Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Доказательство. Равенство (2) было доказано в и. 3.2.2. Далее разбираем случай хс1ост(п (1). Пусть йЕКегр'(х). Согласно теореме Люстерника (и, 2.3.5) Мт Ь~ Т,-ь(1, где ыб= (х~Р(х) = О), т. е. существует отображение г( ): 1 — е, е|- ыб такое, что Р(х+(Ь+гЯ) =О, г(1) =о(() ЕЕà — е в) (4) В силу (4) х+(Ь+г(1) — допустимый элемент в задаче при 16 1 — а, е1 и, следовательно, 1(х) (~(х+(Ь+г(1)), ибо х~ 1осщ(п (1). Поэтому ~(х) ~ ~ (х+ ГЬ+г (1)) = Я (х+ (Ь+г(Г), рь, 1) =ь =.Ы'(х, у*, 1)+2'„(х, у', 1))(Ь+г(())+ + —.2'„„(х, у', 1)1(Ь+г (Г), (Ь+г(1)1+о((*) =1(х)+ —.У„„(х, у', 1) 1Ь, Ь1+о((ь). Отсюда немедленно следует (3).
° Теорема 2 (достаточное условие миним ума). Пусть выполнены условия предыдуи(ей теоремы и, кроме того, для некоторого и > О выполнено неравенство .У„„(х, у', 1)(Ь, Ь1=»2а)'ЬР, уЬЕКегР'(х). (5) Тогда х есть точка локального минимума в задаче (1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности можно считать, что Г(х) =О. Обозначим через В(Ь„Ь,) билинейную форму — 2'„„(х, у', 1)1Ь„Ь,1. По теореме о смешанных производных (п. 2.2.5)  — непрерывная симметричная билинейная форма.
Выберем е > О так, чтобы ф(в) =ы(1 — е)' — 21В1(1+е) е — 1В1еь — "> О (5) ,(поскольку ~(О) =и/2 > О, это сделать можно). Функции Р н .У (-, у', 1) по условию имеют в точке х вторые производные Фреше по х. Воспользовавшись формулой Тейлора (теорема 2 и. 2.2.5) и учтя, что Р(х) = О, Я(х, у', 1) =О, .Я'„(х, у', 1) =О, Найдем такое б, > О, чтобы прн '1Ь(<.б, выполнялись неравенства ~ Р (х+Ь) — Р' (х) Ь 1=1 Р(х+Ь) — Р (х) — Р' (х) Ы~ ~~С,(!Ь)', ~Я'(х+Ь, у', 1) — В(Ь, Ь)~ь~-"'1Ь'1ь. Применяя лемму нз п.
2.1.5, построим правое обратное к Р'(х) отображение М: У'- Х, Р'(х)оМ=7, !!М(у)!!( (С!!у!!. Па выбранному ранее е > 0 подберем б, 0 < Ь < Ь„ так„чтобы ЬСС, < е. (8) Пусть теперь !!Ь!! < б н х,+й — допустимый элемент в задаче, т. е, Р(х+й)=0 Положим Ь,=.М(Р'(х)й) и обозначим через Ь, разность Ь вЂ” й,. Тогда из оценки для М(у), (7) н (8) имеем !!й,!!(С!!Р'(х)й!!~~СС,!!й!~'< е!!й!!, (9) Р' (х) й, = Р' (х) (Ь вЂ” й,) = Р' (х) й — Р' (х) М (Р' (х) й)) = О. Таким образам, й, Е Кег Р' (х).
Из (9) вытекает, что (1 — е)!!й!! -!!й,!!~((1+е)~!й~~. В итоге получаем, учитывая (6), (5) н (7): 1(х+й) =,Я'(х+й, у', 1))В(Ь, й) — фй!!ь = =В(й,+Ь„й,+Ь,) — ф.!ЬР» 2 В(Ь„Ь1) — 2((ВП!Ьлйз( — 1В!!!!М' — Фй!!'» ' > (и(1 — е)' — 2!(В(/(1+е) е — !(В//е' — -") !/й!!' > О, т. е. хЕ 1ост(п(1).
° 3.4.2, Гладкие задачи с равенствами н неравенствами †необходим условна второго порядка, Рассмотрим задачу: ~,(х) — 1п(, Р (х) = О, ~,(х) ( О, 1 = 1, ..., т. (Ь) Меняя если нужно, знаки функций мы можем свести к (Ь) любую задачу из $ 3.2. Функция Лагранжа задачи (Ь) имеет вид д(,, „., Ь, Ь)=ХЛА()+<у °, Р()у Т е а р е м а.
Пусть Х, У вЂ” банаховм простртгства, (7 — открытое множеспгво в Х, х Е У, функции 1,: У вЂ” й, 1=0, 1, ..., т и отображение Р: У- 'г' строго дифференцируемы в точке х, имеют в втой точке вторую производную Фрегие и, кроме того, 1, (х) = О, 1= 1, ..., т. 1о в, м. Алексеев ь лР. аав Если х доставляет локальный минимум в задаче (Х), и если с" регулярно в точке х (т.
е. 1тг"'(х) =-У), то: а) множество Р множителей Лагранжа (у', Л, Л,), у'Е)"* ЛЕ 11 ", Л, таких, что Л,~О, Л,.~О, ХЛ,.=1, и=в .У„(х, у*, Л, Л,) =0 является непустым выпуклым компактом в У'х 11 "х К; б) для любого Ь„лежащего в подпространстве 7.=(й(<Д(х), й>=0, 1)0, Р'(х)Ь=О), (2) найдутся такие множители Лагранжа (у" (Ь,), Л(й,), Ль(йь)) ЕР, что .У,„(х, у'(Ь,), Л(й,), Л,(й„))1Ь~ Ь,()0.
(3) Доказательство. Обозначим для краткости Р'(х) =Л, )1(х) =х,'. А) Рассмотрим отображение ~: о — Х' симплекса о= (Л, Л,)(Л,.) О, Х Л;=1, определяемое равенством г=о ср(Л, Л,) = ~~.", Л х',. Тогда а=о (у, Л, Л,)ЕРШ 2,'Л,х)+у оЛ= е=о ='Р(Л~ Ло)+Л'у =0~(р(Л, Ла) Е Е 1гп Л* => (Л, Л,) Е о, = ср-' (1щ Л'). По условию 1щЛ = У, а следовательно (п. 2.1.7), 1тЛ' = = (КегЛ)х и потому замкнут. Значит, а,— замкнутое подмножество компакта и само компакт. Заметим теперь, что КегЛ'=(0). Действительно: Ь' Е Кег Л' =!> <Л'Ь', х> = О, Ух ~ <Ь', Лх> = = О, Ух=;'>Ь Е (1т Л)~-=ой = О. Так как замкнутое подпространство 1гп Л' банахова пространства само есть банахово пространство, по теореме Банаха существует обратное- к Л' отображение 290 Г: 1и Л' — 1'*.
Теперь (д', Л, Л,) ЕРШ(Л, Л,) Еа„ ~р(Л, Л,)+Л'у'=-0<Э(Л, Л,) Еаг, д = — Гр(Л, Л). Следовательно, Р есть образ компакта а, прн непрерыв- ном отображении (Л, Л,)~-ь( — Г<р(Л, Л,), Л„Л,) н, зна- чат, является компактом. Непустота Р следует нз прннцнпа Лагранжа, дока- занного в 5 3.2. Выпуклость Р является очевидным след- ствнем условнй (1). Впрочем, ее можно вывести нз выпуклостн а н 1шЛ', заметив, что рассмотренные выше отображения были линейными.
Зтнм закончено доказа- тельство утверждения а). В) Как н в и. 3.3.1, заменим задачу с неравенствами задачей с равенствами Г(х)=шах(7о(х) — 1о(х), 7,(х),..., 1„(х)) 1п(; Р(х)=0. (3') Если х~ 1оси(ой, то хЕ 1оси(ой'. Действительно, х(1оси1по =:;>Уе ) О, Ихе: )!Хе х) '~ ~з~ Р(хо) = 0~,) (хо) ( 0=!> ~о (хе) ~ (р(х), 1~ (хо) ~ 0~ (=1, ..., и, Р(х,) =ОЬ!>х(1оси(ой. Далее исследуем задачу (3'). В) Пусть Ьо Е(.. Ввиду компактности Р найдутся та- кне (у', Л, Ло), что ° Ч'(М=-~..(х У', Л, Ло)1йо 3.2= шах .У„„(х, д', Л, Л,)(6„6,) = (о* м 7»)оо = так,Е~ Л,~7 (х) [Ь„Ь,1 + (У', Р" (х) ~Ь„Ь,)) ! Л,. ) О, Х Л,.
= 1, ~ Л,х', +Л*д = 0 . =о ~=о Утверждение б) эквивалентно неравенству %'(6,) ) О. Предположим, что Ч~(ао) < О. Обозцачнв а,(Л) = — )";(х) (Ь„й,), 1= О, ...., и, д(Л)= 2 Р'(')И" М (4) 291 рассмотрим задачу щах (а (Л)+<х*;, х>)- 1п1; Лх+у(Л)=0. (5) О<лат Проверим, что к этой задаче применима лемма о ми- нимаксе из и.
3.3.4. Действительно, аах <х~, х> ~ О, .Ух Е КегЛ О < л' < т — необходимое условие минимальности х в задаче (5) (лемма 1 п. 3.2.4). Кроме того, по условию оператор Л сюръективен. По лемме о минимаксе найдется элемент х,(Л), обла- дающий свойствами: юах (а,(Л)+<х), х,(Л)>)=Я(а(Л), у(Л)), (5) О<лтт где Я (а(Л), у(Л)) †значен задачи (5); '1х,(Л) /~. «'С;(юах)а;(Л) ~+)у(Л)11 (СЛ'.
(7) При этом согласно (8) п. 3.3.4 Я(а(Л), у(Л)) = = — щах,~ ~ЛЯ(х) [Й„Й,)+<у', Р" (х)[Й„Й,1> Л,~О, Хтл,.-л, Ело,оло =о)-'-'О(ло. ОвО Но тогда из (7) вытекает, что '1 ЛЙО+ хо (Л) 1=- 0 (Л). По формуле Тейлора (и. 2.2.5) Р(х+х,(Л)+ЛЙО)=Р(х)+Р',(х) х,(Л)+ + — Р (х) [ЛЙО+х, (Л), ЛЙО+х, (Л))+о (Л') =о ()[ ...()1+-,'Р"()[,(),,(Л)1+ + о (Л') = о (ЛО) (напомним, что Й,~Ь с КегР'(х) Р' (х) хо (Л) + (Л'л2) Р" (х) [Й„ЙО) = 0.) При доказательстве теоремы Люстерника в ц.
2.3.5 было построено отображение ф: У вЂ” Х окрестности (л' 3 х Ъ2 такое, что Р(х+~р(х))= — О и ()~р(х)!)(К)Р(х)!. Полагая г (Л) = ср (х+ х, (Л) + Лй,), имеем Р(х+хь (Л) +Лйь+ г (Л)) О !! г (Л) ~/ = К <! Р (х+ х, (Л) + Лй,) // = о (Л'). Но тогда, применяя формулу Тейлора к ), и используя (6) и (8), получим ) (х + хь (Л) + Лйь + г (Л)) = = тах (7, (х + х, (Л) + Лй, + г (Л)) — ), (х), [~(х+х,(Л)+Лй,'+г(Л)), 1=1, ° °, т)= тах «х";, х,(Л))+ — ");(х) [й„йД+о(Л*)) < оксан '~ < тах «х,", х,(Л))+ — 1)(х)[й„й,))+о(Л')= О~акпа ~ = — Чг(й,)+о(Л') < 0 при малых Л'. Итак, Ч"(й,) <0~ х(!оспг!п3 =Ф х(1ост!п3. Противоречие доказывает теорему.
° 3.4.3. Достаточные условия экстремума для гладких задач с равенствами и неравенствами, Как и в предыдупгем пункте, исследуем задачу [,(х) — !п(; Р(х) =О, ),(х) =О. (3) Я„„(х, у', Л, 1)[й, й]) 2 ~!йР (2) 293 Т е о р е м а. Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, () — открытое множество в -Х, х ~ У, функции ),: У 11, != О, 1, ..., т, и отображение Р; У вЂ” У вЂ” строго дифференщируемы в точке х (допустимой в (3)) и имеют в этой точке вторую производную Фреше, причем Г;(х) =О, (=1, ..., т. Предположим, что существуют множители Лагранжа ЛЕ !с'"*, у" Е)" и число ы > 0 такие, что Л; ~ 0 .Я'„(х, у', Л, 1)=[ь(х)+ ~ ЛД(х)+Р' (х) у*=О (1) для любого Ь, лежащего в ноднространстве 7.=(й|<Д(х), й>=0, !)1, Р'(х)й=о[.
(3) Тогда х доставляет локальный минимум в задаче (а). Доказательство. А) Пусть х+Ь вЂ” допустимый элемент, т. е. 1с(х+Ь) ~(0, ! ~ ~1, Р(х-(-й) = О. (4) Проведем двумя способами оценку величины [,(х 1-Ь). Имеем гл 7,.(х+й)=~„(х+й)-~- Х к!1!(х+Ь)+ +<у', Р(х+й)> — ~ К~;(х+й)- =.У(х+Й, у, Л, 1) — ~ ХД(х+й), (5) Первый способ оценки основан на прямом разложении: 1,(х+Й)=.У(х+Й, у', Х, 1) — Х Х,1,(х+Ь)= 1=! =.У(х, у', Х, 1)+.У„(х, у', Х, 1)[й)— Ш т — ~ Х!1!(х) — ~ <Хй",(х), Ь>+г,(й)= г=! !=! =(,(х) — ~~~~ ~<1,~;(х), Ь>+~,(й); (6) где остаточный член г!(Ь) есть 0([й'1)'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
