥ 0 .Задача управления данной экономикой состоит в том, чтобы найти процесс V = (K (t ), X (t ), u (t ) ) , удовлетворяющий условиям (5.3.2)–(5.3.5), которыйобеспечивал бы наибольшее среднедушевое потребление на рассматриваемомвременном интервале с учетом дисконтирования потребления, т.е.

которыймаксимизировал бы критерий качества:T∫I = e −δ t0Cdt .L(5.3.6)Преобразуем полученную задачу оптимального управления. Обозначимk = K L – фондовооруженность, c = C L – среднедушевое потребление,x = X L – производительность труда. Так как K = kL , тоdK dkdL=.L+kdt dtdt93Будем считать, что прирост трудовых ресурсов осуществляется с постоянным темпом, т.е.dL= nL .dtС учетом этих преобразований получим дифференциальное уравнениесвязи:dk= (1 − a )(1 − u ) x − (μ + n)k .dtОграничения на управление и состояние примут видk (0) = k 0 ,k (t ) ≥ k 3 (t ) ,0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ x ≤ f (k , t ) ,(5.3.7)(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)(5.3.11)1Lгде f (k , t ) = F ( K , L, t ) .X,преобразуем кLновым переменным функционал (5.3.6) и будем рассматривать задачу на минимум:Используя соотношения C = uY , Y = X (1 − a ), x =T∫J = − e −δt (1 − a )uxdt → min .(5.3.12)0Таким образом, в преобразованной задаче состоянием системы являетсяфондовооруженность k, управлением – производительность труда x и доля потребления u .Для решения задачи воспользуемся теоремой 5.1.1 о достаточных условиях оптимальности.

Пусть ϕ(k , t ) – функция, имеющая непрерывные частныепроизводные. Запишем вспомогательную функцию R(k , x, u, t ) :R ( k , x, u , t ) =∂ϕ(k , t )[(1 − a)(1 − u ) x − (μ + n)k ] + e −δ t (1 − a)ux + ∂ϕ(k , t ) .∂k∂tВыделим в R слагаемые, содержащие произведение ux и приравняем суммукоэффициентов при ux к нулю. Тем самым на ϕ накладывается требование:− (1 − a )ϕ′k + e −δt (1 − a) = 0 ,следовательно,ϕ′k = e −δt .Тогдаϕ(k , t ) = ke − δt + C (t ) ,где C (t ) – произвольная функция. Положим C (t ) ≡ 0 , тогда94ϕ(k , t ) = ke −δt ,ϕ′t (k , t ) = −δke −δt .При этом условии функция R не зависит от u :R = R(k , x, t ) = e − δ t [(1 − a) x − (μ + n)k ] − e − δ t δk = e − δ t [(1 − a) x − (μ + n + δ)k ].Проведем максимизацию функции R по x, k .

Так как a < 1, то (1 − a ) > 0 ,и, следовательно, max R достигается при x = f (k , t ) . При оптимальном x = xxнайдем max R . ОбозначимkR1 (k , t ) =max0≤ x ≤ f ( k , t )R(k , x, t ) = e −δt [(1 − a) f (k , t ) − (μ + n + δ)k ],r (k , t ) = (1 − a ) f (k , t ) − (μ + n + δ)k .Так как e − δ t > 0 , то функция k (t ) , которая доставляет максимум функцииR1 , будет доставлять максимум и функции r (k , t ), (∀t ∈ [0, T ]). Функция r (k , t )является суммой двух слагаемых: производственной функции с точностью допостоянного множителя и линейного выражения.

График r (k , t ) и его составляющие при фиксированном t изображены на рис. 8.При всех t , k > 0 функция r (k , t ) строго вогнута по k :∂ 2r∂k 2< 0.График r (k , t ) в окрестности нуля близок к (1 − a) f (k , t ) , так как∂r→ ∞.∂k k →0так какНа бесконечности график r (k , t ) близок к − (μ + n + δ)k ,∂r→ − (μ + n + δ)k < 0 .∂k k → ∞Эти свойства следуют из свойств производственной функции F ( K , L, t ) , ипоэтому функция r (k , t ) имеет единственный максимум по k , который достигается в точке k > 0 . Запишем необходимое условие максимума r (k , t ) по k :∂r (k , t )(5.3.13)= 0.∂kВозьмем функцию f в видеf (k , t ) = be ρ t k α ,где 0 < α < 1 (функция Кобба – Дугласа).

Тогда условие (5.3.13) будет иметьвид(1 − a)bαe ρt k α−1 − (μ + n + δ) = 0 .Полагая 1 − α = β , получим:951⎛ (1 − a)bα ⎞ βρtβk (t ) = ⎜⎜⎟⎟ e .nμ++δ⎝⎠(5.3.14)График k (t ) изображен на рис. 9.Найденная функция k (t ) называется магистралью данной динамическоймодели экономики. Она играет важную роль в структуре оптимального решения. Управление, реализующее эту магистраль, найдем подстановкой найденного k (t ) в дифференциальное уравнение развития системы (5.3.7):dk= (1 − a)(1 − u ) x (t ) − (μ + n)k (t ) .dtТак как x (t ) = f (k , t ) , то, решая это уравнение относительно u , вычислим:dk− (μ + n)k (t )dt.u (t ) = 1 −(1 − a )be ρt k αИспользуя (5.3.14), после преобразования получим:ρμ+n+βu (t ) = 1 − α.μ+n+δМожно проверить, что в данной задаче для найденной функции u (t ) реализуется условие 0 ≤ u (t ) ≤ 1 .

Характеристики

Список файлов лекций