Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 46
Текст из файла (страница 46)
° Заметим, что если конус К задается лишь равенствами К=(х! <х!, х> =О, Лх=О) (т. е. является подпространством), то он допускает опре- деление и через неравенства К = (х ! <х!, х> ( О, <( — 1) х !. х> ( О, Лх = О). Применив лемму Хоффмана, получаем и в этом случае, что р(х, К)(С ~~.','!<х'„х>!+!!Лх!! . (5') Лемма о минимаксе. Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, Л: Х вЂ” У вЂ” сюръективный оператор, х,"~Х', !'=1, ..., з, а=(а„.... а,).
Определим функцию 5! К'ХУ вЂ” (с равенством 5(а, у)= ш1 шах (а,+<х,', х>). (7) Алев в !<к<! Если щах <х;, х>,в О для любого х Е Кег Л, то имеет !~2~5 место следующая формула двойственности: Е (а, у) = зцр ~~~~ ~а,а!+ <у', у> Ц а! ~э О, !.Н= ! в 3 ~и!=1, Л'у'+ ~и!х!' — — 0 .
(8) 1=! ю=! При атом 1п1 в (7) достигается на некотором (быть может, не единственном) х = х(а, у), и существуют такие С) О, С ) О, не зависящие от а, у, что ори подходящем выборе х(а, у) Цх(а, у)Ц СЦВ(а, у)$+$аЦ+ЦуЦ)~(С(/а$+ЦуЦ). (9) Доказательство. Существование минимума в (7), выпуклость Я и формулу (8) мы докажем редукцией к двум стандартным задачам, рассмотренным выше. А) В с п о м о г а т е л ь н ы е о т о б р а ж е н и я.
Нам придется дважды воспользоваться леммой о правом об- атном отображении (п. 2.1 б). Во-первых, существует : У- Х такое, что ЛоМ=7, ЦМ(у)Ца С!ЦуЦ. Во-вто- рых, пусть !р: Х вЂ” 11' онределяегся равенством !р(х) = =(<х'„х>, ..., <х'„х>). Обозначим ь=!р(КегЛ). По той же лемме существует отображение р: Ь- КегЛ такое, что <р о р, = 1, Ц р ($) Ц ~( С, ( $ ~.
Далее, как и всякое подпространство в й', Е может быть задано некоторой системой линейных уравнений ХЬ!Д=О, 1=1, ..., р, нли при помощи отображения ! 5~ Й й и ~х6,~$~) у~~ ~я 0 х!=! Б) Ограниченность 3(а, у). Поскольку Ах+у=Очах=М( — у)+х„х, ЕКегЛх~а!+<х,', х> = =а,+<х;, М( — у)>-)-<х!, х,>, (10) то, полагая, х, =О, мы получаем, с одной стороны, на. равенство 1п1 шах (а,+<хо х>) ~~ ак+е ь ! « !се щах Яа! (+С!Цх! ЦЦуЦЦ ° К, (11) ! с!<! Ж а, с другой стороны, при Лх+у=О, согласно (10), шах (а;+<х;, х>)) ш!п (а; — С,/~х1Ду//)% — К, (12) 1~1~5 1~5~5 так как по условию 1пах (<х'„х,>) ) 0 (х, б КегЛ). Из ! С5~5 (!1) и (12) следует оценка !Я(а, у)! К= шах (!а1!+С1)х',Цу(!).
(13) 1~5~5 В) Существован ие минимума. Обозначив а1 а,+<х'„М( — у)>-1-К и вспоминая, что х, ЕКегЛчв(<х'„х5>, ..., <х'„х,>) = =1р(х5)65 =5р(КегЛ)=Кегр, мы видим из'(10) и (7), что В(а, у)+К является значением задачи шах (а1 + $1) — ! п(; $ Е Ь ФВ с — 1п1; а, + а1 < с, Я = О. (14) В силу (13) В(а, у)+К) О, и потому к (14) можно безболезненно присоединитэ1 условие с) О. Задачу (14) можно привести к стандартному виду задачи линейного программирования (2) п.
3.3.3) в 11 '". 1хля этого обозначим г, =с, г, =с — $1 — а,, г =(г„..., г,), 6=(1, ..., 1), а=(а„..., а,), г=(г„г). Условие Я=О записывается в виде Я = 0 <:э р (сй — г — а) = срб — рг — ))а = 0 <=> Вг ~ Ь, где — матрица порядка 2рх(з+1) и 2р-мерный вектор (фактически мы заменили равенство Я=О двумя неравенствами Я)0 н Я(0). Поэтому задача (14) эквивалентна задаче г — !п1, Вг ь6, г)0„ (15) имеющей стандартный вид. Эта задача совместна (например, вектор (2К, 2К вЂ” а„..., 2К вЂ” а,) допустимый; соответствующее 3 =0ЕЬ и ее значение Я(а, у)+К конечно (и даже неотрицательно). По теореме существования из п. 3.3.3 она имеет решение г.
Следовательно, задача (14) имеет решение $ = (5 (а, у) + К) 8 — г — а, и тогда 5(а, у)+К= шах (ат+$т) = т~т~~ = шах (а;+<х,', М( — у)>+$т)+К 1~т~в 8(а, у) = шах (а;+ <х;, х)), ~~т<я где, согласно (! О) и определению отображения р: Ь- КегЛ, х=М( — у)+ря (16) Г) Выпуклость 3 и теорема двойственно- сти. Функция (а, у)т-е8(а, у) является Я-функцией сле- дующей задачи выпуклого программирования: шах(т);, ..., т1,) !п1, — т!т+<х,'., х>+а,=О, Лх+ у =' О.
(17) Полагая 2= 11'ХХ, )'=й'Х)', г=(т1, х), 1,(г)=шах(т!о ..., т!,), Лг = (<х'„х) — т!„..., <х'„х> — т!„Лх), приведем (17) к стандартному виду ((х) в п. 3,3.2): 1т(г)-!п1, Лг+(а, у)=О. (18) Следовательно, функция (п„у)~-эЗ(а, у) выпукла (следствие!1 п. 3.3.2). Согласно (13) она ограничена, а потому и непрерывна на всем пространстве У (предложение 3 п. 2.6.2). По теореме двойственности из п. 3.3.2 (напомним, что неравенства в задаче (18) отсутствуют) 5(а, у)= =вар(<г', (а, у)>+!и1[<г', Лг>+шах(т!„..., Ч,)Д, (!9) 1~ г Но г'Е(Р„'Х)')"=!!" ХР", т.
е. г' представим в виде (и, у*), и=(и„..., а,) ~ й", у" Е)", так что <г', (а, у)) =аа+<у", у>, <г, Лг) = Х а (<х, х) — тй)+ <у, Лх). (20) т Согласно предложению 2 п. 2.6.3 преобразование Юн- га — Фенхеля функции 1(т)) = тах (и„..., !4) имеет вид 1'(а) =зцр(сс!1 — 1(т))) = О, если а!)~0,,'5',!х! 1, (21) ч !=! +оо в остальных случаях. Теперь из (20) и (21) имеем 1п1(тах(т);! ..., з),)-1-(г*, Лг>)= — !( „- ° !„„.", „,! — (х;е!-л!', ))- (ч. я! 1 1=! О,если и!~~О, Хсс!=1, Л'у'+ ~а!х'; О, в=! ° ° ! ! — оо в остальных случаях.
Подставляя это в (19), получаем (8). Д) Геометрическая лемма.-Пусть Т.— надпро- странство, а К вЂ” конечно порожденный конус в )с'. Тогда- существует такое Ф > О, что для любого а С )с' р (О, (Е + а) П К1 ( Фр (О, Е + а) ~ У ) а ) (23) (формула остается справедливой и в случае (Л+ а) П К = Я, если мы условимся считать, что р(0, 8)= — оо).
Доказательство. а) Пусть К=сапе(хг, ..., х ), Разложим каждый вектор на две компоненты — содержа- !цу!ося в подпространстве Е и ортогональную к нему: а=Ь+с, х!=у,+го ! =1, ..., т, Ь, у!ЕЕ, с, г!Е1Г-, Тогда р (О, (Е. -1- а) П К) = 1п1 (1$ Ц $ Е К, ($ — а) Е Ц т И =1п1(1 ~Р~Л!(у!+г!) ~Л!" О, .."., Л;(у!+г!) — Ь вЂ” с~А !~ ~=! 1! !=! (1п1~ ~~'.,'Л! !пах Цу!))+1с)1Л!)О, ч~'.',Л!г!=с .
(24) 1с=» К!ко 1 ' ! ! С другой стороны, р (О, Е+ а) = 1п1 (! Ч+ а ~ ) Ч Е Ц = =\п1 (~ т) +с~) т) чЦ = ~с~). Уф~ь-) ~с('=~а). Поскольку Л, .) О, Д Л;г, = с сФ с б соне (г;, ..., г ), ! ! мы видим, что (23) будет следовать из (24), если для некоторого У! ) О с 6 сопе (го ..., г„) =Э ЭЛ! ) О, т О! ~~~ ~Л!г!=с> ч~~ ~Л, 'Ф!)с~ (25) ! ! с=! (при этом в (23) мы будем иметь У=У, !пах (~у!Ц+1). ! < С~и!! б) Пусть Е!=11п(го ..., г ), 61шЕ!=и. Выделим всевозможные наборы индексов 1=11„..., !„), для которых (гп, ., г!„) — базис в Е! Каждому такому набору отвечает линеййое отображение Лр! К"- Ео определяемое в формулой Лрг= ~~~, 'хьг,„. Поскольку (г,,, ..., г!„) — базис в Е!, существует обратное отображение. По теореме Каратеодори (и.
2.6.1) каждый вектор сЕсопе(го ..., г„) является конической комбинацией не более чем л линейно независимых векторов г; с=Л!г; +... +а!,г!м Л,„~ О, а(~п. Дополнив, если нужно, набор (г;,, ..., г!,) до базиса в Е, некоторыми векторами г, „, ..., гы и положив Л, =... — Лс„=О, мы видим, что с=!~!Л Л=(Лпв е Лы)~ Лю„~~бе ~=(1!з " э (в). Поэтому л ~ Л;„(и/Л/ (п)Лу!Цс~(вшах ЦЛЕ!1) /с$. Этим доказано (25) для Ф! = и шах (1 Л! ! Ц. У Е) Завершение доказательства леммы о минимаксе. Последнее, что осталось нам сделать,— полу.
чнть оценку (9). Для этого вернемся к левой из задач (14). Элемент я =(ао ..., $,) является ее решением тогда н 'только тогда, когда $;+а;(В(а, у)+К, !'=1, ..., з, $ЯЕ (26) ФМ (поскольку Я (а, у)+ К вЂ” значение задачи, по крайней мере для одного индекса здесь будет иметь место равенство).
Вспоминая определение а; в п, В) и обозначая а=(а„..., а,), где ас=ас — Я(а, у) — К=ас+<хс, М( — у)> — Я(а, у), (27) переписываем (26) в виде 3с+ас(0. Таким образом$ — решение(14)<э$+а ~ (1,-(-а) с1 ( 11,). Поэтому 1п1 Ц я+а/) $ решение (14))=р (О, (А+а) П( — ~')). Поскольку — 1т' =сапе( — ес, ..., — е,) — конечно порожденный конус, правая часть по геометрической лемме и. Д) не превосходит Ур(0, »,+а) ~ с»'!а!.
Следовательно, ш( Д 5 + а) ! $ решение (14) ) ( Ас ) а ), и так как !3)~~|В+а~+)а), (п(Ц$) $$ решение (14)) ((с»с'+1) $,а$. Если а~О, то (Ас+1))а(<(У+2)~а), и среди решений задачи (14) мы можем выбрать такое, обозначим его $, у которого ~ $ ) ~~ (сУ+ 2) ) а ~. (28) Если а=О, то 3=0 решение и (28) снова верно. Воспользовавшись формулой (18), находим по я элемент х=х(а, у). При его оценке учитываем неравенства '1М( — у))) ~~С»'1у(, '1р(я) )~(С» ~ В ! (29) (ср.
определение правых обратных отображений М и )с в пункте А)) и (»»с ~а)=~ ~ас) )с з шах((а, (, ...„)а,'Ц ()/ е1 свах ()ас!+'1х,'1С»'1у1)+~Я(а, у)Ц( с сс<» (~' з Ца/+С» свах 1х';('1у1+)5(а, у)Д, (30) ссс<» а также оценку (13): „)55) (х(а, у)11) ~ь С11у1+С5~5~(С11у(+С5(0+2)1а)( (С1 (1+С5 (0+ 2))~з )пах 1хг 1)1у(+ 1К)К5 + С,(0+2))~ в ()а)+~5(а, у) !) (С,(1+)/ в тах (х7!)2С,(У+2))1у1+ 1К1~5 + 2С5 (Ж + 2) )/ в ) а ~. Поэтому верно (9) с константами С = п)ах(С1(!+С,(0+2)): в п)ах '1х)(, С5(0+2))5 з), !К1К5 С = тах (С, (1+ )/ в т ах ( х) ) 2 С, (М+ 2)), 1ч)~5 2С, (М + 2))~ в).
9 3.4". Необходимые условия второго порядка и достаточные условия экстремума в гладких задачах Снова разберем сначала случай, когда неравенства отсутствуют. 3.4.1. Гладкие задачи с равенствами, Рассмотрим задачу Г (х) ех1г; Р (х) = О. (1) Теорема 1 (необходимые условия второго пор ядк а).
Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, У— открытое множество в Х, функция 1: У Н и отображение р: У вЂ”,У строго дифференцируемы в точке хи Ц и имеют в втой точке х вторую производную Фреше. Если х доставляет локальный минимум (максимум) в задаче (1) и если Р регулярно вточкех(т. е. 1т г'(х) = 1'), то существует множитель Лагранжа у'Е)'5 такой, что Я„(х, у', 1) =О, (2) Я„„(х, у', 1)(Ь, 61~0((0), УЙЕКегр'(х), (3) где .У(х, у", 1)=)(х)+<у5, р(х)>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
