Лекции по ОУ (1050564), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Это следует из свойств функции Кобба – Дугласа.r(1 − a) f (k , t )k ( 0)k (t)r(k,t)OkTt− (μ + n + δ ) kРис. 8Рис. 9Рассмотрим специальный случай, когда для найденной магистрали выполняется условиеk (0) = k 0 .(5.3.15)В этом случае процесс V = (k , u , f (k ) ) будет оптимальным вследствиетеоремы 5.1.1. Действительно, этот процесс обеспечивает максимум R при каждом t :96по u – в силу независимости R от управления u , что достигается выбором функции ϕ(k , t ) ;по k и x – по построению.С другой стороны, V представляет допустимый процесс, так кака) удовлетворяет уравнению процесса;б) выполняются условия (5.3.8) – (5.3.11).Таким образом, для специально подобранного граничного условия(5.3.15) магистраль является оптимальным режимом развития экономики.

Вобщем случае магистраль играет существенную роль в построении решениярассматриваемой задачи][10].97ЗАДАЧИДля задач 1 – 25 вывести краевую задачу принципа максимума и решитьее, если это возможно.В задачах 1 – 18 состояние x(t ) и управление u (t ) скалярные функции; взадачах 19 – 25 управление u (t ) скалярное, состояние x(t ) = ( x1 (t ), x2 (t ) ) ∈ E 2 .dx1.= −2 x(t ) + u (t ), t ∈ [0;1],dtTx(0) = 1,1()J ( x, u ) = ∫ x 2 (t ) + u 2 (t ) dt → min .02.dx= x(t ) + u (t ), t ∈ [0;1],dtx(0) = 2,1()J ( x, u ) = ∫ 2 x 2 (t ) + u 2 (t ) dt → min .03.dx= 4 x(t ) + 2u (t ), t ∈ [0; 2],dtx(0) = 0,2()1J ( x, u ) = ∫ x 2 (t ) + u 2 (t ) dt + x 2 (2) → min .204.dx= x(t ) + 3u (t ), t ∈ [0,2] ,dtx(0) = 0,2()J ( x, u ) = ∫ 4 x(t ) + u 2 (t ) dt + 2 x(2) → min .0985.dx= u (t ), t ∈ [0;1],dtx(0) = 2,u (t ) ≤ 1,J ( x, u ) = x 2 (1) → min .6.dx= u (t ), t ∈ [0;1] ,dtx(1) = 3 ,u (t ) ≤ 2,1J ( x, u ) = ∫ x 2 (t ) dt → min .07.dx= u (t ), t ∈ [0; 4],dtx(0) = a,u (t ) ≤ 1,4J ( x, u ) = ∫ ( x(t ) + u (t ) ) dt → min .08.dx= u (t ), t ∈ [− π; π ],dtx(− π) = 0,u (t ) ≤ 1,J ( x, u ) =π∫ x(t ) sin t dt → min .−π9.dx= u (t ), t ∈ [0; 4],dtx(4) = 0,u (t ) ≤ 1,4J ( x, u ) = ∫ ( x(t ) + u (t ) ) dt → min .09910.dx= u (t ), t ∈ [0; 2],dtx(0) = 0, x(2) = 0 ,2()J ( x, u ) = ∫ x(t ) + u 2 (t ) dt → min .011.dx= 3x(t ) + 2u (t ), t ∈ [0;4] ,dtx(0) = 0,4()J ( x, u ) = ∫ − x(t ) + u 2 (t )+ 2u (t ) dt + 2 x(4 ) → min .012.dx= x(t ) + 2u (t ) , t ∈ [0;4] ,dtx(0) = 0,4()J ( x, u ) = ∫ 2 x 2 (t ) + u 2 (t )+ u (t ) dt → min .013.dx= x(t ) − u (t ), t ∈ [0;4] ,dtx(0 ) = 1, 0 ≤ u (t ) ≤ 4,4()J ( x, u ) = ∫ x(t ) + u 2 (t ) dt → min .014.dx= 2 x(t ) + u (t ), t ∈ [0;4] ,dtx(0 ) = 1, u (t ) ≤ 1,4J ( x, u ) = ∫ ( x(t ) + 5u (t ) )dt − 2 x(4) → min .015.dx= x(t ) + 2u (t ), t ∈ [0;3] ,dt1x ( 0) = ,20 ≤ u (t ) ≤ 1 ,3J ( x, u ) = ∫ ( x(t ) − 6u (t ) )dt − 2 x(3) → min .010016.dx= x(t ) + u (t ), t ∈ [0;3] ,dtx(0) = 1, u (t ) ≤ 1,(3)J ( x, u ) = ∫ − 4 x(t ) + 2u 2 (t ) dt + x(3) → min .017.dx= x(t ) + u (t ), t ∈ [0;10] ,dtx(0) = 1,u (t ) ≤ 2,J ( x, u ) =2∫ (x(t ) + u (t ) + 2u (t ) )dt − 3x(10) → min .10018.dx= − x(t ) − u (t ), t ∈ [0;5] ,dtx(0) = 1, x(5) = −2,5()J ( x, u ) = ∫ − x(t ) + u 2 (t ) dt → min .0⎧ dx1⎪⎪ dt = x2 (t ) − u (t ),19.

⎨⎪ dx2 = x (t ) + u (t ),1⎪⎩ dtt ∈ [0;3] ,x1 (0 ) = 2, x2 (0 ) = 0,u (t ) ≤ 2,3J ( x, u ) = ∫ ( x1 (t ) + x2 (t ) + 2u (t ) )dt − x2 (3) → min .0⎧ dx1⎪⎪ dt = − x2 (t ),20. ⎨t ∈ [0;4] ,dx⎪ 2 = x (t ) + 2u (t ),1⎪⎩ dtx1 (0) = 2, x 2 (0) = 1,− 1 ≤ u (t ) ≤ 2,4J ( x, u ) = ∫ u (t ) dt + x2 (4) → min .0101⎧ dx1⎪⎪ dt = x2 (t ),21.

⎨⎪ dx2 = u (t ) ,⎪⎩ dtt ∈ [0;1] ,x1 (0) = 0, x2 (0) = 0,u (t ) ≤ 2,1∫J ( x, u ) = x1 (t ) dt → min .0⎧ dx1⎪⎪ dt = x2 (t ),22. ⎨⎪ dx2 = u (t ) ,⎪⎩ dtt ∈ [0;1] ,x1 (1) = 0, x 2 (1) = 0,u (t ) ≤ 1,1∫J ( x, u ) = x1 (t ) dt → min .0⎧ dx1⎪⎪ dt = x2 (t ),23. ⎨⎪ dx2 = u (t ) ,⎪⎩ dtt ∈ [0;1] ,x1 (0) = 0, x 2 (1) = 0,u (t ) ≤ 2,1∫J ( x, u ) = x1 (t ) dt → min .0⎧ dx1⎪⎪ dt = x2 (t ),24. ⎨⎪ dx2 = − x (t ) + u (t ),1⎪⎩ dtt ∈ [0;T ] ,x1 (0) = x01 , x2 (0) = x02 ,T∫J ( x, u ) = u 2 (t ) dt → min .0102⎧ dx1⎪⎪ dt = x2 (t ),25. ⎨⎪ dx2 = − x (t ) + u (t ),1⎪⎩ dtt ∈ [0;T ] ,x1 (0) = x01 , x 2 (0) = x02 ,J ( x, u ) = x12 (T ) + x22 (T ) → min .26. Составить задачу Коши – Беллмана для следующей задачи оптимального управления:dx= A(t ) x(t ) + K (t )u (t ) + f (t ), t ∈ [0, T ] ,dtx(0) = x0 , x(t ) ∈ E n , u (t ) ∈ E r ,ui (t ) ≤ 1, i = 1, K , r ,T∫J ( x, u ) = x 2 (t ) dt → min ,0где A(t ), K (t ), f (t ) – заданные матрицы.27.

Решить предыдущую задачу, заменив функционал наJ ( x, u ) = (c, x(T ) ),гдеc = (c1 , K, c n ) – заданный вектор.28. Решить предыдущую задачу, заменив функционал на J ( x, u ) = x 2 (T ) .Для задач 29 – 35 найти функцию Беллмана29.dx= − x(t ) + u (t ) ,dtt ∈ [0, T ],x(0) = x0 ,TJ ( x, u ) =∫ (x2)(t ) + u 2 (t ) dt → min .030.dx= u (t ) , t ∈ [0, T ],dtx(0) = x0 ,T1 2J ( x, u ) =u (t ) dt + x 2 (T ) → min .20∫10331.dx= ax(t ) + bu (t ) , t ∈ [t 0 ,t1 ],dtx(t 0 ) = x0 ,J ( x, u ) =∫ [( x − c)t12]+ u 2 dt → min ,t0где a, b, c – заданные числа.32.dx= u (t ) , t ∈ [0, T ],dtx(0) = x0 ,u (t ) ≤ 1 , t ∈ [0, T ],J ( x, u ) = x 2 (T ) → min .dx33.= u (t ) , t ∈ [0, T ],dtx(0) = x0 ,u (t ) ≤ 1 , t ∈ [0, T ],T∫J ( x, u ) = x 2 (t ) dt → min .034.dx= u (t ) , t ∈ [t 0 ,t1 ],dtx(t 0 ) = x0 ,0 ≤ u (t ) ≤ 1 , t ∈ [t 0 ,t1 ].t1J ( x, u ) =∫ (− x(t ) + u(t ))dt → min .t035.dx= A(t ) x(t ) + C (u (t ), t ) , t ∈ [0, T ],dtx(0) = x0 ,u (t ) ∈ V (t ) ,T1[(a(t ), x(t ) ) + b(u (t ), t )]dt + (c, x(T ) ) → min ,J ( x, u ) =20∫где A(t ) – заданная n × n -матрица, C (u , t ) , a(t ) – заданные n -мерные функции,b(u , t ) – скалярная функция, x0 , c – n -векторы, V (t ) – заданные множестваm-мерного пространства.Указание.

Функцию Беллмана искать в виде многочлена первой степенипеременных x = ( x1 ,K, xn ) : ψ ( x, t ) = (ϕ(t ), x ) .104ТЕСТЫ1. Модель управляемой системы с тремя входами и двумя выходами имеет вид:⎧ dx1⎪ dt = f1 ( x1 (t ), x2 (t ), u1 (t ), u 2 (t ));а) ⎨dx2⎪= f 2 ( x1 (t ), x2 (t ), u1 (t ), u 2 (t ))⎩ dtб)dx= f ( x(t ), u1 (t ), u 2 (t )) ;dt⎧ dx1⎪ dt = f1 ( x1 (t ), x2 (t ), u1 (t ), u 2 (t ), u3 (t ));в) ⎨dx2⎪= f 2 ( x1 (t ), x2 (t ), u1 (t ), u 2 (t ), u3 (t ))⎩ dt⎧ dx1⎪ dt = f1 ( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), u1 (t ), u 2 (t ))⎪⎪ dxг) ⎨ 2 = f 2 ( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), u1 (t ), u 2 (t )) .⎪ dt⎪ dx3 = f 3 ( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), u1 (t ), u 2 (t ))⎪⎩ dt2. Линейная нестационарная автономная система управления имеет вид:dxа)= A(t )x(t ) + b(u (t )) + ϕ(t ) ;dtб)dx= Ax(t ) + Bu (t ) ;dtв)dx= A(t )x(t ) + Bu (t ) ;dt105г)dx= f ( x(t )) + B(t )u (t ) .dt3.

Линейная стационарная система управления имеет вид:а)dx= Ax(t ) + Bu (t ) ;dtб)dx= Ax(t ) + bu 2 (t ) ;dtв)dx= Ax(t ) + B(t )u (t ) ;dtг)dx= Ax(t ) + b(u (t )) .dt4. Решение задачи Кошиdx= Ax(t ) + Bu (t ) , x(t 0 ) = x0 , t ∈ [t 0 ,t1 ] можноdtнайти по формуле:tа) x(t ) = ∫ e A(t − τ ) Bu (τ)dτ ;0tб) x(t ) = e A(t − t 0 ) x0 + ∫ e A(t − τ ) Bu (τ)dτ ;t0t1в) x(t ) = e x0 + ∫ e A(t − τ ) Bu (τ)dτ ;At0tг) x(t ) = ∫ e A(t − τ ) Bu (τ )dτ .t05.

ЗОУ для линейной системы со свободным правым концом и ограничением на управление имеет вид:а)dx= Ax(t ) + Bu (t ) ,dtx(t 0 ) = x0 ,u (t ) ∈ U ,J ( x, u ) → min ;б)dx= f ( x(t )) + Bu (t ) ,dtx(t 0 ) = x0 ,106J ( x, u ) → min ;в)dx= Ax(t ) + Bu (t ) ,dtx(t1 ) = x1 ,u (t ) ∈ U ,J ( x, u ) → min ;г)dx= f ( x(t ), u (t )) ,dtx(t 0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,J ( x, u ) → min .6. ЗОУ для нелинейной системы с закрепленными концами имеет вид:а)dx= f ( x(t ), u (t ), t ) ,dtx(t 0 ) = x0 ,J ( x, u ) → min ;б)dx= Ax(t ) + b(u (t )) ,dtx(t 0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,u (t ) ∈ U ,J ( x, u ) → min ;в)dx= f ( x(t )) + Bu (t ) ,dtx(t 0 ) = x0 ,u (t ) ∈ U ,J ( x, u ) → min ;г)dx= f ( x(t )) + Bu (t ) ,dtx(t 0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,J ( x, u ) → min .7. ЗОУ для линейной системы с фазовым ограничением и подвижнымиконцами имеет вид:107а)dx= A(t )x(t ) + B(t )u (t ) ,dtx(t 0 ) ∈ X 0 , x(t1 ) ∈ X 1 ,x(t ) ≥ 0 ,J ( x, u ) → min ;б)dx= Ax(t ) + Bu (t ) ,dtx(t0 ) ∈ X 0 , x(t1 ) ∈ X 1 ,u (t ) ≥ 0 ,J ( x, u ) → min ;в)dx= A(t )x(t ) + b(u (t )) ,dtx(t 0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,x(t ) ≥ 0 ,J ( x, u ) → min ;г)dx= f ( x(t )) + b(u (t )) ,dtx(t 0 ) ∈ X 0 , x(t1 ) = x1 ,J ( x, u ) → min .8.

Задача терминального управления для линейной дискретной системы сфазовыми ограничениями имеет вид:а) x(t + 1) = Ax(t ) + Bu (t ) , t = 0, ..., T − 1 ,x(0) = x0 ,u (t ) ∈ U ,J ( x, u ) = ϕ( x(T )) → min ;б) x(t + 1) = f ( x(t ), u (t )) , t = 0, ..., T − 1 ,x(τ ) = x1 ,g ( x(t )) ≤ 0 ,J ( x, u ) = f ( x(T )) → min ;в) x(t + 1) = Ax(t ) + Bu (t ) , t = 0, ..., T − 1 ,x(0) = x0 , x(t1 ) = x1 ,108x(t ) ≥ 0 ,J ( x, u ) = L( x(T )) → min ;г)dx= Ax(t ) + Bu (t ) , t ∈ [t 0 , t1 ] ,dtx(0) = x0 ,x(t ) ≤ 0 ,J ( x, u ) = ϕ( x(t1 )) → min .9. ЗОУ для линейной системы с закрепленным правым концом и терминальным критерием качества имеет вид:а)dx= Ax(t ) + b(u (t )) ,dtx(t 0 ) = x0 ,t1J ( x, u ) = ∫ f ( x(t ), u (t ))dt → min z;t0б)dx= Ax(t ) + bu (t ) ,dtx(t1 ) = x1 ,J ( x, u ) = Φ( x(t 0 ), x(t1 )) → min ;в)dx= A( x(t )) + Bu (t ) ,dtx(t 0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,J ( x, u ) = ϕ( x(t1 )) → min ;г)dx= Ax(t ) + Bu (t ) ,dtx(t 0 ) ∈ X 0 , x(t1 ) ∈ X 1 ,J ( x, u ) = ϕ( x(t1 )) → min .10.

Пусть Х – объем выпуска в единицу времени, С – интенсивность потребления. Балансовое соотношение Леонтьева имеет вид:dX+C;dtadX+X;б) C = + bXdtа) X = aX + b109dX+C;dtdXb(t ).г)= aX (t ) +dtC (t )в) aX = X − b11. Критерий качества в оптимизационной модели Леонтьева имеет вид:t1а) α ∫ e −δt C (t )dt ;t0t1б) α ∫ e − δt X (t )dt + βX (t1 ) ;t0в)t1∫ (C (t ) + X (t ))dt ;t0t1г) α ∫ e − δt C (t )dt + βX (t1 ) .t012. Пусть K (t ) – величина ОПФ в году t , V (t ) – интенсивность ввода новых ОПФ в отрасли. Модель роста ОПФ отрасли имеет вид:dK (t )= −μK (t ) + V (t ) ;а)dtб)dV= K (t ) + μV (t ) ;dtв)dK (t )= K (t ) + μV (t ) ;dtг)dV= −μK (t ) + V (t ) .dt13. Сопряженная система для линейной стационарной системы имеетвид:а)dψ= Aψ(t ) + Bu (t ) ;dtб)dψ= − AT ψ(t )dtв)dx= AT x(t )dtг)dψ= Aψ (t ) .dt11014. Функционал Гамильтона для линейной стационарной системы имеетвид:а) H ( x, u , ψ ) = Aψ + Bu ;б) H ( x, u , ψ ) = (ψ, Ax ) + Bu ;в) H ( x, u , ψ ) = ψ ( Ax + Bu ) ;г) H ( x, u , ψ ) = (ψ, Ax + Bu ) .15.

Определить функцию Гамильтона для ЗОУdx= − x(t ) + u (t ) , t ∈ [0, T ] ,dtx(0 ) = x0 ,J ( x, u ) =()1T 2x (t ) + u 2 (t ) dt + bx(T ) → min :∫20x2 u2а) ψx + u −−;22x2 u2б) ψ( x − u ) −−;22в) − ψx + ψu + x 2 + u 2 ;x2 u2.г) ψ(− x + u ) −−2216. Записать сопряженное уравнение для ЗОУdx= − x(t ) + u (t ) , t ∈ [0, T ] ,dtx(0 ) = x0 ,()1T 2J ( x, u ) = ∫ x (t ) + u 2 (t ) dt + bx(T ) → min :20а)dx= x(t ) − u (t ) ;dtб)dψ= ψ (t ) + x(t ) ;dtв)dψ= −ψ(t ) − x(t ) ;dtг)dψ= x(t ) .dt17. Краевая задача принципа максимума для ЗОУ111dx= − x(t ) + u (t ) , t ∈ [0, T ] ,dtx(0 ) = x0 ,()1T 2x (t ) + u 2 (t ) dt + bx(T ) → min∫20имеет вид:⎧ dx⎪ dt = − x(t ) + ψ(t )⎪⎪ dψ= ψ (t ) + x(t ) ;а) ⎨dt⎪⎪ x(0 ) = x0 , ψ (T ) = −b⎪⎩J ( x, u ) =⎧ dx⎪ dt = x(t ) − ψ (t )⎪⎪ dψ= ψ(t ) − x(t ) ;б) ⎨dt⎪⎪ x(0 ) = x0 , ψ(T ) = −b⎪⎩⎧ dx⎪ dt = − x(t ) + ψ(t )⎪⎪ dψ= ψ(t ) + x(t ) ;в) ⎨dt⎪⎪ x(0 ) = x0 , ψ(T ) = 0⎪⎩⎧ dx⎪ dt = x(t ) + ψ (t )⎪⎪ dψг) ⎨= −ψ (t ) − x(t ) .dt⎪⎪ x(0 ) = x0 , ψ(T ) = −b⎪⎩18.

Характеристики

Список файлов лекций